Suma ciągu arytmetycznego - wzór na Sₙ i przykłady

Klasa 3 liceum i technikum

Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego to $S_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n$ i oblicza się ją wzorem $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$: średnia pierwszego i ostatniego wyrazu razy liczba wyrazów. Na przykład $1 + 2 + \ldots + 100 = \frac{1 + 100}{2} \cdot 100 = 5050$.

To czwarta lekcja rozdziału ciągi. Korzystamy w niej z definicji ciągu arytmetycznego i wzoru na $n$-ty wyraz: $a_n = a_1 + (n - 1)r$.

Skąd się bierze wzór na sumę - sposób Gaussa

Według znanej anegdoty mały Carl Friedrich Gauss dostał od nauczyciela zadanie dodania liczb od $1$ do $100$ i podał wynik po chwili. Zamiast dodawać po kolei, zapisał sumę dwa razy - raz od początku, raz od końca - i dodał wiersze pod sobą:

$S = 1 + 2 + 3 + \ldots + 99 + 100$

$S = 100 + 99 + 98 + \ldots + 2 + 1$

Każda kolumna daje $101$, a kolumn jest $100$, więc $2S = 100 \cdot 101$ i $S = 5050$.

Ten sam chwyt działa dla każdego ciągu arytmetycznego. Zapisujemy

$S_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_{n-1} + a_n$

$S_n = a_n + a_{n-1} + \ldots + a_2 + a_1$

Wyrazy w jednej kolumnie mają zawsze tę samą sumę. Idąc w prawo, górny wyraz rośnie o $r$, a dolny maleje o $r$, więc np. $a_2 + a_{n-1} = (a_1 + r) + (a_n - r) = a_1 + a_n$. Dodając oba wiersze, dostajemy $n$ kolumn po $a_1 + a_n$:

$2S_n = (a_1 + a_n) \cdot n \quad\Longrightarrow\quad S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Gdy nie znamy ostatniego wyrazu, podstawiamy $a_n = a_1 + (n - 1)r$ i dostajemy drugi wzór:

$S_n = \frac{a_1 + a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n$

Który wzór wybrać

Oba wzory dają to samo - różnią się tym, co trzeba znać:

• znasz pierwszy i ostatni wyraz (np. „dodaj liczby od 14 do 98”) - bierz $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$;
• znasz pierwszy wyraz i różnicę (np. „$a_1 = 3$, $r = 4$, oblicz $S_{20}$”) - bierz $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n$.

W obu przypadkach potrzebna jest liczba wyrazów $n$. Kiedy dodajemy liczby od $a_1$ do $a_n$ co $r$, wyznaczamy ją z wzoru na $n$-ty wyraz:

$a_n = a_1 + (n-1)r \quad\Longrightarrow\quad n = \frac{a_n - a_1}{r} + 1$

To „$+1$” jest ważne: od $2$ do $29$ co $3$ są nie $9$, ale $10$ liczb ($2, 5, 8, \ldots, 29$).

Przykłady obliczania sumy

Przykład 1. Oblicz $1 + 2 + 3 + \ldots + 100$.

To ciąg arytmetyczny z $a_1 = 1$, $a_{100} = 100$, $n = 100$:

$S_{100} = \frac{1 + 100}{2} \cdot 100 = 5050$

Odpowiedź. $5050$.

Przykład 2. W ciągu arytmetycznym $a_1 = 3$ i $r = 4$. Oblicz sumę dwudziestu początkowych wyrazów.

Krok 1. Znamy $a_1$ i $r$, więc bierzemy drugi wzór z $n = 20$:

$S_{20} = \frac{2 \cdot 3 + 19 \cdot 4}{2} \cdot 20 = \frac{6 + 76}{2} \cdot 20 = 41 \cdot 20 = 820$

Krok 2 (sprawdzenie pierwszym wzorem). $a_{20} = 3 + 19 \cdot 4 = 79$, więc $S_{20} = \frac{3 + 79}{2} \cdot 20 = 820$.

Odpowiedź. $S_{20} = 820$.

Przykład 3. Oblicz sumę wszystkich liczb dwucyfrowych podzielnych przez $7$.

Krok 1. Pierwszy i ostatni wyraz. Najmniejsza dwucyfrowa wielokrotność $7$ to $14$, największa to $98$. Liczby $14, 21, 28, \ldots, 98$ tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy $r = 7$.

Krok 2. Liczba wyrazów.

$n = \frac{98 - 14}{7} + 1 = 12 + 1 = 13$

Krok 3. Suma.

$S_{13} = \frac{14 + 98}{2} \cdot 13 = 56 \cdot 13 = 728$

Odpowiedź. $728$.

Przykład 4 (zadanie praktyczne). W amfiteatrze pierwszy rząd ma $20$ miejsc, a każdy następny o $3$ miejsca więcej. Rzędów jest $15$. Ile miejsc ma amfiteatr?

Liczby miejsc w rzędach tworzą ciąg arytmetyczny: $a_1 = 20$, $r = 3$, $n = 15$.

$S_{15} = \frac{2 \cdot 20 + 14 \cdot 3}{2} \cdot 15 = \frac{82}{2} \cdot 15 = 615$

Odpowiedź. $615$ miejsc (ostatni rząd ma $20 + 14 \cdot 3 = 62$ miejsca).

Przykład 5 (suma kolejnych liczb nieparzystych). Oblicz $1 + 3 + 5 + \ldots + (2n - 1)$.

To $n$ wyrazów ciągu arytmetycznego z $a_1 = 1$ i $a_n = 2n - 1$:

$S_n = \frac{1 + (2n - 1)}{2} \cdot n = \frac{2n}{2} \cdot n = n^2$

Odpowiedź. Suma $n$ początkowych liczb nieparzystych to $n^2$, np. $1 + 3 + 5 + 7 = 16$.

Ile wyrazów trzeba dodać - równanie z sumą

Czasem suma jest dana, a szukamy liczby wyrazów $n$. Wtedy wzór na $S_n$ staje się równaniem kwadratowym z niewiadomą $n$. Zostawiamy tylko rozwiązanie będące liczbą naturalną dodatnią.

Przykład 6. Ile początkowych wyrazów ciągu $a_n = 2n + 3$ trzeba dodać, aby otrzymać $165$?

Krok 1. Wzór na sumę. $a_1 = 5$, $a_n = 2n + 3$, więc

$S_n = \frac{5 + 2n + 3}{2} \cdot n = \frac{2n + 8}{2} \cdot n = (n + 4)\,n$

Krok 2. Równanie. $n^2 + 4n = 165$, czyli $n^2 + 4n - 165 = 0$.

$\Delta = 16 + 660 = 676 = 26^2, \qquad n = \frac{-4 + 26}{2} = 11, \qquad n = \frac{-4 - 26}{2} = -15$

Krok 3. Liczba wyrazów musi być naturalna dodatnia, więc odrzucamy $-15$.

Odpowiedź. $n = 11$. Sprawdzenie: $S_{11} = 15 \cdot 11 = 165$.

Wyraz ogólny ze wzoru na sumę: aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁

Jeśli znamy wzór na sumę $S_n$, to $n$-ty wyraz to różnica dwóch kolejnych sum - suma $n$ wyrazów minus suma $n - 1$ wyrazów:

$a_n = S_n - S_{n-1} \quad (n \geq 2), \qquad a_1 = S_1$

Pierwszy wyraz trzeba policzyć osobno, bo $S_0$ nie jest częścią ciągu sum.

Przykład 7. Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu wyraża się wzorem $S_n = n^2 + 2n$. Wyznacz wzór ogólny ciągu i sprawdź, czy jest on arytmetyczny.

Krok 1. Pierwszy wyraz. $a_1 = S_1 = 1 + 2 = 3$.

Krok 2. Wyraz $a_n$ dla $n \geq 2$.

$a_n = (n^2 + 2n) - \left((n-1)^2 + 2(n-1)\right) = n^2 + 2n - n^2 + 2n - 1 - 2n + 2 = 2n + 1$

Wzór $2n + 1$ daje dla $n = 1$ liczbę $3 = a_1$, więc działa dla wszystkich $n$.

Krok 3. Różnica. $a_{n+1} - a_n = 2(n + 1) + 1 - (2n + 1) = 2$ - stała.

Odpowiedź. $a_n = 2n + 1$; ciąg jest arytmetyczny o różnicy $r = 2$.

Ogólnie: jeśli $S_n = An^2 + Bn$ (bez wyrazu wolnego), to ciąg jest arytmetyczny o różnicy $r = 2A$. Gdyby we wzorze był wyraz wolny, np. $S_n = n^2 + 1$, pierwszy wyraz „odstawałby” od reszty i ciąg nie byłby arytmetyczny.

Typowe błędy

• Zła liczba wyrazów. Od $a_1$ do $a_n$ co $r$ jest $\frac{a_n - a_1}{r} + 1$ wyrazów, nie $\frac{a_n - a_1}{r}$. Dla $2 + 5 + \ldots + 29$ to $10$ wyrazów i suma $155$.
• Pomylenie $a_n$ z $S_n$. $a_{10}$ to dziesiąty wyraz, $S_{10}$ - suma dziesięciu pierwszych wyrazów.
• Zapomniany pierwszy wyraz przy $a_n = S_n - S_{n-1}$: wzór działa od $n = 2$, a $a_1$ liczymy jako $S_1$.
• Ujemne lub ułamkowe $n$ z równania kwadratowego - liczba wyrazów musi być naturalna dodatnia.

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć sumę ciągu arytmetycznego? Wzorem $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$, czyli średnia pierwszego i ostatniego wyrazu razy liczba wyrazów. Gdy nie znasz ostatniego wyrazu, użyj $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n$.

Ile wynosi suma liczb od 1 do 100?$5050$, bo $\frac{1 + 100}{2} \cdot 100 = 5050$. Suma liczb od $1$ do $50$ to $1275$.

Jak obliczyć liczbę wyrazów ciągu arytmetycznego? Z wzoru na $n$-ty wyraz: $n = \frac{a_n - a_1}{r} + 1$. Na przykład liczb $14, 21, \ldots, 98$ jest $\frac{98 - 14}{7} + 1 = 13$.

Jak z sumy Sₙ wyznaczyć wyraz ogólny ciągu? Policz $a_1 = S_1$, a dla $n \geq 2$ odejmij: $a_n = S_n - S_{n-1}$. Dla $S_n = n^2 + 2n$ wychodzi $a_n = 2n + 1$.

Ile wynosi suma n początkowych liczb nieparzystych?$n^2$, bo $1 + 3 + \ldots + (2n - 1) = \frac{1 + 2n - 1}{2} \cdot n = n^2$.

Czy wzór na sumę działa, gdy różnica jest ujemna? Tak. Wzory nie zależą od znaku $r$: dla $a_1 = 10$, $r = -3$ i $n = 4$ mamy $S_4 = \frac{20 - 9}{2} \cdot 4 = 22$, czyli $10 + 7 + 4 + 1$.

Kto wymyślił wzór na sumę ciągu arytmetycznego? Wzór znano już w starożytności; z dodawaniem liczb od $1$ do $100$ kojarzy się go dzięki anegdocie o małym Gaussie, który zsumował je, łącząc w pary dające po $101$.

Przećwicz

• Suma ciągu arytmetycznego - zadania → - 7 zadań z rozwiązaniami: suma z $a_1$ i $r$, suma liczb o danej własności, liczba wyrazów z równania kwadratowego, wyraz ogólny ze wzoru na $S_n$ i układ równań z sumą.
• Cały zestaw: ciągi - zadania →

Podsumowanie

• $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$ - średnia skrajnych wyrazów razy ich liczba.
• $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n$ - gdy znamy $a_1$ i $r$.
• Liczba wyrazów od $a_1$ do $a_n$ co $r$: $n = \frac{a_n - a_1}{r} + 1$.
• Wzór wyprowadza się, dodając sumę do samej siebie zapisanej od końca (sposób Gaussa).
• Z sumy odzyskujemy wyrazy: $a_1 = S_1$, $a_n = S_n - S_{n-1}$ dla $n \geq 2$.
• Gdy szukamy $n$, rozwiązujemy równanie kwadratowe i bierzemy tylko $n \in \mathbb{N}_+$.

Zobacz też

• Ciąg arytmetyczny krok po kroku - poprzednia lekcja: różnica i wzór na $n$-ty wyraz.
• Ciąg geometryczny krok po kroku - następna lekcja.
• Ciąg arytmetyczny - wzory, różnica, suma - zestawienie wzorów w dziale teorii.
• Indukcja matematyczna - zadania → - jak udowodnić wzory na sumy dla każdego $n$.