Matura 2021 matematyka podstawowa - arkusz, odpowiedzi i rozwiązania

Zapisujemy obie liczby jako potęgi dziesiątki: $100 = 10^2$ oraz $0{,}1 = 10^{-1}$. Wtedy

$$100^5 \cdot (0{,}1)^{-6} = \left(10^2\right)^5 \cdot \left(10^{-1}\right)^{-6} = 10^{10} \cdot 10^{6} = 10^{16}.$$

Pułapka: wykładnik $-6$ przy liczbie mniejszej od $1$ daje liczbę dużą, a nie małą - dlatego odpowiedzi C i D (ujemne wykładniki) odpadają od razu. Odpowiedź D ($10^{-30}$) powstaje, gdy pomnoży się wykładniki $5$ i $-6$ zamiast zamienić obie podstawy na potęgi dziesiątki.

Odpowiedź: B. Zobacz: potęga o wykładniku całkowitym ujemnym oraz zadania z potęg.

Zapisujemy warunek jako równanie: $150\%$ liczby $c$ to $1{,}5c$, więc

$$1{,}5c = 78 \quad\Longrightarrow\quad c = \frac{78}{1{,}5} = 52.$$

Sprawdzenie: $1{,}5 \cdot 52 = 78$. Pułapka: liczba $39$ to połowa z $78$ ($50\%$), a $117$ byłoby $150\%$ liczby $78$ - tu szukamy liczby, z której $78$ jest procentem, a nie procentu z $78$.

Odpowiedź: B. Zobacz: liczba z danego procentu - zadania.

Część wspólna przedziałów to $[-1, 5)$: lewy koniec $-1$ należy do zbioru (nawias kwadratowy), a prawy koniec $5$ - nie (nawias okrągły). Liczby całkowite w tym przedziale to

$$-1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,$$

czyli $6$ liczb. Odpowiedź B pomija liczbę $-1$, a D dolicza także $5$, która do przedziału nie należy.

Odpowiedź: A. Zobacz: przedziały liczbowe.

Symbol $\log$ bez podstawy oznacza logarytm dziesiętny. Ponieważ $\sqrt{10} = 10^{1/2}$, mamy $\log\sqrt{10} = \frac{1}{2}$, a $\log 10^3 = 3$. Zatem

$$2\log\sqrt{10} + \log 10^3 = 2 \cdot \frac{1}{2} + 3 = 4.$$

Odpowiedź: C. Zobacz: określenie logarytmu oraz zadania: logarytm z definicji.

Ułamek okresowy $0{,}(3) = 0{,}333\ldots$ to $\frac{1}{3} = \frac{11}{33}$. Wtedy

$$0{,}(3) - \frac{23}{33} = \frac{11}{33} - \frac{23}{33} = -\frac{12}{33} = -\frac{4}{11}.$$

Pułapki są w zapisie dziesiętnym: $-\frac{4}{11} = -0{,}3636\ldots = -0{,}(36)$, a nie $-0{,}36$ (odpowiedź C to skończone przybliżenie) ani $-0{,}(39)$ (odpowiedź A to $-\frac{13}{33}$).

Odpowiedź: D. Zobacz: liczby rzeczywiste i ułamki okresowe.

Mnożymy obie strony przez $2$ (liczba dodatnia - znak nierówności się nie zmienia):

$$2 - x - 4x \ge 2 \quad\Longrightarrow\quad -5x \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad x \le 0.$$

W ostatnim kroku dzielimy przez liczbę ujemną $-5$, więc znak $\ge$ zmienia się na $\le$. Kto zapomni o tej zmianie, dostanie odpowiedź A. Odpowiedź D to efekt pomnożenia przez $2$ samego ułamka: $2 - x - 2x \ge 1$ daje $x \le \frac{1}{3}$ - pozostałe wyrazy też trzeba pomnożyć.

Odpowiedź: B. Zobacz: nierówności z jedną niewiadomą.

Wykres $g$ to wykres $f$ przesunięty o $2$ jednostki w dół. Sprawdzamy kolejno:

• A. Z wykresu $f(2) = 0$, więc $g(2) = 0 - 2 = -2$ i $f(2) + g(2) = -2$. Prawda.
• B. Zbiór wartości $f$ to $[-2, 1] \cup \{3\}$, a zbiór wartości $g$ to $[-4, -1] \cup \{1\}$ - różne.
• C. Miejsca zerowe $f$ to $-2$ i $2$, ale $g(-2) = g(2) = -2 \ne 0$. Funkcja $g$ nie ma w ogóle miejsc zerowych, bo $f$ nigdy nie przyjmuje wartości $2$.
• D. $f(0) = -2$, ale $g(0) = -4$, więc punkt $(0, -2)$ leży tylko na wykresie $f$.

Odpowiedź: A. Zobacz: przesunięcie wykresu wzdłuż osi Oy.

Odczytujemy z rysunku po dwa punkty każdej prostej.

• Prosta rosnąca przechodzi przez $(0, 1)$ i $(-1, 0)$: wyraz wolny $1$, współczynnik kierunkowy $1$, czyli $y = x + 1$.
• Prosta malejąca przechodzi przez $(0, 4)$ i $(2, 0)$: wyraz wolny $4$, współczynnik $\frac{0 - 4}{2 - 0} = -2$, czyli $y = -2x + 4$.

Sprawdzenie: obie proste przechodzą przez punkt przecięcia $(1, 2)$, bo $1 + 1 = 2$ i $-2 + 4 = 2$. W odpowiedziach B i D druga prosta byłaby rosnąca, a w C pierwsza przecinałaby oś $Oy$ w $-1$.

Odpowiedź: A. Zobacz: graficzne rozwiązywanie układów równań.

Proste w postaci kierunkowej są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe:

$$\frac{m - 3}{2} = 3 \quad\Longrightarrow\quad m - 3 = 6 \quad\Longrightarrow\quad m = 9.$$

Wyrazy wolne są różne ($-5$ i $\frac{9}{2}$), więc proste są równoległe i się nie pokrywają. Odpowiedź C ($m = 6$) to efekt pomnożenia przez $2$ bez odjęcia trójki z drugiej strony.

Odpowiedź: D. Zobacz: współczynnik kierunkowy prostej.

Liczymy osobno licznik i mianownik:

$$x^2 = \left(\sqrt{3} - 1\right)^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3}, \qquad 2x - 2 = 2\sqrt{3} - 2 - 2 = 2\sqrt{3} - 4.$$

Mianownik to licznik ze zmienionym znakiem: $2\sqrt{3} - 4 = -\left(4 - 2\sqrt{3}\right)$, więc

$$f\left(\sqrt{3} - 1\right) = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{-\left(4 - 2\sqrt{3}\right)} = -1.$$

Najczęstszy błąd to $\left(\sqrt{3} - 1\right)^2 = 3 - 1 = 2$ (pominięcie podwojonego iloczynu ze wzoru skróconego mnożenia).

Odpowiedź: B. Zobacz: wzory skróconego mnożenia.

Sprawdzamy wartości funkcji w podanych argumentach:

• $f(0) = 3^0 - 2 = 1 - 2 = -1$ - pasuje punkt $(0, -1)$, nie $(0, -2)$,
• $f(-1) = 3^{-1} - 2 = \frac{1}{3} - 2 = -\frac{5}{3} \ne -5$,
• $f(2) = 9 - 2 = 7 \ne 4$.

Pułapka w B: $3^0 = 1$, a nie $0$. Pułapka w A: $3^{-1} = \frac{1}{3}$, a nie $-3$.

Odpowiedź: C. Zobacz: własności funkcji wykładniczej.

Miejsca zerowe to $-1$ i $3$, więc pierwsza współrzędna wierzchołka leży pośrodku:

$$p = \frac{-1 + 3}{2} = 1.$$

Współczynnik przy $x^2$ to $-2 < 0$, więc ramiona paraboli są skierowane w dół: funkcja rośnie na $(-\infty, 1]$ i maleje na $[1, +\infty)$. Liczba $-8$ to wartość $f(1) = -2 \cdot 2 \cdot (-2) = 8$ ze zmienionym znakiem - w przedziałach monotoniczności występują argumenty, nie wartości.

Odpowiedź: A. Zobacz: miejsca zerowe i postać iloczynowa.

W ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu równa się iloczynowi sąsiednich:

$$(3x)^2 = 15 \cdot \frac{5}{3} = 25 \quad\Longrightarrow\quad 3x = 5 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{5}{3}.$$

Rozwiązanie $3x = -5$ odrzucamy, bo wyrazy są dodatnie. Sprawdzenie: ciąg $15, 5, \frac{5}{3}$ ma iloraz $\frac{1}{3}$. Pułapka: wyraz środkowy to $3x = 5$, a nie $x = 5$ - trzeba jeszcze podzielić przez $3$.

Odpowiedź: D. Zobacz: ciąg geometryczny.

Wyraz jest niedodatni, gdy $b_n \le 0$:

$$3n^2 - 25n \le 0 \quad\Longleftrightarrow\quad n(3n - 25) \le 0 \quad\Longleftrightarrow\quad 0 \le n \le \frac{25}{3} = 8\tfrac{1}{3}.$$

Dla $n \ge 1$ są to liczby $n = 1, 2, \ldots, 8$, czyli $8$ wyrazów. Sprawdzenie: $b_8 = 192 - 200 = -8 \le 0$, a $b_9 = 243 - 225 = 18 > 0$. Odpowiedź C dolicza wyraz $b_9$ (zaokrąglenie $8\frac{1}{3}$ w górę).

Odpowiedź: D. Zobacz: ciąg liczbowy oraz zadania o wyrazach ciągu.

W ciągu arytmetycznym każdy wyraz (poza pierwszym) jest średnią arytmetyczną sąsiednich:

$$a_4 = \frac{a_3 + a_5}{2} = \frac{58}{2} = 29.$$

To samo wychodzi z rachunku: $a_3 + a_5 = (a_4 - r) + (a_4 + r) = 2a_4$.

Odpowiedź: B. Zobacz: ciąg arytmetyczny.

Z jedynki trygonometrycznej $1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$ oraz $1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$. Zatem

$$\frac{\cos\alpha}{\cos^2\alpha} \cdot \frac{\sin^2\alpha}{\sin\alpha} = \frac{1}{\cos\alpha} \cdot \sin\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \operatorname{tg}\alpha.$$

Dla kąta ostrego $\sin\alpha$ i $\cos\alpha$ są dodatnie, więc skracanie jest dozwolone.

Odpowiedź: B. Zobacz: tożsamości trygonometryczne.

Krok 1. Trójkąt $AOB$. Odcinki $OA$ i $OB$ to promienie, więc trójkąt $AOB$ jest równoramienny i kąty przy podstawie $AB$ są równe:

$$|\angle OAB| = \frac{180° - 80°}{2} = 50°.$$

Krok 2. Styczna. Styczna jest prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności, więc $|\angle OAC| = 90°$. Kąt $BAC$ to reszta kąta prostego:

$$|\angle BAC| = 90° - 50° = 40°.$$

Pułapka: odpowiedź D ($50°$) to kąt $OAB$, a nie szukany kąt $BAC$. (Ten sam wynik daje twierdzenie o kącie między styczną a cięciwą: to połowa kąta środkowego $AOB$.)

Odpowiedź: C. Zobacz: styczna i sieczna okręgu.

Tangens kąta ostrego to stosunek przyprostokątnej przeciwległej do przyległej:

$$\operatorname{tg}\alpha = \frac{|BC|}{|AC|} = \frac{|BC|}{8} = \frac{2}{5} \quad\Longrightarrow\quad |BC| = \frac{16}{5}.$$

Pole trójkąta prostokątnego to połowa iloczynu przyprostokątnych:

$$P = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot \frac{16}{5} = \frac{64}{5}.$$

Odpowiedź: D. Zobacz: trygonometria kąta ostrego oraz zadania z trygonometrii.

Pole trójkąta równobocznego o boku $a$ to $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$:

$$\frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{4\sqrt{3}}{9} \quad\Longrightarrow\quad a^2 = \frac{16}{9} \quad\Longrightarrow\quad a = \frac{4}{3}.$$

Obwód to $3a = 4$. Pułapka: odpowiedź C to długość boku, a nie obwód.

Odpowiedź: A. Zobacz: pole trójkąta - wzory.

Krok 1. Wysokość z trójkąta $DBC$. Trójkąt $DBC$ jest prostokątny (kąt prosty przy $D$):

$$|CD|^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25 \quad\Longrightarrow\quad |CD| = 5.$$

Krok 2. Bok $AC$ z trójkąta $ADC$.

$$|AC|^2 = 3^2 + 5^2 = 34 \quad\Longrightarrow\quad |AC| = \sqrt{34}.$$

Odpowiedź B ($\frac{13}{4}$) to wynik błędnego założenia, że trójkąty $ADC$ i $DBC$ są podobne w skali $\frac{3}{12}$.

Odpowiedź: A. Zobacz: twierdzenie Pitagorasa.

Kluczowy pomysł: dorysowujemy promienie $SC$ i $SD$. Każdy trójkąt o wierzchołku $S$ i dwóch wierzchołkach na okręgu jest równoramienny, bo dwa jego boki to promienie.

Krok 1. Trójkąt $SBC$. $|SB| = |SC|$, więc $|\angle SCB| = |\angle SBC| = 60°$.

Krok 2. Trójkąt $SCD$. $|\angle SCD| = 110° - 60° = 50°$, a ponieważ $|SC| = |SD|$, także $|\angle SDC| = 50°$.

Krok 3. Trójkąt $SDA$. $|\angle SDA| = 90° - 50° = 40°$, a ponieważ $|SD| = |SA|$,

$$\alpha = |\angle DAS| = |\angle SDA| = 40°.$$

Sprawdzenie: kąty środkowe przy $S$ to $60°$, $80°$ i $100°$, razem z kątem $ASB$ ($120°$) dają $360°$.

Odpowiedź: D. Zobacz: koła i kąty.

Kąt $\beta$ leży między dwiema wysokościami poprowadzonymi z wierzchołka $B$: na bok $AD$ i na bok $DC$.

Krok 1. Kąt przy wierzchołku $D$. Sąsiednie kąty równoległoboku sumują się do $180°$, więc $|\angle ADC| = 180° - 70° = 110°$.

Krok 2. Czworokąt z wysokościami. Wierzchołek $B$, dwa spodki wysokości i wierzchołek $D$ tworzą czworokąt, w którym dwa kąty są proste. Suma kątów czworokąta to $360°$:

$$\beta = 360° - 90° - 90° - 110° = 70°.$$

Ogólnie: kąt między wysokościami poprowadzonymi z wierzchołka kąta rozwartego równoległoboku jest równy jego kątowi ostremu.

Odpowiedź: B. Zobacz: równoległoboki.

Zapisujemy warunek jako równanie (wielokąt o $n$ wierzchołkach ma $n$ boków):

$$\frac{n(n - 3)}{2} = n + 25 \quad\Longrightarrow\quad n^2 - 3n = 2n + 50 \quad\Longrightarrow\quad n^2 - 5n - 50 = 0.$$

$\Delta = 25 + 200 = 225$, więc $n = \frac{5 + 15}{2} = 10$ (drugi pierwiastek $-5$ odrzucamy). Sprawdzenie: dziesięciokąt ma $\frac{10 \cdot 7}{2} = 35 = 10 + 25$ przekątnych.

Odpowiedź: B. Zobacz: wielokąty.

Koła styczne zewnętrznie nie nachodzą na siebie, więc pole figury to suma pól kół:

$$\pi \cdot 1^2 + \pi \cdot 3^2 = 2\pi r^2 \quad\Longrightarrow\quad 10\pi = 2\pi r^2 \quad\Longrightarrow\quad r^2 = 5 \quad\Longrightarrow\quad r = \sqrt{5}.$$

Pułapka: odpowiedź B ($r = 2$) to średnia promieni $\frac{1 + 3}{2}$ - przy niej obie figury mają tę samą szerokość, ale nie to samo pole ($8\pi \ne 10\pi$).

Odpowiedź: C. Zobacz: pole koła i wycinka.

Krok 1. Połowa przekątnej. Przekątne kwadratu dzielą się na połowy, więc $|AM|$ to połowa przekątnej:

$$|AM| = \sqrt{(1 - 3)^2 + (3 + 5)^2} = \sqrt{4 + 64} = \sqrt{68}.$$

Krok 2. Pole z przekątnej. Przekątna ma długość $d = 2\sqrt{68}$, a pole kwadratu to $\frac{d^2}{2}$:

$$P = \frac{\left(2\sqrt{68}\right)^2}{2} = \frac{4 \cdot 68}{2} = 136.$$

Pułapka: odpowiedź A ($68$) to $|AM|^2$ - pole kwadratu, którego bokiem byłby odcinek $AM$.

Odpowiedź: B. Zobacz: odcinek w układzie współrzędnych.

Losujemy jednocześnie, więc wynikiem jest para nieuporządkowana: $|\Omega| = \binom{8}{2} = 28$. Sześcian ma $4$ przekątne (każda łączy wierzchołek z wierzchołkiem „naprzeciwko”), więc

$$P = \frac{4}{28} = \frac{1}{7}.$$

Pułapki: odpowiedź C to $\frac{4}{56}$ - liczenie par uporządkowanych tylko w mianowniku; odpowiedź D to $\frac{12}{28}$ - doliczenie przekątnych ścian zamiast przekątnych sześcianu.

Odpowiedź: A. Zobacz: obliczanie prawdopodobieństwa.

Liczba trzycyfrowa jest większa od $700$, gdy jej cyfra setek to $7$, $8$ albo $9$ (najmniejsza taka liczba, $712$, i tak przekracza $700$). Liczymy regułą mnożenia:

• cyfra setek: $3$ możliwości ($7$, $8$, $9$),
• cyfra dziesiątek: $5$ możliwości (pozostałe cyfry zbioru),
• cyfra jedności: $4$ możliwości.

$$3 \cdot 5 \cdot 4 = 60.$$

Odpowiedź A ($108 = 3 \cdot 6 \cdot 6$) to liczenie z powtórzeniami cyfr.

Odpowiedź: B. Zobacz: reguła mnożenia i dodawania.

Ciąg jest już uporządkowany niemalejąco i ma parzystą liczbę wyrazów, więc mediana to średnia dwóch środkowych wyrazów - trzeciego i czwartego:

$$\frac{2x + (x + 2)}{2} = 4 \quad\Longrightarrow\quad 3x + 2 = 8 \quad\Longrightarrow\quad x = 2.$$

Sprawdzenie: ciąg $1, 2, 4, 4, 5, 6$ jest niemalejący, a jego mediana to $\frac{4 + 4}{2} = 4$.

Odpowiedź: C. Zobacz: mediana, moda i skala centylowa.

Krok 1. Postać ogólna i pierwiastki. Przenosimy wszystko na lewą stronę: $x^2 - 5x - 14 \le 0$.

$$\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81, \qquad \sqrt{\Delta} = 9,$$

$$x_1 = \frac{5 - 9}{2} = -2, \qquad x_2 = \frac{5 + 9}{2} = 7.$$

Krok 2. Odczyt z paraboli. Parabola $y = x^2 - 5x - 14$ ma ramiona skierowane w górę, więc przyjmuje wartości niedodatnie między pierwiastkami. Nierówność jest nieostra, więc końce należą do zbioru rozwiązań.

Pułapka: rozwiązywanie „$x(x - 5) \le 14$” przez porównanie czynników z liczbą $14$ - tak nie wolno, po prawej stronie musi być zero.

Odpowiedź: $x \in [-2, 7]$. Zobacz: nierówności kwadratowe.

Krok 1. Pozbywamy się mianowników. Liczby $b$ i $b + c$ są dodatnie, więc mnożąc obie strony przez $b(b + c)$, nie zmieniamy znaku nierówności. Dostajemy nierówność równoważną:

$$a(b + c) < b(a + c) \quad\Longleftrightarrow\quad ab + ac < ab + bc \quad\Longleftrightarrow\quad ac < bc.$$

Krok 2. Korzystamy z założenia. Ponieważ $c > 0$, nierówność $ac < bc$ jest równoważna nierówności $a < b$, która jest prawdziwa z założenia. Wszystkie przejścia były równoważnościami, więc wyjściowa nierówność też jest prawdziwa. To kończy dowód.

(Przykład: dla $a = 1$, $b = 2$, $c = 3$ mamy $\frac{1}{2} < \frac{4}{5}$.) Do pełnej punktacji trzeba wyraźnie powołać się na dodatniość mianowników i na założenie $a < b$ - samo przekształcenie bez uzasadnienia to za mało.

Odpowiedź: nierówność zachodzi, bo jest równoważna nierówności $ac < bc$, czyli $a < b$. Zobacz: dowodzenie nierówności.

Krok 1. Wyraz wolny. Funkcja liniowa ma wzór $f(x) = ax + b$. Z warunku $f(0) = 2$ dostajemy $b = 2$.

Krok 2. Współczynnik kierunkowy.

$$f(4) - f(2) = (4a + 2) - (2a + 2) = 2a = 6 \quad\Longrightarrow\quad a = 3.$$

Sprawdzenie: $f(4) = 14$, $f(2) = 8$, różnica $6$. (Wyraz wolny przy odejmowaniu się skraca, więc drugi warunek wyznacza samo $a$ - tak jak współczynnik kierunkowy $\frac{6}{4 - 2}$.)

Odpowiedź: $f(x) = 3x + 2$. Zobacz: funkcja liniowa - wykres i miejsce zerowe.

Krok 1. Dziedzina. Mianownik nie może być zerem: $3x - 2 \ne 0$, czyli $x \ne \frac{2}{3}$.

Krok 2. Mnożymy przez mianownik.

$$3x + 2 = (4 - x)(3x - 2) = 12x - 8 - 3x^2 + 2x = -3x^2 + 14x - 8.$$

Porządkujemy: $3x^2 - 11x + 10 = 0$.

Krok 3. Równanie kwadratowe.

$$\Delta = 121 - 120 = 1, \qquad x_1 = \frac{11 - 1}{6} = \frac{5}{3}, \qquad x_2 = \frac{11 + 1}{6} = 2.$$

Obie liczby są różne od $\frac{2}{3}$, więc należą do dziedziny. Sprawdzenie dla $x = 2$: $\frac{8}{4} = 2 = 4 - 2$; dla $x = \frac{5}{3}$: $\frac{7}{3} = 4 - \frac{5}{3}$.

Odpowiedź: $x = \frac{5}{3}$ lub $x = 2$. Zobacz: równania wymierne.

Krok 1. Bok trójkąta $ABC$.

$$\frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} \quad\Longrightarrow\quad a^2 = 36 \quad\Longrightarrow\quad a = 6.$$

Krok 2. Skala podobieństwa. Punkty $K$ i $L$ leżą na bokach trójkąta $ABC$, więc trójkąt $AKL$ jest mniejszy, a stosunek boków $ABC$ do $AKL$ wynosi $\frac{3}{2}$:

$$\frac{6}{|AK|} = \frac{3}{2} \quad\Longrightarrow\quad |AK| = 4.$$

Trójkąt $AKL$ też jest równoboczny, więc każdy jego bok ma długość $4$. Pułapka: odwrócenie skali daje $6 \cdot \frac{3}{2} = 9$ - bok dłuższy niż bok trójkąta $ABC$, co jest niemożliwe, bo $K$ leży na odcinku $AB$. (Można też liczyć przez pola: stosunek pól to $\frac{9}{4}$, więc pole $AKL$ to $4\sqrt{3}$.)

Odpowiedź: bok trójkąta $AKL$ ma długość $4$. Zobacz: podobieństwo trójkątów.

Krok 1. Wszystkie wyniki. Wynikiem dwóch rzutów jest para uporządkowana $(a, b)$, gdzie $a, b \in \{1, 2, \ldots, 6\}$: $|\Omega| = 6 \cdot 6 = 36$.

Krok 2. Wyniki sprzyjające.

• suma $4$: $(1, 3)$, $(2, 2)$, $(3, 1)$ - $3$ pary,
• suma $5$: $(1, 4)$, $(2, 3)$, $(3, 2)$, $(4, 1)$ - $4$ pary,
• suma $6$: $(1, 5)$, $(2, 4)$, $(3, 3)$, $(4, 2)$, $(5, 1)$ - $5$ par.

Razem $|A| = 3 + 4 + 5 = 12$.

Krok 3. Prawdopodobieństwo.

$$P(A) = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}.$$