Matura próbna marzec 2026 matematyka podstawowa - odpowiedzi i rozwiązania

Dzielenie z resztą zapisujemy jako $x = 20y + 26$ (dzielna = iloraz razy dzielnik plus reszta). Dzielimy obie strony przez $y$:

$$\frac{x}{y} = \frac{20y + 26}{y} = 20 + \frac{26}{y}.$$

Kontrola: dla $y = 30$ mamy $x = 626$ i $\frac{626}{30} = 20 + \frac{26}{30}$. Odpowiedź B zamienia role ilorazu i reszty, a A i C dzielą przez $x$ zamiast przez dzielnik $y$.

Odpowiedź: D. Zobacz: liczby naturalne i całkowite.

Pierwiastki trzeciego stopnia wolno mnożyć i dzielić pod jednym znakiem pierwiastka - także z liczb ujemnych:

$$\sqrt[3]{\frac{50 \cdot (-15)}{2 \cdot 3}} = \sqrt[3]{\frac{-750}{6}} = \sqrt[3]{-125} = -5.$$

Pierwiastek nieparzystego stopnia z liczby ujemnej istnieje i jest ujemny, bo $(-5)^3 = -125$. Zgubienie minusa daje odpowiedź A.

Odpowiedź: B. Zobacz: pierwiastek arytmetyczny oraz zadania z praw działań na pierwiastkach.

Wszystko zapisujemy jako potęgi trójki: $9^{20} = \left(3^2\right)^{20} = 3^{40}$ i $27^{15} = \left(3^3\right)^{15} = 3^{45}$. Wtedy

$$\frac{3^{10} \cdot 3^{40}}{3^{45}} = 3^{10 + 40 - 45} = 3^{5}.$$

Pułapka C: zapis $9^{20} = 3^{20}$ i $27^{15} = 3^{15}$ (podstawa zamieniona, wykładnik nieprzemnożony) daje $3^{30 - 15} = 3^{15}$.

Odpowiedź: B. Zobacz: potęga o wykładniku naturalnym oraz zadania z praw działań na potęgach.

Szukamy wykładnika $c$, dla którego $8^c = \sqrt[5]{2}$. Obie strony to potęgi dwójki:

$$2^{3c} = 2^{\frac{1}{5}} \quad\Longrightarrow\quad 3c = \frac{1}{5} \quad\Longrightarrow\quad c = \frac{1}{15}.$$

Odpowiedź C to $3 \cdot \frac{1}{5}$ - pomnożenie zamiast podzielenia przez $3$, a D to jej odwrotność.

Odpowiedź: A. Zobacz: określenie logarytmu oraz zadania z obliczania logarytmu z definicji.

Krok 1. Różnica kwadratów - dwa razy. $a^4 - b^4 = \left(a^2 - b^2\right)\left(a^2 + b^2\right)$ oraz $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$$2501^4 - 2499^4 = (2501 - 2499)(2501 + 2499)\left(2501^2 + 2499^2\right) = 2 \cdot 5000 \cdot \left(2501^2 + 2499^2\right).$$

Krok 2. Wniosek. $2 \cdot 5000 = 10\,000$, a $2501^2 + 2499^2$ jest liczbą naturalną, więc cała liczba to $10\,000$ razy liczba naturalna - dzieli się przez $10\,000$. To kończy dowód.

Wygodnie jest też zapisać $2501 = 2500 + 1$ i $2499 = 2500 - 1$: wtedy $2501^2 + 2499^2 = 2 \cdot 2500^2 + 2 = 12\,500\,002$. Liczenie czwartych potęg na kalkulatorze nie jest dowodem - wynik ma $12$ cyfr i zwykły kalkulator go zaokrągla.

Odpowiedź: $2501^4 - 2499^4 = 10\,000 \cdot \left(2501^2 + 2499^2\right)$, więc liczba dzieli się przez $10\,000$. Zobacz: wzory skróconego mnożenia oraz zadania z dowodzenia podzielności.

Licznik pierwszego ułamka to kwadrat sumy: $x^2 + 20x + 100 = (x + 10)^2$. Skracamy:

$$\frac{(x + 10)^2}{x^3} \cdot \frac{x^2}{x + 10} = \frac{x + 10}{x}.$$

Skraca się jeden nawias $(x + 10)$ i $x^2$ - zostaje $x + 10$ w liczniku i jedno $x$ w mianowniku. Kontrola dla $x = 10$: $\frac{400}{1000} \cdot \frac{100}{20} = 2$ oraz $\frac{20}{10} = 2$.

Odpowiedź: C. Zobacz: mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych oraz zadania z mnożenia i dzielenia wyrażeń wymiernych.

Iloczyn jest zerem, gdy zeruje się któryś czynnik:

• $2x = 0$ daje $x = 0$;
• $x^2 - 3 = 0$ daje $x = -\sqrt{3}$ lub $x = \sqrt{3}$;
• $x^2 + 2x + 3 = 0$ ma $\Delta = 4 - 12 = -8 < 0$, więc nie ma rozwiązań.

Razem trzy rozwiązania. Odpowiedź D liczy stopień wielomianu ($1 + 2 + 2 = 5$) zamiast rozwiązań, a B pomija $x = 0$.

Odpowiedź: C. Zobacz: równania wielomianowe oraz zadania z równań wielomianowych.

Krok 1. Postać ogólna. $x^2 + 2x - 15 > 9$, czyli $x^2 + 2x - 24 > 0$.

Krok 2. Pierwiastki trójmianu.

$$\Delta = 4 + 96 = 100, \qquad x_1 = \frac{-2 - 10}{2} = -6, \qquad x_2 = \frac{-2 + 10}{2} = 4.$$

Krok 3. Odczyt ze szkicu paraboli. Ramiona w górę, nierówność ostra „$> 0$”, więc bierzemy argumenty na zewnątrz pierwiastków, bez końców.

Pułapka: z postaci $(x - 3)(x + 5) > 9$ nie wolno odczytać pierwiastków $3$ i $-5$ - po prawej stronie nie stoi zero. Taki błąd daje $(-\infty, -5) \cup (3, +\infty)$.

Odpowiedź: $x \in (-\infty, -6) \cup (4, +\infty)$. Zobacz: nierówności kwadratowe oraz zadania z nierówności kwadratowych.

Dzielimy równania przez $20$ i $26$:

$$x + y = \frac{1}{20}, \qquad x - y = \frac{1}{26}.$$

Stwierdzenie 1. Suma $x_0 + y_0 = \frac{1}{20} > 0$. Prawda - bez rozwiązywania układu.

Stwierdzenie 2. Dodając i odejmując równania: $x_0 = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{20} + \frac{1}{26}\right) = \frac{23}{520}$ oraz $y_0 = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{20} - \frac{1}{26}\right) = \frac{3}{520}$. Obie liczby są dodatnie, więc iloczyn też. Prawda.

Odpowiedź: P, P. Zobacz: metoda przeciwnych współczynników oraz zadania z metody przeciwnych współczynników.

Stwierdzenie 1. Funkcja liniowa maleje, gdy współczynnik kierunkowy jest ujemny: $k + 2 < 0$, czyli $k < -2$. Przedział $(-\infty, 2)$ zawiera też np. $k = 0$, dla którego $f(x) = 2x - 3$ rośnie. Fałsz - pułapka to pomylenie $-2$ z $2$.

Stwierdzenie 2. Dla $k = 4$: $f(x) = 6x + 1$, więc $f(0) = 1$. Prawda.

Odpowiedź: F, P. Zobacz: współczynnik kierunkowy oraz zadania z monotoniczności funkcji liniowej.

11.1. W przedziale $[-4, -2]$ jest też punkt $x = -2$, a $f(-2) = 1$ (drugi wzór). Tymczasem $f(-2{,}5) = 2{,}5 > f(-2)$ - funkcja nie jest rosnąca na całym przedziale domkniętym; rośnie tylko na $[-4, -2)$. Fałsz. Na $[1, 3]$: $f(1) = 4$, tuż za $1$ wartości spadają poniżej $3$ i maleją aż do $f(3) = -1$, więc dla $x_1 < x_2$ z tego przedziału zawsze $f(x_1) > f(x_2)$. Prawda. Odpowiedź: F, P.

11.2. Najwyższy punkt wykresu to $(1, 4)$, zamalowany, więc największa wartość to $4$ (wartość $3$ na pustych kółkach nie jest osiągana). Prosta $y = \sqrt{5} \approx 2{,}24$ przecina każdy z trzech odcinków: $x + 5 = \sqrt{5}$ daje $x = \sqrt{5} - 5 \in [-4, -2)$, $x + 3 = \sqrt{5}$ daje $x = \sqrt{5} - 3 \in [-2, 1]$, a $-2x + 5 = \sqrt{5}$ daje $x = \frac{5 - \sqrt{5}}{2} \in (1, 3]$. Odpowiedź: $4$; $3$ rozwiązania.

11.3. Dziedzina to suma przedziałów ze wzoru: $[-4, -2) \cup [-2, 1] \cup (1, 3] = [-4, 3]$. Na pierwszych dwóch kawałkach $f(x) \ge 1$, a na trzecim $-2x + 5 < 1 \iff x > 2$. Liczba $2$ nie należy do zbioru, bo $f(2) = 1$, a nierówność jest ostra. Odpowiedź: $[-4, 3]$; $(2, 3]$.

Zobacz: odczytywanie własności funkcji z wykresu, monotoniczność funkcji oraz zadania z odczytu z wykresu.

Krok 1. Wierzchołek.

$$x_C = \frac{-40}{2 \cdot (-16)} = \frac{5}{4}, \qquad y_C = f\!\left(\frac{5}{4}\right) = -16 \cdot \frac{25}{16} + 50 + 11 = 36.$$

Krok 2. Miejsca zerowe.

$$\Delta = 1600 + 704 = 2304 = 48^2, \qquad x_A = \frac{-40 + 48}{-32} = -\frac{1}{4}, \qquad x_B = \frac{-40 - 48}{-32} = \frac{11}{4}.$$

Krok 3. Pole. Podstawą trójkąta jest odcinek $AB$ na osi $Ox$, a wysokością - odległość wierzchołka od tej osi, czyli $y_C$:

$$|AB| = \frac{11}{4} + \frac{1}{4} = 3, \qquad P_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 36 = 54.$$

Szybciej: $|AB| = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|} = \frac{48}{16} = 3$. Pułapka: wysokością jest $y_C = 36$, a nie $x_C$.

Odpowiedź: $P_{ABC} = 54$. Zobacz: miejsca zerowe i postać iloczynowa, postać kanoniczna oraz zadania z miejsc zerowych funkcji kwadratowej.

Przy proporcjonalności odwrotnej iloczyn $x \cdot y$ jest stały:

$$18 \cdot 9 = 24 \cdot a \quad\Longrightarrow\quad a = \frac{162}{24} = 6{,}75.$$

Pułapka C: proporcjonalność prosta ($\frac{y}{x}$ stałe) daje $a = \frac{9 \cdot 24}{18} = 12$ - stąd podkreślone w arkuszu słowo „odwrotnie”.

Odpowiedź: B. Zobacz: proporcjonalność odwrotna oraz zadania z proporcjonalności odwrotnej.

Krok 1. Piąty wyraz. $a_5 = \frac{15 + 9}{6} = 4$.

Krok 2. Warunek ciągu arytmetycznego. Środkowy wyraz to średnia arytmetyczna sąsiadów:

$$2 \cdot 2x^2 = 4 + 3x^2 + 5 \quad\Longrightarrow\quad 4x^2 = 3x^2 + 9 \quad\Longrightarrow\quad x^2 = 9.$$

Krok 3. Rozwiązania. $x = -3$ lub $x = 3$. Sprawdzenie: ciąg $(4, 18, 32)$ ma stałą różnicę $14$ dla obu wartości.

Pułapka: zapisanie z $x^2 = 9$ tylko $x = 3$ - to kosztuje punkt.

Odpowiedź: $x = -3$ lub $x = 3$. Zobacz: ciąg arytmetyczny oraz zadania z ciągu arytmetycznego.

To ciąg arytmetyczny o $a_1 = 5$ i $r = 2$. Setny wyraz: $a_{100} = 5 + 99 \cdot 2 = 203$. Suma:

$$S_{100} = \frac{a_1 + a_{100}}{2} \cdot 100 = \frac{5 + 203}{2} \cdot 100 = 10\,400.$$

Odpowiedź A to sam wyraz $a_{100}$, a B i D biorą o jeden krok za dużo ($5 + 100 \cdot 2 = 205$, co daje sumę $10\,500$).

Odpowiedź: C. Zobacz: suma ciągu arytmetycznego oraz zadania z sumy ciągu arytmetycznego.

$a_8 = a_6 \cdot q^2$, więc $a_6 = 25 a_6 q^2$, czyli $q^2 = \frac{1}{25}$ i $q = \frac{1}{5}$ albo $q = -\frac{1}{5}$.

Przy ujemnym ilorazie wyrazy zmieniają znak na przemian, więc ciąg nie jest monotoniczny - odpada B. Dla $q = \frac{1}{5}$ i $a_1 > 0$ ciąg maleje (np. $25, 5, 1, \ldots$). Odpowiedzi C i D odwracają warunek, jakby $a_8 = 25 a_6$.

Odpowiedź: A. Zobacz: ciąg geometryczny oraz zadania z ciągu geometrycznego.

Krok 1. Uproszczenie. $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, więc

$$\frac{3\sin\alpha}{\operatorname{tg}\alpha} = 3\sin\alpha \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = 3\cos\alpha.$$

Krok 2. Cosinus. Z jedynki trygonometrycznej $\cos^2\alpha = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$. Kąt rozwarty ma cosinus ujemny:

$$\cos\alpha = -\sqrt{\frac{2}{3}} = -\frac{\sqrt{6}}{3}, \qquad 3\cos\alpha = -\sqrt{6}.$$

Pułapka: zapomnienie o znaku daje $\sqrt{6}$ - właśnie dlatego słowo „rozwarty” jest w arkuszu podkreślone.

Odpowiedź: $-\sqrt{6}$. Zobacz: funkcje trygonometryczne dowolnego kąta oraz zadania z funkcji dowolnego kąta.

Skoro $BC$ jest przeciwprostokątną, kąt prosty jest przy $A$. Przy kącie $BCA$ leży przyprostokątna $AC$, a naprzeciw niego - $AB$:

$$\operatorname{tg}\angle BCA = \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{3}{2} \quad\Longrightarrow\quad |AB| = \frac{3}{2} \cdot 6 = 9.$$

Odpowiedź B wychodzi z odwróconego ilorazu ($6 \cdot \frac{2}{3}$), a D to długość przeciwprostokątnej $|BC| = \sqrt{36 + 81}$.

Odpowiedź: C. Zobacz: trygonometria kąta ostrego oraz zadania z wartości funkcji trygonometrycznych.

Środek okręgu wpisanego jest jednakowo odległy od wszystkich boków trójkąta, a punkty jednakowo odległe od ramion kąta leżą na jego dwusiecznej. Symetralne boków (B) wyznaczają środek okręgu opisanego - punkt jednakowo odległy od wierzchołków. Środkowe (C) przecinają się w środku ciężkości, a wysokości (D) - w ortocentrum.

Odpowiedź: A. Zobacz: okrąg wpisany w trójkąt oraz zadania z okręgu opisanego i wpisanego.

Krok 1. Kąt środkowy COD. $B$, $O$, $D$ leżą na średnicy, więc $\angle COD = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Krok 2. Kąt wpisany CAD jest oparty na tym samym łuku $CD$, więc jest dwa razy mniejszy: $\angle CAD = 45^\circ$.

Krok 3. Trójkąt AKD. Kąt $BDA$ to kąt $KDA$, bo $K$ leży na odcinku $DB$:

$$\angle KDA = 180^\circ - 78^\circ - 45^\circ = 57^\circ.$$

Odpowiedź A to kąt $CAD$, a D - kąt $AKD$ z treści.

Odpowiedź: C. Zobacz: koła i kąty w okręgu oraz zadania z kątów w okręgu.

Krok 1. Trójkąt równoramienny ACD. Niech $|CD| = a$, więc $|AB| = 2a$, i niech $\alpha$ oznacza połowę kąta $DAB$. Przekątna leży na dwusiecznej, więc $\angle DAC = \angle CAB = \alpha$. Podstawy są równoległe, więc kąty $DCA$ i $CAB$ są naprzemianległe: $\angle DCA = \alpha$. Trójkąt $ACD$ ma dwa równe kąty przy boku $AC$, czyli jest równoramienny: $|AD| = |CD| = a$. Trapez jest równoramienny, więc też $|BC| = a$.

Krok 2. Rzut ramienia na podstawę. Spuszczamy wysokości z $D$ i $C$ na podstawę $AB$. Odcinek między ich spodkami ma długość $|CD| = a$, a dwa skrajne odcinki są równe, więc rzut ramienia $AD$ na podstawę ma długość

$$\frac{|AB| - |CD|}{2} = \frac{2a - a}{2} = \frac{a}{2}.$$

Krok 3. Kąt. W trójkącie prostokątnym z przeciwprostokątną $AD = a$:

$$\cos\angle DAB = \frac{\frac{a}{2}}{a} = \frac{1}{2} \quad\Longrightarrow\quad \angle DAB = 60^\circ.$$

To kończy dowód. Kluczowy jest krok 1 - bez zauważenia, że $|AD| = |CD|$, dane nie wystarczą. Pułapka: przyjęcie od początku, że kąt ma $60^\circ$, i sprawdzenie, że wszystko się zgadza, nie jest dowodem.

Odpowiedź: $|AD| = |CD| = \frac{1}{2}|AB|$, więc $\cos\angle DAB = \frac{1}{2}$ i $\angle DAB = 60^\circ$. Zobacz: trapezy oraz zadania z trapezów.

Zacieniowana figura to koło bez sześciokąta. Sześciokąt foremny wpisany w okrąg o promieniu $1$ składa się z sześciu trójkątów równobocznych o boku $1$:

$$P_{\text{sześciokąta}} = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{2}, \qquad P = \pi \cdot 1^2 - \frac{3\sqrt{3}}{2}.$$

Odpowiedź A odejmuje tylko jeden trójkąt, a D jest ujemna ($3\sqrt{3} \approx 5{,}2 > \pi$) - pole nie może być ujemne.

Odpowiedź: B. Zobacz: pole koła i wycinka oraz zadania z pola koła i wycinka.

Przekształcamy oba równania do postaci kierunkowej:

$$k\colon y = -\frac{m - 1}{3}x - \frac{5}{3}, \qquad l\colon y = -6x - 7.$$

Proste równoległe mają równe współczynniki kierunkowe: $\frac{m - 1}{3} = 6$, więc $m - 1 = 18$ i $m = 19$. Wyrazy wolne są różne, więc proste się nie pokrywają.

Pułapki: porównanie samych współczynników przy $x$ ($m - 1 = 6$, odpowiedź B) - zapominając, że w $k$ przy $y$ stoi $3$, a w $l$ jedynka; odpowiedź C to $m - 1$ zamiast $m$.

Odpowiedź: D. Zobacz: równanie ogólne prostej oraz zadania z prostych równoległych.

Krok 1. Obraz przekątnej. Symetria względem osi $Oy$ zmienia znak pierwszej współrzędnej: $A' = (3, 0)$, $C' = (-5, 6)$. Odcinek $A'C'$ jest przekątną kwadratu $A'B'C'D'$.

Krok 2. Środek okręgu to środek przekątnej:

$$S = \left(\frac{3 + (-5)}{2}, \frac{0 + 6}{2}\right) = (-1, 3).$$

Krok 3. Promień to połowa przekątnej:

$$|A'C'| = \sqrt{(-5 - 3)^2 + (6 - 0)^2} = \sqrt{100} = 10, \qquad r = 5.$$

Krok 4. Równanie okręgu.

$$(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 25.$$

Pozostałych wierzchołków kwadratu nie trzeba wyznaczać. Pułapki: odbicie względem osi $Ox$ (zmiana znaku drugiej współrzędnej), środek okręgu dla kwadratu $ABCD$ zamiast jego obrazu, czyli $(1, 3)$, oraz $r = 10$ zamiast połowy przekątnej.

Odpowiedź: $(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 25$. Zobacz: równanie okręgu, symetria osiowa oraz zadania z równania okręgu.

Boki trójkąta $ACH$ to przekątne trzech ścian sześcianu, każda o długości $a\sqrt{2}$. Trójkąt jest więc równoboczny:

$$P = \frac{\left(a\sqrt{2}\right)^2\sqrt{3}}{4} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \quad\Longrightarrow\quad a^2 = 8 \quad\Longrightarrow\quad a = 2\sqrt{2}.$$

Pułapka C: wzór na pole trójkąta równobocznego o boku $a$ zamiast $a\sqrt{2}$ daje $\frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$, czyli $a = 4$ - to długość boku trójkąta, nie krawędzi.

Odpowiedź: B. Zobacz: graniastosłupy oraz zadania z graniastosłupów.

Krok 1. Wysokość ostrosłupa. Kąt między ścianą boczną a podstawą leży w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych: wysokość ostrosłupa $H$ i odcinek od środka podstawy do środka krawędzi, czyli połowa krawędzi, $6$:

$$\operatorname{tg}30^\circ = \frac{H}{6} \quad\Longrightarrow\quad H = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}.$$

Krok 2. Objętość.

$$V = \frac{1}{3} \cdot 12^2 \cdot 2\sqrt{3} = \frac{1}{3} \cdot 144 \cdot 2\sqrt{3} = 96\sqrt{3}.$$

Pułapki: w trójkącie z kątem nachylenia ściany leży połowa krawędzi, a nie połowa przekątnej podstawy $6\sqrt{2}$ (ta dotyczy kąta nachylenia krawędzi bocznej), oraz pominięcie czynnika $\frac{1}{3}$ we wzorze na objętość.

Odpowiedź: $V = 96\sqrt{3}$. Zobacz: kąt między prostą a płaszczyzną, kąt dwuścienny oraz zadania z kąta dwuściennego.

W bryłach podobnych w skali $k$ pola zmieniają się $k^2$ razy, a objętości $k^3$ razy:

$$P_2 = 2^2 \cdot 12\pi = 48\pi, \qquad V_2 = 2^3 \cdot 4\pi = 32\pi.$$

Oba stwierdzenia są prawdziwe. Pułapka: mnożenie pola i objętości przez samo $k = 2$ (wtedy $24\pi$ i $8\pi$) albo objętości przez $k^2$ ($16\pi$).

Odpowiedź: P, P. Zobacz: bryły podobne oraz zadania z podobieństwa brył.

Najpierw ustalamy, które obszary graniczą: $1$ z $2$, $2$ z $3$, $3$ z $4$ i z $5$, a $5$ z $6$. Kolorujemy po kolei, zawsze obszar sąsiadujący z już pokolorowanym:

• obszar $1$: dowolny z $7$ kolorów;
• obszar $2$: inny niż $1$ - $6$ możliwości;
• obszar $3$: inny niż $2$ - $6$ możliwości (może mieć kolor obszaru $1$, bo z nim nie graniczy);
• obszar $4$: inny niż $3$ - $6$; obszar $5$: inny niż $3$ - $6$; obszar $6$: inny niż $5$ - $6$.

Z reguły mnożenia:

$$7 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 = 7 \cdot 6^5.$$

Pułapka D: wymaganie, żeby wszystkie obszary miały różne kolory - a warunek dotyczy tylko obszarów graniczących ze sobą.

Odpowiedź: A. Zobacz: reguła mnożenia i dodawania oraz zadania z reguły mnożenia.

Liczb dwucyfrowych jest $99 - 10 + 1 = 90$. Wielokrotności $34$ wśród nich to $34$ i $68$ (następna, $102$, jest trzycyfrowa):

$$P(A) = \frac{2}{90}.$$

Pułapki: liczenie liczb dwucyfrowych jako $99 - 10 = 89$ (odpowiedzi A i B) oraz pominięcie $68$ (odpowiedź C).

Odpowiedź: D. Zobacz: obliczanie prawdopodobieństwa oraz zadania z prawdopodobieństwa klasycznego.

Każdą ocenę mnożymy przez jej wagę, a sumę dzielimy przez sumę wag wszystkich ocen (siedem ocen, nie trzy kategorie):

$$\bar{x} = \frac{2 \cdot (4 + 4 + 3) + 3 \cdot (2 + 5) + 4 \cdot (5 + 4)}{3 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 2 \cdot 4},$$

czyli

$$\bar{x} = \frac{22 + 21 + 36}{20} = \frac{79}{20} = 3{,}95.$$

Pułapka: dzielenie przez $2 + 3 + 4 = 9$, jakby każda waga wystąpiła tylko raz.

Odpowiedź: C. Zobacz: średnia z próby oraz zadania ze średniej ważonej.

Zamieniamy procenty na liczby meczów ($50 \cdot$ procent): $0$ goli - $4$ mecze, $1$ gol - $21$, $2$ gole - $16$, $3$ gole - $6$, $4$ gole - $3$ (razem $50$).

Danych jest $50$, więc mediana to średnia $25.$ i $26.$ wyniku po uporządkowaniu. Narastająco: wyniki od $1.$ do $4.$ to $0$, od $5.$ do $25.$ to $1$, od $26.$ do $41.$ to $2$. Zatem

$$\text{Me} = \frac{1 + 2}{2} = 1{,}5.$$

Pułapka A: $1$ to dominanta (największy wycinek, $42\%$), a nie mediana.

Odpowiedź: B. Zobacz: mediana, moda i skala centylowa oraz zadania z mediany i dominanty.

Wzór jest w postaci kanonicznej: wierzchołek $\left(\pi, \sqrt{2}\right)$, ramiona w dół ($a = -5 < 0$).

32.1. Wierzchołek $x = \pi \approx 3{,}14$ należy do przedziału $[0, 6]$, więc tam funkcja ma największą wartość. Pułapka B: liczba $3$ leży blisko $\pi$, ale to nie ten sam argument. Odpowiedź: C.

32.2. Najmniejsza wartość jest na tym końcu przedziału, który leży dalej od wierzchołka: $|0 - \pi| = \pi \approx 3{,}14$, a $|6 - \pi| \approx 2{,}86$. Sprawdzenie:

$$f(0) = -5\pi^2 + \sqrt{2} \approx -47{,}9, \qquad f(6) = -5(6 - \pi)^2 + \sqrt{2} \approx -39{,}4.$$

Pułapka D: wybór końca „większego” przedziału. Odpowiedź: A.

Zobacz: wartość najmniejsza i największa w przedziale oraz zadania z wartości w przedziale.