Pierwiastek wielokrotny wielomianu - krotność i wykres

Klasa 2 liceum i technikum

Pierwiastek wielokrotny to pierwiastek wielomianu, który występuje w jego rozkładzie na czynniki więcej niż raz. Liczba $a$ jest pierwiastkiem $k$-krotnym, gdy wielomian dzieli się przez $(x - a)^k$, ale już nie przez $(x - a)^{k+1}$. Pierwiastek dwukrotny nazywamy też podwójnym, a trzykrotny - potrójnym.

Znamy to już z funkcji kwadratowej: gdy $\Delta = 0$, trójmian ma postać $a(x - x_0)^2$ i jego jedyne miejsce zerowe jest pierwiastkiem dwukrotnym. Parabola wtedy nie przecina osi, tylko jej dotyka. Dla wielomianów wyższych stopni działa to tak samo.

Krotność odczytana z rozkładu

Gdy wielomian jest rozłożony na czynniki liniowe, krotność to wykładnik potęgi czynnika $(x - a)$.

Przykład 1. $W(x) = (x - 1)(x + 2)^2(x - 3)^3$.

• $1$ - pierwiastek jednokrotny (czynnik $(x - 1)$ w pierwszej potędze);
• $-2$ - pierwiastek dwukrotny (czynnik $(x + 2)^2$);
• $3$ - pierwiastek trzykrotny (czynnik $(x - 3)^3$).

Stopień wielomianu to $1 + 2 + 3 = 6$ i tyle samo wynosi suma krotności.

Uwaga na rozkład niedokończony. Zanim odczytasz krotność, rozłóż każdy czynnik do końca i zbierz te same nawiasy w potęgę:

Przykład 2. $W(x) = (x^2 - 4x + 4)(x^2 - 4)$.

$W(x) = (x - 2)^2 \cdot (x - 2)(x + 2) = (x - 2)^3 (x + 2).$

Liczba $2$ jest pierwiastkiem trzykrotnym, a nie dwukrotnym - jeden czynnik $(x - 2)$ „schował się” w różnicy kwadratów. Liczba $-2$ jest pierwiastkiem jednokrotnym.

Przykład 3. $W(x) = x^3 (2x - 1)^2 (x^2 + 5)$.

• $0$ - pierwiastek trzykrotny (czynnik $x^3 = (x - 0)^3$);
• $\frac{1}{2}$ - pierwiastek dwukrotny, bo $(2x - 1)^2 = 4\left(x - \frac{1}{2}\right)^2$;
• $x^2 + 5$ nie ma pierwiastków ($\Delta = -20 < 0$).

Stopień to $7$, a suma krotności pierwiastków rzeczywistych tylko $3 + 2 = 5$.

Wyznaczanie krotności schematem Hornera

Gdy rozkładu nie znamy, dzielimy wielomian przez $(x - a)$ tyle razy, ile się da - schematem Hornera, za każdym razem dzieląc otrzymany iloraz. Krotność to liczba dzieleń z resztą zero.

Przykład 4. Wyznacz krotność pierwiastka $2$ wielomianu $W(x) = x^4 - 5x^3 + 6x^2 + 4x - 8$.

Każdy wiersz dzieli iloraz z wiersza wyżej. Pierwsze trzy dzielenia dają resztę $0$, czwarte - resztę $3$. Zatem:

$W(x) = (x - 2)^3 (x + 1).$

Odpowiedź. Liczba $2$ jest pierwiastkiem trzykrotnym (a przy okazji $-1$ - jednokrotnym).

Dzielenie można zakończyć, gdy iloraz zrobi się liniowy - tu po trzecim dzieleniu zostało $x + 1$, a od razu widać, że $2$ nie jest jego pierwiastkiem.

Krotność a wykres wielomianu

W otoczeniu pierwiastka $a$ krotności $k$ wielomian zachowuje się jak $c \cdot (x - a)^k$ dla pewnej stałej $c \neq 0$. Potęga parzysta jest nieujemna po obu stronach $a$, a potęga nieparzysta zmienia znak. Stąd reguła:

Na rysunku wielomian $W(x) = (x + 3)(x + 1)^2(x - 3)^3$ jest dodatni na lewo od $-3$, między $-3$ a $3$ ujemny (w punkcie $-1$ tylko dotyka osi i wraca pod nią), a na prawo od $3$ znów dodatni. Przy pierwiastku trzykrotnym wykres jest wyraźnie „płaski”: ponieważ $(x - 3)^3$ jest bardzo małe w pobliżu $3$, krzywa długo biegnie tuż przy osi.

Ta reguła to podstawa „wężyka”, którym rozwiązuje się nierówności wielomianowe: przy pierwiastku nieparzystej krotności linia przechodzi na drugą stronę osi, przy parzystej - odbija się. Szkicowanie całych wykresów omawia lekcja o funkcjach wielomianowych.

Suma krotności a stopień

Wielomian stopnia $n$ ma pierwiastków rzeczywistych nie więcej niż $n$, nawet licząc je z krotnościami. Suma krotności jest równa $n$ dokładnie wtedy, gdy wielomian rozkłada się na same czynniki liniowe. Każdy czynnik kwadratowy z ujemną deltą „zabiera” dwa stopnie, nie dając pierwiastków.

Wielomian $(x - 1)^2(x^2 + x + 1)$ ma stopień $4$, ale jedyny pierwiastek rzeczywisty to $1$ (dwukrotny), bo $x^2 + x + 1$ ma $\Delta = -3 < 0$.

Zadania z parametrem na krotność

Przykład 5. Wyznacz $a$ i $b$ tak, aby liczba $1$ była pierwiastkiem dwukrotnym wielomianu $W(x) = x^3 + ax^2 + bx + 4$.

Krok 1. Pierwsze dzielenie przez $(x - 1)$ - Horner z literami:

Reszta musi być zerem: $a + b + 5 = 0$.

Krok 2. Drugie dzielenie. Iloraz $Q(x) = x^2 + (a + 1)x + (a + b + 1)$ też musi mieć pierwiastek $1$:

$Q(1) = 1 + (a + 1) + (a + b + 1) = 2a + b + 3 = 0.$

Krok 3. Układ równań.

$\begin{cases} a + b = -5 \\ 2a + b = -3 \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad a = 2,\ b = -7.$

Krok 4. Sprawdzenie, że krotność nie jest większa. Dla tych wartości $Q(x) = x^2 + 3x - 4 = (x - 1)(x + 4)$, więc

$W(x) = x^3 + 2x^2 - 7x + 4 = (x - 1)^2 (x + 4).$

Liczba $1$ nie jest pierwiastkiem czynnika $x + 4$, więc krotność wynosi dokładnie $2$.

Odpowiedź. $a = 2$, $b = -7$.

Przykład 6. Dla jakich wartości $m$ wielomian $W(x) = x^3 - 3x + m$ ma pierwiastek dwukrotny?

Wielomian stopnia $3$ z pierwiastkiem dwukrotnym $a$ musi mieć postać $(x - a)^2(x - b)$. Wymnażamy:

$(x - a)^2 (x - b) = x^3 - (2a + b)x^2 + (a^2 + 2ab)x - a^2 b.$

Porównujemy współczynniki z $x^3 + 0 \cdot x^2 - 3x + m$ (równość wielomianów):

$2a + b = 0, \qquad a^2 + 2ab = -3, \qquad -a^2 b = m.$

Z pierwszego $b = -2a$, więc $a^2 - 4a^2 = -3$, czyli $a^2 = 1$ i $a = 1$ albo $a = -1$.

• $a = 1$, $b = -2$: $m = -1 \cdot (-2) = 2$, czyli $x^3 - 3x + 2 = (x - 1)^2(x + 2)$;
• $a = -1$, $b = 2$: $m = -1 \cdot 2 = -2$, czyli $x^3 - 3x - 2 = (x + 1)^2(x - 2)$.

Odpowiedź. $m = 2$ albo $m = -2$. Więcej zadań tego typu: równania wielomianowe z parametrem.

Typowe błędy

• Krotność z nierozłożonego czynnika. W $(x - 2)^2(x^2 - 4)$ liczba $2$ jest pierwiastkiem trzykrotnym, nie dwukrotnym.
• Zapominanie o współczynniku przy $x$. W $(3x + 6)^2 = 9(x + 2)^2$ pierwiastkiem dwukrotnym jest $-2$, a nie $-6$.
• Za wczesne zakończenie dzielenia. Jedna reszta zero oznacza tylko, że $a$ jest pierwiastkiem. O krotności mówi dopiero seria dzieleń.
• Brak sprawdzenia „nie większa”. W zadaniu „pierwiastek dokładnie dwukrotny” trzeba wykluczyć, że jest trzykrotny.
• Liczenie rozwiązań równania z krotnościami. Równanie $(x - 2)^2 = 0$ ma jedno rozwiązanie $x = 2$, choć jest to pierwiastek dwukrotny.

Najczęstsze pytania

Co to jest pierwiastek dwukrotny? To taka liczba $a$, że wielomian dzieli się przez $(x - a)^2$, ale nie przez $(x - a)^3$. Na przykład $3$ jest pierwiastkiem dwukrotnym wielomianu $(x - 3)^2(x + 1)$. Wykres w takim punkcie dotyka osi $OX$ i odbija się od niej.

Jak sprawdzić krotność pierwiastka? Rozłóż wielomian na czynniki i odczytaj wykładnik przy $(x - a)$ albo dziel go schematem Hornera przez $(x - a)$, dopóki reszta wynosi zero - liczba udanych dzieleń to krotność.

Jak krotność pierwiastka wpływa na wykres? Przy krotności nieparzystej wykres przecina oś $OX$ (wielomian zmienia znak), przy parzystej odbija się od niej (znak zostaje). Im wyższa krotność, tym bardziej wykres „przykleja się” do osi w pobliżu pierwiastka.

Czy pierwiastek dwukrotny to dwa rozwiązania równania? Nie. Równanie ma jedno rozwiązanie, tylko liczone z krotnością $2$. Gdy zadanie pyta o liczbę rozwiązań, każdy pierwiastek liczymy raz.

Ile pierwiastków może mieć wielomian stopnia n? Najwyżej $n$, nawet licząc je z krotnościami. Wielomian stopnia nieparzystego ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.

Czy zero może być pierwiastkiem wielokrotnym? Tak. W wielomianie $x^4 - 2x^3 = x^3(x - 2)$ liczba $0$ jest pierwiastkiem trzykrotnym. Krotność zera to najniższa potęga $x$, którą da się wyłączyć przed nawias.

Przećwicz

• Pierwiastek wielokrotny → - krotność z postaci iloczynowej i kolejnymi schematami Hornera, wielomian o zadanych pierwiastkach oraz parametry, przy których pierwiastek jest dwukrotny albo trzykrotny.
• Pierwiastki wymierne → - jak znaleźć pierwiastek, zanim zbada się jego krotność.

Podsumowanie

• $a$ jest pierwiastkiem $k$-krotnym, gdy $W(x) = (x - a)^k P(x)$ i $P(a) \neq 0$.
• Krotność to wykładnik czynnika $(x - a)$ w pełnym rozkładzie - rozkładaj do końca.
• Bez rozkładu: dziel schematem Hornera przez $(x - a)$, dopóki reszta wynosi zero.
• Krotność nieparzysta - wykres przecina oś, parzysta - odbija się od niej.
• Suma krotności pierwiastków rzeczywistych nie przekracza stopnia wielomianu.
• Zadania z parametrem: dwa warunki „reszta zero” albo porównanie z $(x - a)^2(x - b)$.

Czytaj dalej

• Pierwiastki wymierne wielomianu - skąd brać kandydatów na pierwiastki.
• Rozkład wielomianu na czynniki - pełny rozkład, z którego odczytuje się krotności.
• Postać iloczynowa funkcji kwadratowej - pierwiastek dwukrotny przy $\Delta = 0$.
• Zestawienie twierdzeń: wielomiany - rozkład na czynniki, twierdzenie Bézouta, nierówności.