Średnie: arytmetyczna, ważona, geometryczna, harmoniczna - wzory

Klasa 1 liceum i technikum

„Średnia” to liczba, która w pewnym sensie reprezentuje cały zestaw danych. W zależności od tego, co chcemy uśrednić, używa się różnych rodzajów średnich.

Średnia arytmetyczna

Najczęściej spotykana. Sumę wszystkich liczb dzielimy przez ich ilość:

$\bar{a} = \frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n}.$

Przykład. Średnia arytmetyczna liczb $4$, $8$, $3$ wynosi $\dfrac{4 + 8 + 3}{3} = 5$.

Średnia ważona

Gdy poszczególne dane mają różną „wagę” (znaczenie), każdą mnożymy przez jej wagę $w_i$, a sumę dzielimy przez sumę wag:

$\bar{a}_w = \frac{w_1 a_1 + w_2 a_2 + \ldots + w_n a_n}{w_1 + w_2 + \ldots + w_n}.$

Przykład. Oceny $3$, $4$ i $5$, przy czym ostatnia liczy się podwójnie (wagi $1$, $1$, $2$):

$\bar{a}_w = \frac{1 \cdot 3 + 1 \cdot 4 + 2 \cdot 5}{1 + 1 + 2} = \frac{17}{4} = 4{,}25.$

Średnia geometryczna

Dla liczb dodatnich to pierwiastek $n$-tego stopnia z ich iloczynu:

$\bar{a}_g = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_n}.$

Dla dwóch liczb $\bar{a}_g = \sqrt{a \cdot b}$. Przykład: $\sqrt{2 \cdot 8} = \sqrt{16} = 4$. Średnią geometryczną stosujemy m.in. do uśredniania tempa wzrostu (procentów, wskaźników).

Średnia harmoniczna

To odwrotność średniej arytmetycznej odwrotności. Dla dwóch liczb dodatnich:

$\bar{a}_h = \frac{2ab}{a + b}.$

Przykład. Samochód przejechał $60$ km z prędkością $60$ km/h, a kolejne $60$ km z prędkością $40$ km/h. Średnia prędkość na całej trasie (ta sama droga w obu odcinkach) to średnia harmoniczna prędkości:

$\bar{a}_h = \frac{2 \cdot 60 \cdot 40}{60 + 40} = \frac{4800}{100} = 48 \ \text{km/h}.$

Zwróć uwagę: zwykła średnia arytmetyczna dałaby błędnie $50$ km/h.

Nierówność między średnimi

Dla dowolnych liczb dodatnich zachodzi:

$\bar{a}_h \le \bar{a}_g \le \bar{a},$

czyli średnia harmoniczna $\le$ geometryczna $\le$ arytmetyczna. Równość zachodzi tylko wtedy, gdy wszystkie liczby są równe. Dla $2$ i $8$ sprawdza się to wprost: $3{,}2 \le 4 \le 5$.

Najczęstsze pytania

Kiedy używać średniej ważonej zamiast arytmetycznej? Gdy poszczególne wartości mają różne znaczenie - tak liczy się średnią ocen z wagami sprawdzianów czy średnią cenę przy różnych ilościach towaru. Średnia arytmetyczna to szczególny przypadek ważonej, w którym wszystkie wagi są równe.

Do czego przydaje się średnia geometryczna? Do uśredniania wielkości, które mnożą się przez siebie: procentów wzrostu, oprocentowania, tempa inflacji. Gdy kapitał rósł o $10\%$, a potem o $40\%$, średni roczny wzrost to $\sqrt{1{,}1 \cdot 1{,}4} \approx 1{,}24$, a nie $25\%$.

Gdzie stosuje się średnią harmoniczną? Przy uśrednianiu prędkości na tym samym dystansie. Jadąc tam z prędkością $60$ km/h, a z powrotem $30$ km/h, średnia prędkość to $40$ km/h (harmoniczna), a nie $45$ km/h.

Czy któraś średnia jest zawsze największa? Tak, dla liczb dodatnich zachodzi $\text{harmoniczna} \le \text{geometryczna} \le \text{arytmetyczna}$, a równość tylko wtedy, gdy wszystkie liczby są równe. To klasyczna nierówność między średnimi, przydatna w zadaniach na dowodzenie.