Zastosowanie własności funkcji liniowej w zadaniach praktycznych

Klasa 1 liceum i technikum

Funkcja liniowa świetnie opisuje sytuacje, w których coś zmienia się w stałym tempie i ma jakiś punkt startowy. Taki model ma zawsze tę samą postać $f(x) = ax + b$, gdzie:

• $b$ to wartość początkowa (opłata stała, stan na starcie),
• $a$ to tempo zmian (cena za jednostkę, prędkość przyrostu lub ubytku).

W tej lekcji budujemy takie modele i wyciągamy z nich konkretne wnioski.

Przykład 1. Koszt jako opłata stała plus zmienna

Treść. Wypożyczalnia rowerów pobiera $8$ zł opłaty początkowej oraz $3$ zł za każdą godzinę jazdy. Zapisz koszt jako funkcję czasu, oblicz koszt jazdy przez $5$ godzin i ustal, na ile godzin wystarczy $35$ zł.

Krok 1. Model. Koszt $k$ (w zł) w zależności od liczby godzin $t$:

$k(t) = 3t + 8.$

Wyraz wolny $b = 8$ to opłata początkowa, współczynnik $a = 3$ to cena za godzinę.

Krok 2. Koszt za 5 godzin. Podstawiamy $t = 5$:

$k(5) = 3 \cdot 5 + 8 = 23 \ \text{zł}.$

Krok 3. Ile godzin za 35 zł. Rozwiązujemy równanie $k(t) = 35$:

$3t + 8 = 35 \quad\Longrightarrow\quad 3t = 27 \quad\Longrightarrow\quad t = 9.$

Odpowiedź. Koszt jazdy przez $5$ godzin to $23$ zł, a $35$ zł wystarczy na $9$ godzin.

Przykład 2. Która oferta jest tańsza

Treść. Dwie wypożyczalnie hulajnóg: oferta A - $40$ zł abonamentu plus $0{,}20$ zł za minutę; oferta B - bez abonamentu, $0{,}60$ zł za minutę. Przy ilu minutach koszt jest taki sam? Która oferta jest tańsza dla intensywnego użytkownika?

Krok 1. Modele. Koszt w zł w zależności od liczby minut $x$:

$A(x) = 0{,}2x + 40, \qquad B(x) = 0{,}6x.$

Krok 2. Koszt jednakowy. Przyrównujemy wzory:

$0{,}2x + 40 = 0{,}6x \quad\Longrightarrow\quad 40 = 0{,}4x \quad\Longrightarrow\quad x = 100.$

Dla $x = 100$ minut koszt wynosi $B(100) = 0{,}6 \cdot 100 = 60$ zł w obu ofertach.

Krok 3. Wniosek. Oferta B startuje taniej (bez abonamentu), ale rośnie szybciej (stromsza prosta). Do $100$ minut tańsza jest oferta B, a powyżej $100$ minut - oferta A. Dla intensywnego użytkownika (dużo minut) korzystniejsza jest oferta A z abonamentem.

Przykład 3. Opróżnianie zbiornika

Treść. W zbiorniku jest $200$ litrów wody. Po odkręceniu zaworu woda wypływa równomiernie w tempie $5$ litrów na minutę. Zapisz objętość wody jako funkcję czasu i ustal, po ilu minutach zbiornik będzie pusty.

Krok 1. Model. Objętość $V$ (w litrach) maleje, więc współczynnik kierunkowy jest ujemny:

$V(t) = 200 - 5t.$

Wartość początkowa $b = 200$ (litry na starcie), tempo $a = -5$ (ubytek na minutę).

Krok 2. Zbiornik pusty. Szukamy miejsca zerowego ($V(t) = 0$):

$200 - 5t = 0 \quad\Longrightarrow\quad 5t = 200 \quad\Longrightarrow\quad t = 40.$

Odpowiedź. Zbiornik będzie pusty po $40$ minutach. (Model ma sens dla $t \in \langle 0; 40 \rangle$

• później wody już nie ma.)

Jak rozwiązywać takie zadania

1. Nazwij wielkości i ustal, co od czego zależy (co jest argumentem $x$, co wartością).
2. Zbuduj wzór $f(x) = ax + b$: $b$ to wartość początkowa, $a$ to tempo zmian (ujemne, gdy coś maleje).
3. Przetłumacz pytanie na działanie: „ile wynosi dla danego $x$” to obliczenie wartości; „kiedy osiągnie wartość $w$” to równanie $f(x) = w$; „kiedy zero” to miejsce zerowe; „kiedy tak samo” to przyrównanie dwóch wzorów.
4. Sprawdź sens odpowiedzi w kontekście (czas nieujemny, model ważny w pewnym przedziale).

Podsumowanie

• Model liniowy $f(x) = ax + b$ opisuje zmiany w stałym tempie z wartością początkową.
• $b$ = wartość startowa, $a$ = tempo zmian (ujemne dla wielkości malejących).
• Najczęstsze pytania to: obliczenie wartości, równanie $f(x) = w$, miejsce zerowe oraz porównanie dwóch modeli (punkt przecięcia = opłacalność).