Granica ciągu liczbowego - co znaczy, że ciąg jest zbieżny

Klasa 3 liceum i technikum

Granica ciągu to liczba, do której wyrazy ciągu zbliżają się dowolnie blisko i od pewnego miejsca już się od niej nie oddalają. Ciąg $a_n = \frac{1}{n}$, czyli $1,\ \frac{1}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{4},\ \ldots$, ma granicę $0$: wyrazy nigdy nie są równe zeru, ale dla dużych $n$ różnią się od zera o mniej niż dowolnie mała liczba.

Do tej pory badaliśmy pojedyncze wyrazy, sumy i monotoniczność ciągów. Granica odpowiada na nowe pytanie: co dzieje się z wyrazami ciągu, gdy $n$ rośnie bez końca? To pierwsza lekcja analizy matematycznej - później z niej wyrosną granica funkcji i pochodna. Wcześniejsze lekcje rozdziału: ciąg liczbowy i monotoniczność ciągu. Cały rozdział: ciągi - kurs dla klasy 3.

Intuicja: wyrazy „skupiają się” przy liczbie

Policzmy kilka wyrazów ciągu $a_n = \frac{2n + 1}{n} = 2 + \frac{1}{n}$:

Wyrazy są coraz bliżej liczby $2$. Ale „coraz bliżej” to za mało - ciąg $1 + \frac{1}{n}$ też jest coraz bliżej liczby $0$, a jego granicą $0$ nie jest. Liczy się to, że odległość od $2$ spada poniżej każdej dodatniej liczby: poniżej $0{,}1$, poniżej $0{,}001$, poniżej miliardowej. Właśnie to mówi definicja.

Definicja granicy krok po kroku

Definicja ma trzy elementy:

1. Otoczenie granicy. Nierówność $|a_n - g| < \varepsilon$ znaczy, że $a_n$ leży w przedziale $(g - \varepsilon,\ g + \varepsilon)$ - w pasie o szerokości $2\varepsilon$ wokół $g$.
2. Prawie wszystkie wyrazy. Poza pasem może zostać tylko skończenie wiele wyrazów, czyli od pewnego numeru $N$ wszystkie wyrazy są już w pasie.
3. Każde $\varepsilon > 0$. Pas można zwęzić dowolnie - im węższy, tym dalej trzeba sięgnąć, ale zawsze od jakiegoś $N$ wszystkie wyrazy się w nim mieszczą.

Na rysunku ciąg $a_n = 2 + \frac{(-1)^n}{n}$ skacze raz nad, raz pod prostą $y = 2$. Dla $\varepsilon = 0{,}25$ poza pasem są tylko cztery wyrazy. Gdybyśmy wzięli $\varepsilon = 0{,}01$, poza pasem byłoby ich sto - ale nadal skończenie wiele. Dlatego $\lim_{n \to \infty} a_n = 2$.

Od którego wyrazu ciąg jest bliżej granicy niż ε?

To najczęstsze zadanie do tej lekcji. Rozwiązujemy nierówność $|a_n - g| < \varepsilon$ względem $n$.

Przykład 1. Od którego wyrazu ciągu $a_n = 2 + \frac{1}{n}$ wszystkie wyrazy różnią się od $2$ o mniej niż $0{,}01$?

Krok 1. $|a_n - 2| = \frac{1}{n}$, bo $\frac{1}{n} > 0$.

Krok 2. $\frac{1}{n} < 0{,}01 \iff n > 100$.

Odpowiedź. Od wyrazu $a_{101}$. Wyraz $a_{100} = 2{,}01$ różni się od $2$ dokładnie o $0{,}01$ - nie mniej, więc jeszcze się nie liczy.

Przykład 2. Wykaż, że $\lim_{n \to \infty} \frac{3n - 1}{n + 2} = 3$, i wyznacz, od którego $n$ wyrazy leżą w przedziale $(2{,}9;\ 3{,}1)$.

Krok 1. Odległość od granicy.

$a_n - 3 = \frac{3n - 1 - 3(n + 2)}{n + 2} = \frac{-7}{n + 2}, \qquad |a_n - 3| = \frac{7}{n + 2}$

Krok 2. Dowolne $\varepsilon$. Nierówność $\frac{7}{n + 2} < \varepsilon$ jest równoważna $n > \frac{7}{\varepsilon} - 2$. Dla każdego $\varepsilon > 0$ istnieje taka liczba naturalna, więc od niej wszystkie wyrazy leżą w otoczeniu liczby $3$. To dowodzi, że granica wynosi $3$.

Krok 3. Konkretne $\varepsilon = 0{,}1$. $n > \frac{7}{0{,}1} - 2 = 68$.

Odpowiedź. Granicą jest $3$; w przedziale $(2{,}9;\ 3{,}1)$ leżą wszystkie wyrazy od $a_{69}$. Wszystkie wyrazy ciągu są mniejsze od $3$, więc przedział ten „zamyka” je tylko od dołu.

Ciągi zbieżne i rozbieżne

Ciąg zbieżny to ciąg, który ma granicę (liczbę rzeczywistą). Ciąg, który nie ma granicy, nazywamy rozbieżnym. Ciąg zbieżny ma dokładnie jedną granicę - dwóch różnych liczb nie da się otoczyć rozłącznymi pasami tak, by prawie wszystkie wyrazy leżały w obu.

Przykład 3. Ciąg $a_n = (-1)^n$, czyli $-1,\ 1,\ -1,\ 1,\ \ldots$, jest rozbieżny.

Gdyby miał granicę $g$, to dla $\varepsilon = 1$ prawie wszystkie wyrazy leżałyby w przedziale $(g - 1,\ g + 1)$ o długości $2$. Ale nieskończenie wiele wyrazów to $1$ i nieskończenie wiele to $-1$, a obie liczby w takim przedziale otwartym się nie zmieszczą (są od siebie o $2$). Sprzeczność - ciąg nie ma granicy.

Przykład 4. Ciąg $b_n = \frac{(-1)^n}{n}$ jest zbieżny do $0$, choć też zmienia znak: $|b_n - 0| = \frac{1}{n}$, a to jest mniejsze od każdego $\varepsilon$ dla dużych $n$. Zmiana znaku nie przeszkadza - przeszkadza tylko to, że wyrazy nie zbliżają się do jednej liczby.

Rozbieżne są też ciągi, których wyrazy rosną bez ograniczenia, np. $a_n = n^2$. Mówimy wtedy, że ciąg jest rozbieżny do nieskończoności - o tym osobna lekcja ciąg rozbieżny do nieskończoności.

Jak pokazać, że liczba NIE jest granicą?

Wystarczy znaleźć jedno $\varepsilon$, dla którego poza pasem zostaje nieskończenie wiele wyrazów.

Przykład 5. Czy $1$ jest granicą ciągu $a_n = 1 + \frac{n}{n + 1}$?

$|a_n - 1| = \frac{n}{n + 1} \geq \frac{1}{2}$ dla każdego $n \geq 1$ (bo $2n \geq n + 1$). Dla $\varepsilon = \frac{1}{2}$ żaden wyraz nie leży w pasie wokół $1$.

Odpowiedź. Nie. (Granicą tego ciągu jest $2$ - sposób obliczania takich granic poznasz w następnej lekcji.)

Typowe błędy

• „Granica to wyraz, do którego ciąg dochodzi”. Ciąg $\frac{1}{n}$ nigdy nie osiąga zera, a jego granica to $0$. Granica nie musi być wyrazem ciągu.
• „Wyrazy są coraz bliżej, więc to granica”. Wyrazy ciągu $1 + \frac{1}{n}$ są coraz bliżej $0$, ale nigdy bliżej niż o $1$. Odległość musi spaść poniżej każdego $\varepsilon$.
• Nierówność nieostra. W definicji jest $|a_n - g| < \varepsilon$; wyraz leżący dokładnie na brzegu pasa (jak $a_{100} = 2{,}01$ przy $\varepsilon = 0{,}01$) nie należy do otoczenia.
• Pominięty moduł. Gdy wyrazy są mniejsze od granicy, $a_n - g$ jest ujemne - trzeba liczyć $|a_n - g|$, a nie $a_n - g$.

Najczęstsze pytania

Co to jest granica ciągu? To liczba $g$, w której dowolnie małym otoczeniu leżą prawie wszystkie wyrazy ciągu - wszystkie poza skończenie wieloma. Zapisujemy $\lim_{n \to \infty} a_n = g$.

Co to znaczy, że ciąg jest zbieżny? Że ma granicę będącą liczbą rzeczywistą. Np. ciąg $\frac{1}{n}$ jest zbieżny do $0$, a ciąg $2 + \frac{1}{n}$ - do $2$.

Co to znaczy, że ciąg jest rozbieżny? Że nie ma granicy w postaci liczby - jego wyrazy skaczą między różnymi wartościami (jak $(-1)^n$) albo rosną lub maleją bez ograniczenia (jak $n^2$).

Co oznacza „prawie wszystkie wyrazy ciągu”? Wszystkie wyrazy z wyjątkiem skończenie wielu - innymi słowy wszystkie od pewnego numeru $N$ począwszy.

Czy ciąg może mieć dwie granice? Nie. Ciąg zbieżny ma dokładnie jedną granicę.

Czy granica ciągu musi być jednym z jego wyrazów? Nie. Ciąg $\frac{1}{n}$ ma granicę $0$, a żaden jego wyraz nie jest zerem. Bywa też odwrotnie: ciąg stały $5,\ 5,\ 5,\ \ldots$ ma granicę $5$ równą każdemu wyrazowi.

Jak sprawdzić, od którego wyrazu ciąg różni się od granicy o mniej niż ε? Rozwiąż nierówność $|a_n - g| < \varepsilon$ względem $n$. Dla $a_n = 2 + \frac{1}{n}$ i $\varepsilon = 0{,}01$ wychodzi $n > 100$, czyli od wyrazu $a_{101}$.

Przećwicz

• Granica ciągu - zadania → - 7 zadań: wyrazy w otoczeniu granicy, od którego $n$ zachodzi $|a_n - g| < \varepsilon$, liczba wyrazów poza przedziałem, dowód z definicji, ciąg rozbieżny i liczba, która granicą nie jest.
• Cały zestaw: ciągi - zadania →

Podsumowanie

• $\lim_{n \to \infty} a_n = g$, gdy dla każdego $\varepsilon > 0$ prawie wszystkie wyrazy spełniają $|a_n - g| < \varepsilon$.
• „Prawie wszystkie” = wszystkie poza skończenie wieloma = wszystkie od pewnego $N$.
• Ciąg zbieżny ma dokładnie jedną granicę; granica nie musi być wyrazem ciągu.
• Ciąg $(-1)^n$ jest rozbieżny, a $\frac{(-1)^n}{n}$ zbieżny do $0$.
• Żeby wykazać, że $g$ nie jest granicą, wystarczy jedno $\varepsilon$ z nieskończenie wieloma wyrazami poza pasem.

Zobacz też

• Procent składany, lokaty i kredyty - poprzednia lekcja.
• Jak obliczyć granicę ciągu - następna lekcja: twierdzenia o działaniach na granicach.
• Granica ciągu - definicja, ciągi zbieżne i rozbieżne - zestawienie definicji z kwantyfikatorami.
• Ciąg harmoniczny 1/n - najważniejszy ciąg zbieżny do zera.
• Granica funkcji - to samo pojęcie dla funkcji.