Sinus, cosinus i tangens dowolnego kąta - znaki w ćwiartkach

Klasa 2 liceum i technikum

Sinus, cosinus, tangens i cotangens dowolnego kąta definiuje się przez dowolny punkt $P = (x, y)$ różny od początku układu, leżący na końcowym ramieniu kąta umieszczonego w układzie współrzędnych: sinus to $\frac{y}{r}$, cosinus to $\frac{x}{r}$, tangens to $\frac{y}{x}$, a cotangens to $\frac{x}{y}$, gdzie $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ jest odległością punktu $P$ od początku układu.

W poprzedniej lekcji zobaczyliśmy, że dla kąta ostrego te wzory dają dokładnie to samo co stosunki boków trójkąta prostokątnego. Teraz pozwalamy punktowi $P$ wyjść z pierwszej ćwiartki.

Kąt w układzie współrzędnych

Kąt ustawiamy w położeniu standardowym:

• wierzchołek kąta leży w początku układu $O = (0, 0)$,
• ramię początkowe pokrywa się z dodatnią półosią $OX$,
• ramię końcowe otrzymujemy, obracając ramię początkowe o kąt $\alpha$przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Kąt od $0^\circ$ do $90^\circ$ ma ramię końcowe w I ćwiartce, od $90^\circ$ do $180^\circ$ - w II, od $180^\circ$ do $270^\circ$ - w III, a od $270^\circ$ do $360^\circ$ - w IV. Gdy ramię końcowe leży na osi (kąty $0^\circ$, $90^\circ$, $180^\circ$, $270^\circ$, $360^\circ$), kąt nie należy do żadnej ćwiartki. Kąty większe od $360^\circ$ i kąty ujemne pojawią się w lekcji o mierze łukowej i kącie skierowanym.

Definicja przez współrzędne punktu

Niech $P = (x, y)$ będzie dowolnym punktem ramienia końcowego, różnym od $O$. Jego odległość od początku układu to

$r = \sqrt{x^2 + y^2} > 0.$

Wtedy:

$\sin\alpha = \frac{y}{r}, \qquad \cos\alpha = \frac{x}{r}, \qquad \operatorname{tg}\alpha = \frac{y}{x}, \qquad \operatorname{ctg}\alpha = \frac{x}{y}.$

Wynik nie zależy od wyboru punktu. Weźmy na tym samym ramieniu punkt dwa razy dalej, $Q = (-6, 8)$. Ma on $r = \sqrt{36 + 64} = 10$, więc $\sin\alpha = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$ - tyle samo co dla $P = (-3, 4)$. Wszystkie punkty ramienia mają współrzędne proporcjonalne, więc stosunki $\frac{y}{r}$, $\frac{x}{r}$, $\frac{y}{x}$ się nie zmieniają. Najwygodniej wybierać punkt o całkowitych współrzędnych albo punkt w odległości $r = 1$.

Definicja nie przeczy klasie 1. Dla kąta ostrego $x > 0$ i $y > 0$, a $x$, $y$, $r$ to przyprostokątne i przeciwprostokątna trójkąta - wzory sprowadzają się do dawnych.

Granice wartości. Ponieważ $|y| \leq r$ i $|x| \leq r$, dla każdego kąta $-1 \leq \sin\alpha \leq 1$ oraz $-1 \leq \cos\alpha \leq 1$. Tangens i cotangens mogą być dowolną liczbą rzeczywistą.

Przykład 1 - kąt w II ćwiartce

Zadanie. Punkt $P = (-3, 4)$ leży na końcowym ramieniu kąta $\alpha$. Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych tego kąta.

Krok 1. Odległość od początku układu:

$r = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5.$

Krok 2. Podstawiamy $x = -3$, $y = 4$, $r = 5$:

$\sin\alpha = \frac{4}{5}, \qquad \cos\alpha = -\frac{3}{5}, \qquad \operatorname{tg}\alpha = -\frac{4}{3}, \qquad \operatorname{ctg}\alpha = -\frac{3}{4}.$

Odpowiedź. Sinus jest dodatni, pozostałe funkcje ujemne - tak jak powinno być w II ćwiartce. Sam kąt ma około $126{,}87^\circ$.

Przykład 2 - kąt w III ćwiartce

Zadanie. Wyznacz wartości funkcji trygonometrycznych kąta, na którego końcowym ramieniu leży punkt $P = (-2, -2\sqrt{3})$.

Krok 1. $r = \sqrt{(-2)^2 + (-2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = 4$.

Krok 2.

$\sin\alpha = \frac{-2\sqrt{3}}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \cos\alpha = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}, \qquad \operatorname{tg}\alpha = \frac{-2\sqrt{3}}{-2} = \sqrt{3}, \qquad \operatorname{ctg}\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}.$

Odpowiedź. To kąt $240^\circ$: sinus i cosinus ujemne, tangens i cotangens dodatnie.

Przykład 3 - kąt w IV ćwiartce

Zadanie. Punkt $P = (2, -1)$ leży na końcowym ramieniu kąta $\alpha$. Oblicz $\sin\alpha$, $\cos\alpha$, $\operatorname{tg}\alpha$, $\operatorname{ctg}\alpha$.

Krok 1. $r = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$.

Krok 2. Usuwamy niewymierność z mianownika:

$\sin\alpha = \frac{-1}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5}, \qquad \cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}, \qquad \operatorname{tg}\alpha = -\frac{1}{2}, \qquad \operatorname{ctg}\alpha = -2.$

Odpowiedź. W IV ćwiartce dodatni jest tylko cosinus.

Znaki funkcji w ćwiartkach

Znak sinusa zależy tylko od znaku $y$, znak cosinusa - od znaku $x$ (bo $r > 0$), a tangens i cotangens są dodatnie, gdy $x$ i $y$ mają ten sam znak.

Do zapamiętania wystarczy krótka reguła: w pierwszej wszystkie, w drugiej sinus, w trzeciej tangens i cotangens, w czwartej cosinus - to funkcje dodatnie, pozostałe są ujemne.

Kąty 0°, 90°, 180°, 270° i 360°

Gdy ramię końcowe leży na osi, najprościej wziąć punkt w odległości $r = 1$: dla $0^\circ$ to $(1, 0)$, dla $90^\circ$ - $(0, 1)$, dla $180^\circ$ - $(-1, 0)$, dla $270^\circ$ - $(0, -1)$, a kąt $360^\circ$ ma to samo ramię co $0^\circ$. Wtedy $\sin\alpha = y$ i $\cos\alpha = x$.

Kiedy tangens i cotangens nie istnieją

Sinus i cosinus istnieją dla każdego kąta, bo dzielimy przez $r > 0$. Inaczej jest z dwiema pozostałymi funkcjami:

• $\operatorname{tg}\alpha = \frac{y}{x}$ nie istnieje, gdy $x = 0$, czyli gdy ramię końcowe leży na osi $OY$ - dla kątów $90^\circ$ i $270^\circ$;
• $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{x}{y}$ nie istnieje, gdy $y = 0$, czyli gdy ramię końcowe leży na osi $OX$ - dla kątów $0^\circ$, $180^\circ$ i $360^\circ$.

Gdzie tangens i cotangens istnieją oba, są swoimi odwrotnościami: $\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{ctg}\alpha = \frac{y}{x} \cdot \frac{x}{y} = 1$.

Wartości dla kątów 120°, 135°, 150° i innych

Dla kątów, których ramię tworzy z osią $OX$ kąt $30^\circ$, $45^\circ$ albo $60^\circ$, punkt o prostych współrzędnych odczytujemy z „trójkątów szkolnych”. Na przykład ramię kąta $120^\circ$ tworzy z ujemną półosią $OX$ kąt $60^\circ$, więc leży na nim punkt $P = (-1, \sqrt{3})$ w odległości $r = 2$:

$\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \cos 120^\circ = -\frac{1}{2}, \qquad \operatorname{tg} 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{-1} = -\sqrt{3}.$

Tak samo powstaje cała tabela:

Widać prawidłowość: wartości bezwzględne są takie jak dla kątów $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$, a znak wynika z ćwiartki. Tę obserwację porządkują wzory redukcyjne.

Przykład 4 - ramię na danej prostej

Zadanie. Końcowe ramię kąta $\alpha$ leży w II ćwiartce na prostej $y = -2x$. Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kąta $\alpha$.

Krok 1. Wybieramy punkt prostej z II ćwiartki, czyli z $x < 0$: dla $x = -1$ mamy $y = 2$, więc $P = (-1, 2)$ i $r = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.

Krok 2.

$\sin\alpha = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}, \qquad \cos\alpha = \frac{-1}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5}, \qquad \operatorname{tg}\alpha = -2, \qquad \operatorname{ctg}\alpha = -\frac{1}{2}.$

Zauważ, że tangens to współczynnik kierunkowy prostej, na której leży ramię: $\operatorname{tg}\alpha = \frac{y}{x} = -2$.

Przykład 5 - jedna funkcja i ćwiartka dane

Zadanie. Wiadomo, że $\sin\alpha = \frac{3}{5}$ i $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. Oblicz $\cos\alpha$, $\operatorname{tg}\alpha$ i $\operatorname{ctg}\alpha$.

Krok 1. Skoro $\sin\alpha = \frac{y}{r} = \frac{3}{5}$, możemy przyjąć $y = 3$, $r = 5$.

Krok 2. Z $x^2 + y^2 = r^2$ mamy $x^2 = 25 - 9 = 16$, czyli $x = 4$ albo $x = -4$. Kąt leży w II ćwiartce, więc $x < 0$: $x = -4$.

Krok 3.

$\cos\alpha = -\frac{4}{5}, \qquad \operatorname{tg}\alpha = -\frac{3}{4}, \qquad \operatorname{ctg}\alpha = -\frac{4}{3}.$

Bez informacji o ćwiartce zadanie miałoby dwa rozwiązania - $\cos\alpha = \frac{4}{5}$ też spełnia warunek $\sin\alpha = \frac{3}{5}$. Ten sam rachunek da się zrobić szybciej jedynką trygonometryczną.

Najczęstsze pytania

Ile wynosi sin 120°?$\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866$. Na ramieniu kąta $120^\circ$ leży punkt $(-1, \sqrt{3})$ w odległości $2$ od początku układu, a sinus to $\frac{y}{r}$.

Ile wynosi cos 120°?$\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$ - cosinus kąta z II ćwiartki jest ujemny.

Ile wynosi cos 180°?$\cos 180^\circ = -1$. Ramię kąta $180^\circ$ to ujemna półoś $OX$, punkt $(-1, 0)$ daje $\cos 180^\circ = \frac{-1}{1}$. Z kolei $\sin 180^\circ = 0$.

Ile wynosi sin 270°?$\sin 270^\circ = -1$, a $\cos 270^\circ = 0$ - ramię leży na ujemnej półosi $OY$.

W której ćwiartce sinus jest ujemny? W III i IV, czyli dla kątów od $180^\circ$ do $360^\circ$ - tam punkt ramienia ma ujemną współrzędną $y$.

W której ćwiartce cosinus jest dodatni? W I i IV, czyli tam, gdzie $x > 0$: dla kątów od $0^\circ$ do $90^\circ$ i od $270^\circ$ do $360^\circ$.

Dlaczego tangens 90° nie istnieje? Bo punkt na ramieniu kąta $90^\circ$ ma $x = 0$, a $\operatorname{tg}\alpha = \frac{y}{x}$ wymagałby dzielenia przez zero. Tak samo nie istnieje $\operatorname{tg} 270^\circ$.

Czy wynik zależy od tego, jaki punkt ramienia wybiorę? Nie. Wszystkie punkty ramienia mają współrzędne proporcjonalne, więc ilorazy $\frac{y}{r}$, $\frac{x}{r}$ i $\frac{y}{x}$ wychodzą takie same. Punkty $(-3, 4)$ i $(-6, 8)$ dają ten sam sinus $\frac{4}{5}$.

Jak zapamiętać znaki w ćwiartkach? „W pierwszej wszystkie, w drugiej sinus, w trzeciej tangens i cotangens, w czwartej cosinus” - to lista funkcji dodatnich w kolejnych ćwiartkach.

Czy kąt rozwarty ma ujemny sinus? Nie - kąt rozwarty leży w II ćwiartce, gdzie sinus jest dodatni. Ujemne są jego cosinus, tangens i cotangens. Dlatego w trójkącie sinus każdego kąta jest dodatni, a cosinus kąta rozwartego - ujemny.

Co dalej

Definicja przez punkt $P$ prowadzi wprost do tożsamości trygonometrycznych: z $x^2 + y^2 = r^2$ po podzieleniu przez $r^2$ dostajemy $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ dla każdego kąta. Wartości dla kątów kolejnych ćwiartek liczy się sprawnie wzorami redukcyjnymi, a gotowe są w tabeli wzorów redukcyjnych.

Podsumowanie

• Kąt w położeniu standardowym: wierzchołek w $O$, ramię początkowe na dodatniej półosi $OX$, obrót przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
• Dla punktu $P = (x, y)$ ramienia końcowego i $r = \sqrt{x^2 + y^2}$: $\sin\alpha = \frac{y}{r}$, $\cos\alpha = \frac{x}{r}$, $\operatorname{tg}\alpha = \frac{y}{x}$, $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{x}{y}$.
• Wybór punktu na ramieniu nie zmienia wyniku.
• Dodatnie: w I ćwiartce wszystkie, w II sinus, w III tangens i cotangens, w IV cosinus.
• $\sin 0^\circ = 0$, $\sin 90^\circ = 1$, $\sin 180^\circ = 0$, $\sin 270^\circ = -1$; $\cos 0^\circ = 1$, $\cos 90^\circ = 0$, $\cos 180^\circ = -1$, $\cos 270^\circ = 0$.
• Tangens nie istnieje dla $90^\circ$ i $270^\circ$, cotangens - dla $0^\circ$, $180^\circ$ i $360^\circ$.
• Zawsze $-1 \leq \sin\alpha \leq 1$ i $-1 \leq \cos\alpha \leq 1$.