Co to jest funkcja - argument, wartość, sposoby opisu

Q: Czy dwa różne argumenty mogą mieć tę samą wartość?

Tak i jest to zupełnie normalne - funkcja f(x) = x² przyjmuje wartość 9 zarówno dla x = 3, jak i x = -3. Zakazana jest sytuacja odwrotna: jednemu argumentowi nie mogą odpowiadać dwie różne wartości.

Q: Czym różni się f od f(x)?

Litera f oznacza całą funkcję - przepis przyporządkowania. Zapis f(x) to wartość tej funkcji dla argumentu x, czyli konkretna liczba. Dlatego mówimy „funkcja f", ale „f(2) = 7".

Q: Czy funkcja może przyjmować tę samą wartość dla wszystkich argumentów?

Tak - to funkcja stała, np. f(x) = 5. Warunek definicji jest spełniony: każdy argument ma dokładnie jedną wartość, a to, że wszystkie są równe, niczemu nie przeszkadza.

Klasa 1 liceum i technikum

Funkcja - najważniejsze pojęcia

$f \colon X \to Y$

Funkcja $f$ przyporządkowuje każdemu elementowi zbioru $X$ dokładnie jeden element zbioru $Y$ .

$X - \text{dziedzina (zbiór argumentów)} \qquad Y - \text{zbiór, do którego trafiają wartości}$

$y = f(x) \quad - \quad x \text{ to argument},\ \ y \text{ to wartość funkcji dla argumentu } x$

Funkcja - intuicja na start

Wyobraź sobie maszynę: wrzucasz do niej liczbę, a maszyna według ustalonej reguły wyrzuca jakąś inną liczbę. Wrzucasz $3$ - wypada $9$ . Wrzucasz $5$ - wypada $25$ . Reguła brzmi: „podnieś do kwadratu”. Taka maszyna to właśnie funkcja.

Najważniejsze w tej maszynie jest to, że dla tego samego argumentu zawsze wyrzuca ten sam wynik. Nie może być tak, że raz po wrzuceniu $3$ dostajemy $9$ , a innym razem $7$ . To warunek, który odróżnia funkcję od zwykłego „przyporządkowania”.

Definicja funkcji

Funkcją ze zbioru $X$ w zbiór $Y$ nazywamy takie przyporządkowanie, w którym każdemu elementowi zbioru $X$ odpowiada dokładnie jeden element zbioru $Y$ .

Zapisujemy to krótko $f \colon X \to Y$ (czytamy: „ $f$ odwzorowuje $X$ w $Y$ ”). W tej definicji kryją się dwa warunki, które trzeba spełnić jednocześnie:

każdemu - żaden element zbioru $X$ nie może zostać bez przyporządkowania;
dokładnie jeden - jednemu elementowi $X$ nie wolno przypisać dwóch różnych elementów $Y$ .

Uwaga w drugą stronę: różnym argumentom wolno mieć tę samą wartość. Maszyna „podnieś do kwadratu” zarówno z $-3$ , jak i z $3$ robi $9$ - i to jest w porządku.

Dziedzina, argument, wartość

Pojęcia, których będziemy używać przez cały dział:

Dziedzina - zbiór $X$ , czyli wszystkie liczby, które wolno wrzucić do maszyny. Oznaczamy ją zwykle $D$ lub $D_f$ .
Argument - pojedynczy element dziedziny, oznaczany najczęściej literą $x$ .
Wartość funkcji - liczba, którą maszyna wyrzuca dla danego argumentu; oznaczamy ją $f(x)$ (czytamy „ $f$ od $x$ ”) albo $y$ .

Zapis $f(2) = 5$ czytamy: „wartość funkcji $f$ dla argumentu $2$ wynosi $5$ ”. Krótko mówiąc: wkładamy $2$ , dostajemy $5$ .

Zbiorem wartości funkcji nazywamy zbiór wszystkich liczb, które maszyna naprawdę wyrzuca (oznaczenie $ZW_f$ ). To nie to samo co zbiór $Y$ - $Y$ jest „workiem”, do którego wartości mogą trafić, a zbiór wartości to tylko te, które faktycznie się pojawiają.

Funkcja liczbowa

Gdy zarówno dziedzina, jak i wartości są liczbami (zbiory $X$ i $Y$ są podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$ ), funkcję nazywamy funkcją liczbową. W liceum zajmujemy się prawie wyłącznie takimi funkcjami - na przykład $f(x) = 2x + 1$ czy $f(x) = x^2$ .

Pięć sposobów opisywania funkcji

Tę samą funkcję można przedstawić na różne sposoby. Pokażemy je na jednym przykładzie: funkcji „podnieś do kwadratu” określonej na zbiorze $X = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$ .

1. Opis słowny

Po prostu opisujemy regułę zdaniem:

„Każdej liczbie ze zbioru $X$ przyporządkowujemy jej kwadrat.”

To najbardziej naturalny opis, ale przy rachunkach mało wygodny.

2. Wzór (opis analityczny)

Najczęstszy sposób w matematyce - reguła zapisana wzorem:

$f(x) = x^2.$

Ze wzoru łatwo policzyć wartość dla dowolnego argumentu, np. $f(-2) = (-2)^2 = 4$ .

3. Tabela

Wypisujemy argumenty i odpowiadające im wartości obok siebie:

Tabela wartości: w górnym wierszu argumenty x, w dolnym wartości f(x) = x².

Tabela jest wygodna, gdy dziedzina ma niewiele elementów. Dla nieskończonej dziedziny się nie sprawdzi - nie wypiszemy wszystkich liczb.

4. Graf (diagram strzałkowy)

Rysujemy dwa zbiory i łączymy strzałkami argument z jego wartością:

Z każdego argumentu wychodzi dokładnie jedna strzałka. Do wartości 1 oraz 4 prowadzą po dwie strzałki - to dozwolone.

Z grafu od razu widać warunek bycia funkcją: z każdego elementu zbioru $X$ wychodzi dokładnie jedna strzałka. Gdyby z któregoś argumentu wychodziły dwie - to nie byłaby funkcja.

5. Wykres

Najważniejszy sposób w liceum - każdy argument i jego wartość zaznaczamy jako punkt $\big(x,\, f(x)\big)$ w układzie współrzędnych. Wykresowi poświęcamy całą następną lekcję.

Co nie jest funkcją - typowy błąd

Rozważmy przyporządkowanie: „każdej liczbie przypisz liczbę, której jest kwadratem”. Liczbie $9$ należałoby przypisać i $3$ , i $-3$ (bo $3^2 = 9$ oraz $(-3)^2 = 9$ ). Jednemu argumentowi wychodzą dwie wartości - to nie jest funkcja.

To samo widać na wykresie: jeśli jakaś pionowa prosta przecina rysunek w dwóch punktach, to nie przedstawia on funkcji. Tę praktyczną regułę (test pionowej prostej) omówimy dokładnie przy wykresie.

Najczęstsze pytania

Czy dwa różne argumenty mogą mieć tę samą wartość? Tak i jest to zupełnie normalne - funkcja $f(x) = x^2$ przyjmuje wartość $9$ zarówno dla $x = 3$ , jak i $x = -3$ . Zakazana jest sytuacja odwrotna: jednemu argumentowi nie mogą odpowiadać dwie różne wartości.

Czym różni się $f$ od $f(x)$ ? Litera $f$ oznacza całą funkcję - przepis przyporządkowania. Zapis $f(x)$ to wartość tej funkcji dla argumentu $x$ , czyli konkretna liczba. Dlatego mówimy „funkcja $f$ ”, ale „ $f(2) = 7$ ”.

Czy funkcja musi być dana wzorem? Nie. Wzór to tylko jeden z pięciu sposobów opisu - równie dobre są tabelka, wykres, graf i opis słowny. Cena biletu zależna od wieku pasażera jest funkcją, choć zwykle podaje się ją w tabeli, a nie wzorem.

Czy funkcja może przyjmować tę samą wartość dla wszystkich argumentów? Tak - to funkcja stała, np. $f(x) = 5$ . Warunek definicji jest spełniony: każdy argument ma dokładnie jedną wartość, a to, że wszystkie są równe, niczemu nie przeszkadza.

Przećwicz

Wartości funkcji i argumenty → - obliczanie wartości, szukanie argumentu o zadanej wartości.

Podsumowanie

Funkcja $f \colon X \to Y$ przyporządkowuje każdemu argumentowi dokładnie jedną wartość.
Dziedzina to zbiór dozwolonych argumentów, a zbiór wartości to zbiór faktycznie przyjmowanych wyników.
Funkcja liczbowa ma argumenty i wartości będące liczbami.
Funkcję opisujemy: słownie, wzorem, tabelą, grafem albo wykresem - wzór i wykres są najważniejsze.