Twierdzenie Bézouta i o reszcie - dowód, zadania z parametrem

Klasa 2 liceum i technikum

Twierdzenie Bézouta mówi, że liczba $a$ jest pierwiastkiem wielomianu $W$ wtedy i tylko wtedy, gdy $W$ jest podzielny przez dwumian $x - a$. Wynika z twierdzenia o reszcie: reszta z dzielenia wielomianu $W(x)$ przez $x - a$ jest równa $W(a)$.

Pierwiastek wielomianu

Liczba $a$ jest pierwiastkiem (miejscem zerowym) wielomianu $W$, jeżeli $W(a) = 0$.

Przykład. Dla $W(x) = x^3 - 7x + 6$:

• $W(1) = 1 - 7 + 6 = 0$ - liczba $1$ jest pierwiastkiem,
• $W(2) = 8 - 14 + 6 = 0$ - liczba $2$ też,
• $W(-1) = -1 + 7 + 6 = 12$ - liczba $-1$ nie jest pierwiastkiem.

Pierwiastki to dokładnie rozwiązania równania $W(x) = 0$, a na wykresie - punkty, w których wykres przecina oś $OX$ albo jej dotyka.

Twierdzenie o reszcie

Twierdzenie o reszcie. Reszta z dzielenia wielomianu $W(x)$ przez dwumian $x - a$ jest równa $W(a)$.

Dowód. Z twierdzenia o dzieleniu z resztą istnieją wielomiany $Q$ i $R$ takie, że

$W(x) = (x - a) \cdot Q(x) + R(x), \qquad \deg R < 1.$

Stopień reszty jest mniejszy od $1$, więc reszta jest liczbą - oznaczmy ją $r$. Równość zachodzi dla każdego $x$, w szczególności dla $x = a$:

$W(a) = (a - a) \cdot Q(a) + r = 0 \cdot Q(a) + r = r.$

Zatem $r = W(a)$. $\blacksquare$

To dlatego ostatnia liczba w schemacie Hornera jest jednocześnie resztą i wartością $W(a)$.

Twierdzenie Bézouta

Twierdzenie Bézouta. Liczba $a$ jest pierwiastkiem wielomianu $W$ wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian $W$ jest podzielny przez dwumian $x - a$.

Dowód. Z twierdzenia o reszcie $W(x) = (x - a) \cdot Q(x) + W(a)$.

• Jeśli $W(a) = 0$, to $W(x) = (x - a) \cdot Q(x)$, czyli $W$ jest podzielny przez $x - a$.
• Jeśli $W$ jest podzielny przez $x - a$, to reszta z dzielenia jest zerem. Reszta to $W(a)$, więc $W(a) = 0$. $\blacksquare$

W praktyce twierdzenie działa w obie strony:

• znamy pierwiastek $a$ → możemy „wyciągnąć” czynnik $(x - a)$, dzieląc przez niego wielomian - to podstawa rozkładu na czynniki;
• chcemy sprawdzić podzielność przez $x - a$ → wystarczy policzyć jedną wartość $W(a)$, zamiast dzielić.

Przykład. Czy $W(x) = x^3 - 7x + 6$ jest podzielny przez $x - 2$, a czy przez $x + 1$? Wyżej policzyliśmy $W(2) = 0$, więc jest podzielny przez $x - 2$. Dwumian $x + 1$ to $x - (-1)$, a $W(-1) = 12 \neq 0$, więc przez $x + 1$ nie jest podzielny - reszta wynosi $12$.

Zadanie 1 - reszta z dzielenia bez dzielenia

Zadanie. Oblicz resztę z dzielenia $W(x) = x^5 - 3x^3 + 2x - 7$ przez $x + 2$ oraz przez $x - 1$.

Krok 1. $x + 2 = x - (-2)$, więc reszta to $W(-2)$:

$W(-2) = (-2)^5 - 3 \cdot (-2)^3 + 2 \cdot (-2) - 7 = -32 + 24 - 4 - 7 = -19.$

Krok 2. Reszta z dzielenia przez $x - 1$ to $W(1) = 1 - 3 + 2 - 7 = -7$.

Odpowiedź. Reszty wynoszą $-19$ oraz $-7$. Dzielenie pisemne wielomianu stopnia $5$ dałoby ten sam wynik po kilku linijkach rachunków.

Zadanie 2 - parametr z warunku podzielności

Zadanie. Dla jakiej wartości $m$ wielomian $W(x) = 2x^3 + mx^2 - 7x + 6$ jest podzielny przez $x + 2$? Rozłóż go wtedy na czynniki.

Krok 1. Bézout. Podzielność przez $x + 2 = x - (-2)$ oznacza $W(-2) = 0$:

$W(-2) = 2 \cdot (-8) + m \cdot 4 + 14 + 6 = 4m + 4.$

Krok 2. $4m + 4 = 0$, stąd $m = -1$.

Krok 3. Rozkład. $W(x) = 2x^3 - x^2 - 7x + 6$. Dzieląc przez $x + 2$ (schematem Hornera z liczbą $-2$: współczynniki $2,\ -5,\ 3$, reszta $0$), dostajemy

$W(x) = (x + 2)(2x^2 - 5x + 3) = (x + 2)(x - 1)(2x - 3).$

Odpowiedź. $m = -1$, a wtedy $W(x) = (x + 2)(x - 1)(2x - 3)$.

Zadanie 3 - parametr z warunku na resztę

Zadanie. Reszta z dzielenia $W(x) = x^3 - 2x^2 + mx + 1$ przez $x - 3$ jest równa $7$. Wyznacz $m$.

Z twierdzenia o reszcie $W(3) = 7$:

$27 - 18 + 3m + 1 = 7 \quad\Longrightarrow\quad 3m + 10 = 7 \quad\Longrightarrow\quad m = -1.$

Odpowiedź. $m = -1$.

Zadanie 4 - dwa parametry, dwa dzielniki

Zadanie. Wyznacz $a$ i $b$ tak, żeby wielomian $W(x) = x^3 + ax^2 + bx - 6$ był podzielny przez $x - 1$ i przez $x + 2$.

Krok 1. Każdy dzielnik daje jedno równanie:

$W(1) = 1 + a + b - 6 = 0, \qquad W(-2) = -8 + 4a - 2b - 6 = 0.$

Krok 2. Porządkujemy i rozwiązujemy układ równań:

$\begin{cases} a + b = 5 \\ 2a - b = 7 \end{cases}$

Dodając równania stronami: $3a = 12$, więc $a = 4$ i $b = 1$.

Sprawdzenie. $W(x) = x^3 + 4x^2 + x - 6$: $\ W(1) = 1 + 4 + 1 - 6 = 0$, $\ W(-2) = -8 + 16 - 2 - 6 = 0$. Po podzieleniu przez $(x - 1)(x + 2)$ zostaje czynnik $x + 3$, czyli $W(x) = (x - 1)(x + 2)(x + 3)$.

Odpowiedź. $a = 4$, $b = 1$.

Zadanie 5 - reszta z dzielenia przez (x − a)(x − b)

To typowe zadanie z matury na poziomie rozszerzonym. Dzielnik ma stopień $2$, więc reszta ma postać $px + q$ - dwie niewiadome, które wyznaczamy z dwóch wartości wielomianu.

Zadanie. Reszta z dzielenia wielomianu $W(x)$ przez $x - 1$ wynosi $3$, a reszta z dzielenia przez $x + 2$ wynosi $-6$. Wyznacz resztę z dzielenia $W(x)$ przez $(x - 1)(x + 2)$.

Krok 1. Zapis. Reszta z dzielenia przez wielomian stopnia $2$ ma stopień co najwyżej $1$:

$W(x) = (x - 1)(x + 2) \cdot Q(x) + px + q.$

Krok 2. Podstawiamy pierwiastki dzielnika. Dla $x = 1$ i $x = -2$ pierwszy składnik znika, a z twierdzenia o reszcie $W(1) = 3$ i $W(-2) = -6$:

$\begin{cases} p + q = 3 \\ -2p + q = -6 \end{cases}$

Krok 3. Odejmując równania stronami: $3p = 9$, więc $p = 3$ i $q = 0$.

Odpowiedź. Reszta to $R(x) = 3x$.

Warunki zadania spełnia na przykład $W(x) = x^3 + x^2 + x$ ($W(1) = 3$, $W(-2) = -6$) - dzieląc go pisemnie przez $x^2 + x - 2$, dostaniemy iloraz $x$ i właśnie resztę $3x$.

Ten sam pomysł przy wysokiej potędze. Reszta z dzielenia $x^{10} - 2x + 1$ przez $x^2 - 1$: dzielnik $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$ ma pierwiastki $1$ i $-1$, więc

$p + q = W(1) = 0, \qquad -p + q = W(-1) = 4,$

skąd $q = 2$, $p = -2$ i reszta to $-2x + 2$ - bez dzielenia wielomianu stopnia $10$.

Typowe błędy

• Zły znak przy podstawianiu. Reszta z dzielenia przez $x + 2$ to $W(-2)$, nie $W(2)$.
• Reszta-liczba przy dzielniku stopnia 2. Dzieląc przez $(x - a)(x - b)$, resztę zapisujemy jako $px + q$, a nie jako jedną liczbę $r$.
• Dowód „w jedną stronę”. Twierdzenie Bézouta to równoważność: z $W(a) = 0$ wynika podzielność i z podzielności wynika $W(a) = 0$.
• Mylenie pierwiastka z czynnikiem. Pierwiastek $-3$ daje czynnik $(x + 3)$, a nie $(x - 3)$.

Najczęstsze pytania

Co mówi twierdzenie Bézouta? Że liczba $a$ jest pierwiastkiem wielomianu $W$ wtedy i tylko wtedy, gdy $W$ jest podzielny przez dwumian $x - a$. Inaczej: $W(a) = 0 \Leftrightarrow (x - a) \mid W(x)$.

Jak obliczyć resztę z dzielenia wielomianu bez dzielenia? Przy dzielniku $x - a$ reszta to po prostu $W(a)$ - wystarczy podstawić $a$ do wielomianu. Przy dzielniku $x + a$ podstawiamy $-a$.

Czym różni się twierdzenie o reszcie od twierdzenia Bézouta? Twierdzenie o reszcie podaje wartość reszty: $r = W(a)$. Twierdzenie Bézouta to jego szczególny przypadek dla reszty zerowej: $W(a) = 0$ dokładnie wtedy, gdy $x - a$ dzieli $W$.

Jak sprawdzić, czy wielomian jest podzielny przez dwumian? Obliczyć $W(a)$ dla dwumianu $x - a$. Jeśli wychodzi $0$, wielomian jest podzielny; jeśli nie - wynik jest resztą z dzielenia.

Czy twierdzenie Bézouta działa dla dzielnika 2x − 1? Tak, bo $2x - 1 = 2\left(x - \frac{1}{2}\right)$: wielomian jest podzielny przez $2x - 1$ wtedy i tylko wtedy, gdy $W\left(\frac{1}{2}\right) = 0$. Reszta z dzielenia przez $2x - 1$ również wynosi $W\left(\frac{1}{2}\right)$.

Kim był Bézout? Étienne Bézout (1730-1783) był francuskim matematykiem, autorem podręczników dla szkół marynarki i artylerii oraz prac o równaniach algebraicznych. Jego nazwisko noszą też inne wyniki - „twierdzenie Bézouta” o liczbie punktów wspólnych dwóch krzywych algebraicznych i tożsamość Bézouta dla największego wspólnego dzielnika, którą wyznacza rozszerzony algorytm Euklidesa. W polskiej szkole nazwą „twierdzenie Bézouta” określa się wynik o podzielności wielomianu przez $x - a$.

Przećwicz

• Schemat Hornera i twierdzenie Bézouta → - reszta z dzielenia bez dzielenia, parametr z warunku podzielności lub reszty, dwa parametry naraz i reszta z dzielenia przez $(x - a)(x - b)$.
• Pierwiastki wymierne → - skąd brać liczby $a$, dla których warto sprawdzać $W(a) = 0$.

Podsumowanie

• $a$ jest pierwiastkiem $W$, gdy $W(a) = 0$.
• Twierdzenie o reszcie: reszta z dzielenia $W(x)$ przez $x - a$ wynosi $W(a)$.
• Twierdzenie Bézouta: $W(a) = 0 \Leftrightarrow (x - a) \mid W(x)$.
• Parametry z warunku podzielności wyznaczamy z równań $W(a) = 0$ - jedno równanie na każdy dwumian.
• Reszta z dzielenia przez $(x - a)(x - b)$ ma postać $px + q$; $p$ i $q$ wyznaczamy z układu $W(a) = pa + q$, $W(b) = pb + q$.

Zobacz też

• Dzielenie wielomianów i schemat Hornera - jak wykonać dzielenie, gdy potrzebny jest iloraz.
• Pierwiastki wymierne wielomianu - skąd brać kandydatów na pierwiastki.
• Rozkład wielomianu na czynniki i równania wielomianowe - główne zastosowania twierdzenia Bézouta.
• Wielomiany - wzory i twierdzenia.