Drzewko prawdopodobieństwa - doświadczenia wieloetapowe krok po kroku

Klasa 4 liceum i technikum

Doświadczenie wieloetapowe to doświadczenie złożone z kilku kolejnych losowań, w którym wynik jednego etapu może wpływać na warunki następnego - na przykład losowanie dwóch kul bez zwracania albo rzut monetą, który decyduje, z której urny losujemy. Opisuje się je drzewkiem: każdy etap to poziom rozgałęzień, na odcinkach zapisujemy prawdopodobieństwa, a prawdopodobieństwo drogi to iloczyn liczb na jej odcinkach.

Drzewko jest szczególnie wygodne wtedy, gdy wyniki nie są jednakowo prawdopodobne albo gdy liczenie $|\Omega|$ byłoby kłopotliwe. Liczba na odcinku jest prawdopodobieństwem przy założeniu, że doszliśmy do tego węzła - to intuicyjna zapowiedź prawdopodobieństwa warunkowego.

Losowanie bez zwracania

Przykład 1. W urnie są $3$ kule białe i $2$ czarne. Losujemy kolejno dwie kule bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że obie będą tego samego koloru?

Krok 1. Pierwszy etap. Białą wyciągamy z prawdopodobieństwem $\tfrac{3}{5}$, czarną - $\tfrac{2}{5}$.

Krok 2. Drugi etap. Skład urny zależy od pierwszego losowania. Po białej zostały $2$ białe i $2$ czarne (gałęzie $\tfrac{2}{4}$ i $\tfrac{2}{4}$), po czarnej - $3$ białe i $1$ czarna ($\tfrac{3}{4}$ i $\tfrac{1}{4}$).

Krok 3. Gałęzie sprzyjające. Ten sam kolor to drogi „b, b” i „c, c”:

$P(A) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} + \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{6}{20} + \frac{2}{20} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}.$

Kontrola: liście $\tfrac{3}{10} + \tfrac{3}{10} + \tfrac{3}{10} + \tfrac{1}{10} = 1$. Wynik zgadza się z definicją klasyczną: $\tfrac{\binom{3}{2} + \binom{2}{2}}{\binom{5}{2}} = \tfrac{3 + 1}{10} = \tfrac{2}{5}$.

Moneta wybiera urnę

Przykład 2. Rzucamy monetą. Gdy wypadnie orzeł, losujemy kulę z urny I ($2$ białe, $3$ czarne), gdy reszka - z urny II ($4$ białe, $1$ czarna). Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli?

Drzewko ma dwa poziomy: moneta (po $\tfrac{1}{2}$), potem kolor kuli. Białej sprzyjają dwie drogi:

$P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} = \frac{2}{10} + \frac{4}{10} = \frac{3}{5}.$

Pułapka: „wrzucić wszystkie kule do jednej urny” ($6$ białych na $10$) daje tu przypadkiem też $\tfrac{3}{5}$, bo urny mają po tyle samo kul. Gdyby urna II miała $4$ białe i $4$ czarne, drzewko dałoby $\tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{2}{5} + \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{1}{2} = \tfrac{9}{20}$, a „wspólna urna” $\tfrac{6}{13}$ - błędnie. Taki rachunek ma swoją nazwę: wzór na prawdopodobieństwo całkowite.

Przełożenie kuli

Przykład 3. W urnie I są $2$ kule białe i $1$ czarna, w urnie II - $1$ biała i $2$ czarne. Losujemy kulę z urny I i przekładamy ją do urny II, a potem losujemy kulę z urny II. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie biała?

Krok 1. Przełożona kula jest biała z prawdopodobieństwem $\tfrac{2}{3}$, czarna - $\tfrac{1}{3}$.

Krok 2. Po przełożeniu w urnie II są $4$ kule: $2$ białe i $2$ czarne (gdy przełożyliśmy białą) albo $1$ biała i $3$ czarne (gdy czarną).

Krok 3.

$P(B) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{4} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{1}{12} = \frac{5}{12}.$

Odpowiedź: $\tfrac{5}{12}$.

Mecz do dwóch wygranych

Przykład 4. Zawodnik A wygrywa pojedynczą partię z zawodnikiem B z prawdopodobieństwem $0{,}6$, niezależnie od wcześniejszych partii. Grają do dwóch wygranych (najwyżej trzy partie). Jakie jest prawdopodobieństwo, że mecz wygra A?

Drzewko nie musi mieć wszystkich gałęzi tej samej długości - po wyniku $2:0$ mecz się kończy. A wygrywa po drogach:

• W, W (wynik $2:0$): $0{,}6 \cdot 0{,}6 = 0{,}36$;
• W, P, W oraz P, W, W (wynik $2:1$): $2 \cdot 0{,}6 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}6 = 0{,}288$.

$P = 0{,}36 + 0{,}288 = 0{,}648.$

Lepszy zawodnik wygrywa mecz częściej ($64{,}8\%$) niż pojedynczą partię ($60\%$) - dlatego w finałach gra się „do kilku zwycięstw”.

Jak rysować drzewko - schemat

1. Poziomy = etapy doświadczenia, w kolejności, w jakiej zachodzą.
2. Gałęzie z węzła = możliwe wyniki etapu; na odcinku zapisz prawdopodobieństwo przy tym, co zdarzyło się wcześniej (po losowaniu bez zwracania urna się zmienia!).
3. Sprawdź: gałęzie z każdego węzła sumują się do $1$.
4. Zaznacz liście sprzyjające, policz iloczyny na drogach i dodaj je.
5. Przy wielu drogach o tym samym iloczynie (jak $2:1$ w meczu) policz jedną i pomnóż przez liczbę dróg.

Typowe błędy

• Te same liczby na drugim poziomie mimo losowania bez zwracania - zapominamy, że kula ubyła.
• Dodawanie wzdłuż drogi zamiast mnożenia (albo mnożenie różnych dróg zamiast dodawania).
• Pominięcie którejś drogi sprzyjającej - np. tylko W, P, W bez P, W, W.
• Łączenie urn w jedną - daje dobry wynik tylko w szczególnych przypadkach.

Najczęstsze pytania

Jak liczyć prawdopodobieństwo z drzewka? Mnożymy prawdopodobieństwa wzdłuż każdej drogi prowadzącej do wyniku sprzyjającego, a potem dodajemy wyniki wszystkich takich dróg.

Co to jest doświadczenie wieloetapowe? Doświadczenie złożone z kilku kolejnych losowań (etapów), np. dwa losowania bez zwracania albo rzut monetą, a potem losowanie z wybranej urny.

Dlaczego na drzewku prawdopodobieństwa mnożymy? Bo liczba na odcinku mówi, jaka część przypadków, które doszły do węzła, idzie dalej tą gałęzią. Część z części to iloczyn: $\tfrac{3}{5}$ przypadków, a z nich $\tfrac{2}{4}$, to $\tfrac{3}{5} \cdot \tfrac{2}{4}$ wszystkich.

Czy drzewko zawsze daje ten sam wynik co definicja klasyczna? Tak, jeśli obie metody opisują to samo doświadczenie - przykład 1 liczony kombinacjami daje to samo $\tfrac{2}{5}$. Drzewko działa też wtedy, gdy wyniki nie są jednakowo prawdopodobne.

Przećwicz

• Drzewka - doświadczenia wieloetapowe - zadania → - wybór urny monetą i kostką, przełożenie kul, losowanie bez zwracania, mecz do dwóch wygranych, strzelec (zadania z pełnym rozwiązaniem krok po kroku).
• Cały zestaw: rachunek prawdopodobieństwa - zadania z rozwiązaniami →

Podsumowanie

• Doświadczenie wieloetapowe rysujemy drzewkiem: poziom = etap, gałąź = wynik etapu.
• Wzdłuż drogi mnożymy, drogi sprzyjające dodajemy.
• Na drugim poziomie prawdopodobieństwa zależą od wyniku pierwszego (np. losowanie bez zwracania).
• Gałęzie z każdego węzła i wszystkie liście sumują się do $1$ - to kontrola rachunków.
• Drzewo może mieć gałęzie różnej długości (mecz kończy się po dwóch wygranych).