Przypomnienie i uzupełnienie wiadomości o równaniach

Klasa 1 liceum i technikum

Czym jest równanie

Równanie to równość dwóch wyrażeń, w której występuje niewiadoma (najczęściej oznaczana literą $x$). Na przykład:

$2x + 3 = 11.$

Wyrażenie po lewej stronie znaku równości nazywamy lewą stroną równania, a po prawej - prawą stroną. Równanie można sobie wyobrazić jak wagę w równowadze: obie strony muszą się równoważyć.

Rozwiązanie równania

Rozwiązaniem (pierwiastkiem) równania nazywamy każdą liczbę, która podstawiona w miejsce niewiadomej zamienia równanie w prawdziwą równość. Rozwiązać równanie to znaleźć wszystkie jego rozwiązania, czyli wyznaczyć zbiór rozwiązań.

Aby sprawdzić, czy dana liczba jest rozwiązaniem, podstawiamy ją do równania i sprawdzamy, czy obie strony są równe. Na przykład dla równania $2x + 3 = 11$ liczba $4$ jest rozwiązaniem, bo:

$2 \cdot 4 + 3 = 8 + 3 = 11,$

a liczba $5$ nie jest, bo $2 \cdot 5 + 3 = 13 \ne 11$.

Dziedzina równania

Dziedziną równania nazywamy zbiór wszystkich liczb, dla których obie strony równania mają sens (są określone). Dla większości równań dziedziną jest cały zbiór $\mathbb{R}$, ale nie zawsze - na przykład w równaniu

$\frac{6}{x} = 3$

niewiadoma nie może być równa zeru (nie wolno dzielić przez zero), więc dziedziną jest $\mathbb{R} \setminus \{0\}$. Rozwiązań szukamy zawsze w obrębie dziedziny.

Rodzaje równań

Ze względu na liczbę rozwiązań rozróżniamy trzy rodzaje równań.

Równanie oznaczone ma skończoną liczbę rozwiązań (najczęściej jedno), np.:

$2x + 3 = 11 \quad\Rightarrow\quad x = 4.$

Równanie tożsamościowe spełnia każda liczba z dziedziny - jego zbiorem rozwiązań jest cała dziedzina. Po uproszczeniu obu stron otrzymujemy równość zawsze prawdziwą, np.:

$2(x + 1) = 2x + 2.$

Po wymnożeniu lewej strony dostajemy $2x + 2 = 2x + 2$ - to prawda dla dowolnego $x$.

Równanie sprzeczne nie ma żadnego rozwiązania - jego zbiór rozwiązań jest pusty. Po przekształceniu otrzymujemy równość fałszywą, np.:

$x + 1 = x + 5.$

Po odjęciu $x$ od obu stron zostaje $1 = 5$, co nigdy nie jest prawdą.

Równania równoważne

Dwa równania nazywamy równoważnymi, gdy mają ten sam zbiór rozwiązań. Na przykład równania

$2x + 3 = 11 \qquad \text{oraz} \qquad x = 4$

są równoważne, bo oba spełnia tylko liczba $4$. Na zamianie równania na prostsze równanie równoważne opiera się metoda rozwiązywania równań, którą poznasz w następnej lekcji.

Najczęstsze pytania

Czym różni się równanie od tożsamości? Równanie jest prawdziwe tylko dla pewnych argumentów (np. $2x = 6$ tylko dla $x = 3$), a tożsamość dla wszystkich liczb z dziedziny (np. $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$). Równanie tożsamościowe to takie, którego rozwiązaniem jest cała dziedzina.

Po co ustalać dziedzinę równania? Bo niektóre wyrażenia nie mają sensu dla wszystkich liczb - mianownik nie może być zerem, a pod pierwiastkiem parzystym musi być liczba nieujemna. Rozwiązanie spoza dziedziny trzeba odrzucić, nawet jeśli wypadło z rachunków.

Co to znaczy, że równanie jest sprzeczne? Że nie ma żadnego rozwiązania - po przekształceniach zostaje fałszywa równość liczbowa, np. $0 = 5$. Odpowiedzią jest wtedy zbiór pusty.

Jak sprawdzić, czy liczba jest rozwiązaniem? Podstawić ją w miejsce niewiadomej i policzyć obie strony osobno. Jeśli wyjdzie ta sama wartość, liczba spełnia równanie. To najprostszy sposób kontroli własnych obliczeń.