Równania trygonometryczne elementarne - sin x = a, cos x = a, tg x = a

Klasa 3 liceum i technikum

Równanie trygonometryczne elementarne to równanie postaci $\sin x = a$, $\cos x = a$, $\operatorname{tg} x = a$ albo $\operatorname{ctg} x = a$. Rozwiązuje się je w dwóch krokach: znajdujemy jedno rozwiązanie $x_0$ (zwykle z tablicy wartości), a potem dopisujemy wszystkie pozostałe, korzystając z symetrii i okresowości funkcji. Równanie $\sin x = \frac{1}{2}$ ma rozwiązania $x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$ lub $x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$, gdzie $k \in \mathbb{Z}$.

Dlaczego rozwiązań jest nieskończenie wiele

Równanie liniowe ma zwykle jedno rozwiązanie, kwadratowe - co najwyżej dwa. Równanie trygonometryczne ma ich nieskończenie wiele, bo funkcje trygonometryczne są okresowe: jeśli $\sin x_0 = \frac{1}{2}$, to także $\sin(x_0 + 2\pi) = \frac{1}{2}$, $\sin(x_0 + 4\pi) = \frac{1}{2}$ i tak dalej.

Na wykresie widać jeszcze jedno: w każdym okresie prosta $y = \frac{1}{2}$ przecina sinusoidę dwa razy. Dlatego rozwiązanie zapisujemy jako dwie serie - każda z dopiskiem $2k\pi$, gdzie $k$ jest dowolną liczbą całkowitą. Takie $k$ trzeba zawsze zaznaczyć w odpowiedzi ($k \in \mathbb{Z}$), bo bez tego zapis $x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$ jest niepełny.

Równanie sin x = a

Na okręgu jednostkowym sinus kąta to druga współrzędna punktu. Równanie $\sin x = a$ pyta więc: dla jakich kątów punkt na okręgu leży na wysokości $a$? Prosta $y = a$ (gdy $-1 < a < 1$) przecina okrąg w dwóch punktach, symetrycznych względem osi $OY$.

Jeden punkt odpowiada kątowi $x_0$, drugi - kątowi $\pi - x_0$ (to wzór redukcyjny $\sin(\pi - x) = \sin x$, znany z lekcji o wzorach redukcyjnych). Dodając pełne obroty, dostajemy:

$\sin x = a \quad\Longleftrightarrow\quad x = x_0 + 2k\pi \quad \text{lub} \quad x = \pi - x_0 + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.$

Przykład 1. Rozwiąż równanie $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Krok 1. Z tablicy: $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, więc $x_0 = \frac{\pi}{4}$.

Krok 2. Druga seria: $\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Odpowiedź. $x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi$ lub $x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

Przykład 2 - wartość ujemna. Rozwiąż równanie $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Krok 1. Sinus jest nieparzysty, więc $\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ i $x_0 = -\frac{\pi}{3}$.

Krok 2. Druga seria: $\pi - \left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{4\pi}{3}$.

Odpowiedź. $x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi$ lub $x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$. Pierwszą serię można też zapisać jako $x = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi$ - to ten sam zbiór liczb, przesunięty o jeden pełny obrót.

Równanie cos x = a

Cosinus to pierwsza współrzędna punktu na okręgu. Prosta pionowa $x = a$ przecina okrąg w dwóch punktach symetrycznych względem osi $OX$ - dla kątów $x_0$ i $-x_0$ (cosinus jest parzysty).

$\cos x = a \quad\Longleftrightarrow\quad x = x_0 + 2k\pi \quad \text{lub} \quad x = -x_0 + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.$

Obie serie zapisuje się często razem jako $x = \pm x_0 + 2k\pi$.

Przykład 3. Rozwiąż równanie $2\cos x + 1 = 0$.

Krok 1. Przekształcamy do postaci elementarnej: $\cos x = -\frac{1}{2}$.

Krok 2. Kąt, którego cosinus wynosi $-\frac{1}{2}$: z $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ i wzoru redukcyjnego $\cos(\pi - x) = -\cos x$ mamy $x_0 = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Odpowiedź. $x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$ lub $x = -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

Równania tg x = a i ctg x = a

Tangens ma okres $\pi$ i w każdym przedziale $\left(-\frac{\pi}{2} + k\pi;\ \frac{\pi}{2} + k\pi\right)$ przyjmuje każdą wartość dokładnie raz. Dlatego równanie $\operatorname{tg} x = a$ ma rozwiązanie dla każdego $a$ i wystarcza jedna seria z krokiem $\pi$:

$\operatorname{tg} x = a \quad\Longleftrightarrow\quad x = x_0 + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.$

Przykład 4. Rozwiąż równanie $\operatorname{tg} x = -\sqrt{3}$.

Tangens jest nieparzysty i $\operatorname{tg}\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$, więc $x_0 = -\frac{\pi}{3}$.

Odpowiedź. $x = -\frac{\pi}{3} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

Przykład 5. Rozwiąż równanie $\operatorname{ctg} x = 1$. Cotangens też ma okres $\pi$, a $\operatorname{ctg}\frac{\pi}{4} = 1$, więc $x = \frac{\pi}{4} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

Przypadki szczególne: a = 0, a = 1, a = −1, |a| > 1

Gdy prosta $y = a$ jest styczna do okręgu ($a = \pm 1$), dwa punkty zlewają się w jeden i zostaje jedna seria. Gdy $a = 0$, dwa punkty leżą naprzeciw siebie i obie serie łączą się w jedną z krokiem $\pi$. Te przypadki warto znać na pamięć:

Równania $\sin x = a$ i $\cos x = a$ dla $|a| > 1$ są sprzeczne - sinus i cosinus nigdy nie wychodzą poza przedział $\langle -1;\ 1\rangle$. Na przykład $3\sin x = 4$ daje $\sin x = \frac{4}{3}$, więc równanie nie ma rozwiązań. Tangens i cotangens takiego ograniczenia nie mają.

Rozwiązania w przedziale

Często zadanie pyta o rozwiązania z konkretnego przedziału. Wtedy wypisujemy rozwiązania ogólne i podstawiamy kolejne $k$, aż wyjdziemy poza przedział.

Przykład 6. Rozwiąż równanie $\sin x = \frac{1}{2}$ w przedziale $\langle -2\pi;\ 2\pi\rangle$.

Krok 1. Rozwiązanie ogólne. $x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$ lub $x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$.

Krok 2. Pierwsza seria. $k = 0$: $\frac{\pi}{6}$; $k = -1$: $\frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{11\pi}{6}$; $k = 1$ daje $\frac{13\pi}{6} > 2\pi$, a $k = -2$ daje liczbę mniejszą od $-2\pi$.

Krok 3. Druga seria. $k = 0$: $\frac{5\pi}{6}$; $k = -1$: $\frac{5\pi}{6} - 2\pi = -\frac{7\pi}{6}$.

Odpowiedź. $x \in \left\{ -\frac{11\pi}{6},\ -\frac{7\pi}{6},\ \frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6} \right\}$ - cztery rozwiązania, po dwa na każdy okres (na rysunku z początku lekcji to cztery lewe kropki).

Gdy końce przedziału są rozwiązaniami, należą do odpowiedzi tylko przy nawiasie domkniętym $\langle\ \rangle$. Warto też sprawdzić wynik zdrowym rozsądkiem: przedział o długości $4\pi$ to dwa okresy sinusa, więc spodziewamy się czterech rozwiązań.

Argument złożony: sin(2x − π/4) = a, cos 3x = a

Gdy w argumencie stoi wyrażenie, np. $2x - \frac{\pi}{4}$, traktujemy je jak jedną zmienną: rozwiązujemy równanie elementarne względem argumentu, a dopiero na końcu wyznaczamy $x$. Krok $2k\pi$ dzieli się wtedy przez współczynnik przy $x$.

Przykład 7. Rozwiąż równanie $\sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ w przedziale $\langle 0;\ 2\pi\rangle$.

Krok 1. Równanie względem argumentu. Oznaczmy $t = 2x - \frac{\pi}{4}$. Z $\sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$2x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{lub} \quad 2x - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi.$

Krok 2. Wyznaczamy x. Dodajemy $\frac{\pi}{4}$ i dzielimy przez $2$ - dzielimy też $2k\pi$:

$x = \frac{\pi}{4} + k\pi \quad \text{lub} \quad x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.$

Krok 3. Przedział. Dla $k = 0$ i $k = 1$: $\frac{\pi}{4}$, $\frac{5\pi}{4}$, $\frac{\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{2}$.

Odpowiedź. $x \in \left\{ \frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{2},\ \frac{5\pi}{4},\ \frac{3\pi}{2} \right\}$.

Najczęstszy błąd to zapis $x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi$ - zapomniane dzielenie okresu przez $2$. Gubi on połowę rozwiązań: funkcja $\sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)$ ma okres $\pi$ (poprzednia lekcja), więc rozwiązania muszą się powtarzać co $\pi$.

Przykład 8. Rozwiąż równanie $\cos 3x = 0$ w przedziale $\langle 0;\ \pi\rangle$. Z tabeli przypadków szczególnych: $3x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, czyli $x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}$. W przedziale $\langle 0;\ \pi\rangle$ leżą $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{2}$ i $\frac{5\pi}{6}$.

Równania sin α = sin β i cos α = cos β

Ta sama symetria okręgu daje regułę dla równań, w których po obu stronach stoi ta sama funkcja:

$\sin\alpha = \sin\beta \quad\Longleftrightarrow\quad \alpha = \beta + 2k\pi \quad \text{lub} \quad \alpha = \pi - \beta + 2k\pi$

$\cos\alpha = \cos\beta \quad\Longleftrightarrow\quad \alpha = \beta + 2k\pi \quad \text{lub} \quad \alpha = -\beta + 2k\pi$

Przykład 9. Rozwiąż równanie $\sin 3x = \sin x$.

Krok 1. $3x = x + 2k\pi$, czyli $2x = 2k\pi$ i $x = k\pi$.

Krok 2. $3x = \pi - x + 2k\pi$, czyli $4x = \pi + 2k\pi$ i $x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$.

Odpowiedź. $x = k\pi$ lub $x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.

Przykład 10. Rozwiąż równanie $\cos 2x = \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$.

Krok 1. $2x = x + \frac{\pi}{3} + 2k\pi$, czyli $x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$.

Krok 2. $2x = -x - \frac{\pi}{3} + 2k\pi$, czyli $3x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi$ i $x = -\frac{\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3}$.

Odpowiedź. $x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$ lub $x = -\frac{\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3}$, $k \in \mathbb{Z}$.

Równania z różnymi funkcjami po obu stronach (np. $\sin 2x = \cos x$) wymagają już wzorów z kolejnych lekcji - zajmiemy się nimi w lekcji jak rozwiązać równanie trygonometryczne.

Gdy wartości nie ma w tablicy

Równanie $\sin x = 0{,}3$ też ma rozwiązania, tylko $x_0$ nie jest „ładnym” kątem. Oznaczamy go symbolem $\arcsin 0{,}3$ - to jedyna liczba z przedziału $\left\langle -\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right\rangle$, której sinus wynosi $0{,}3$. Kalkulator (w trybie radianów) podaje $\arcsin 0{,}3 \approx 0{,}3047$, więc

$x \approx 0{,}3047 + 2k\pi \quad \text{lub} \quad x \approx \pi - 0{,}3047 \approx 2{,}8369 + 2k\pi.$

Analogicznie $\arccos a$ to kąt z przedziału $\langle 0;\ \pi\rangle$ o cosinusie $a$, a $\operatorname{arctg} a$ - kąt z przedziału $\left(-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right)$ o tangensie $a$. Na maturze podstawowej wystarczają wartości z tablicy, ale ten zapis przydaje się w fizyce i w zadaniach z danymi doświadczalnymi.

Najczęstsze pytania

Jak rozwiązać równanie sin x = 1/2? Jedno rozwiązanie to $\frac{\pi}{6}$, drugie (z symetrii okręgu) $\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$. Dopisujesz okres: $x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$ lub $x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

Dlaczego w rozwiązaniu jest 2kπ? Bo sinus i cosinus mają okres $2\pi$: jeśli liczba $x_0$ spełnia równanie, to spełnia je też $x_0 + 2\pi$, $x_0 - 2\pi$, $x_0 + 4\pi$ i każda liczba $x_0 + 2k\pi$ dla całkowitego $k$. Dla tangensa i cotangensa okres to $\pi$, więc piszesz $k\pi$.

Kiedy równanie trygonometryczne nie ma rozwiązań? Równanie $\sin x = a$ albo $\cos x = a$ nie ma rozwiązań, gdy $a > 1$ lub $a < -1$, bo sinus i cosinus przyjmują tylko wartości z $\langle -1;\ 1\rangle$. Równanie $\operatorname{tg} x = a$ ma rozwiązania dla każdego $a$.

Jak rozwiązać równanie cos x = 0?$x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$. Cosinus zeruje się w punktach $\frac{\pi}{2}$ i $\frac{3\pi}{2}$ okręgu, a one różnią się o $\pi$, więc obie serie łączą się w jedną.

Jak znaleźć rozwiązania równania w przedziale ⟨0; 2π⟩? Zapisz rozwiązanie ogólne i podstawiaj kolejne liczby całkowite $k$ (zwykle $0$ i $1$, czasem $-1$), zostawiając tylko wyniki z przedziału. Sprawdź końce przedziału i to, czy nawias jest domknięty.

Ile rozwiązań ma równanie sin 2x = 1/2 w przedziale ⟨0; 2π⟩? Cztery. Funkcja $\sin 2x$ ma okres $\pi$, więc w przedziale o długości $2\pi$ mieści się dwa razy, a w każdym okresie równanie ma dwa rozwiązania: $\frac{\pi}{12}$, $\frac{5\pi}{12}$, $\frac{13\pi}{12}$, $\frac{17\pi}{12}$.

Czy x = −π/3 + 2kπ to to samo co x = 5π/3 + 2kπ? Tak. Liczby $-\frac{\pi}{3}$ i $\frac{5\pi}{3}$ różnią się o $2\pi$, więc obie serie opisują ten sam zbiór rozwiązań - różnią się tylko numeracją $k$. Obie odpowiedzi są poprawne.

Przećwicz

• Równania trygonometryczne elementarne - zadania → - sin x = a, cos x = a i tg x = a ogólnie i w przedziale, argument złożony, przypadki szczególne, równanie sin α = sin β oraz liczba rozwiązań zależna od parametru.
• Na początek: równanie 2sin x = √3, potem sin(2x + π/6) = 1/2 w przedziale ⟨0; 2π⟩.
• Cały zestaw: wzory i równania trygonometryczne - zadania z rozwiązaniami.
• Dalej: wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów - potrzebne do równań, w których występują różne funkcje.

Podsumowanie

• $\sin x = a$: $x = x_0 + 2k\pi$ lub $x = \pi - x_0 + 2k\pi$; $\cos x = a$: $x = \pm x_0 + 2k\pi$.
• $\operatorname{tg} x = a$ i $\operatorname{ctg} x = a$: jedna seria $x = x_0 + k\pi$, rozwiązanie istnieje dla każdego $a$.
• Dla $|a| > 1$ równania z sinusem i cosinusem są sprzeczne; dla $a = 0$ i $a = \pm 1$ zostaje jedna seria.
• Zawsze dopisujemy $k \in \mathbb{Z}$; w przedziale podstawiamy kolejne $k$.
• Przy argumencie złożonym rozwiązujemy równanie względem argumentu, a okres dzielimy przez współczynnik przy $x$.
• $\sin\alpha = \sin\beta \iff \alpha = \beta + 2k\pi$ lub $\alpha = \pi - \beta + 2k\pi$; $\cos\alpha = \cos\beta \iff \alpha = \pm\beta + 2k\pi$.