Odcinek łączący środki boków trójkąta - twierdzenie i dowód

Q: Jaką długość ma odcinek łączący środki boków trójkąta?

Połowę długości trzeciego boku. Jeśli |AB| = 14, to odcinek łączący środki boków AC i BC ma długość 7.

Q: Jak obliczyć linię środkową trapezu?

Jako średnią arytmetyczną podstaw: a + b/2. Leży ona w połowie wysokości i jest równoległa do podstaw.

Twierdzenie o odcinku łączącym środki boków

Jeżeli $M$ i $N$ są środkami boków $AC$ i $BC$ trójkąta $ABC$ , to

$MN \parallel AB \qquad \text{oraz} \qquad |MN| = \tfrac{1}{2}|AB|.$

W zapisie wektorowym: $\overrightarrow{MN} = \tfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ . Dla trapezu o podstawach $a$ i $b$ odcinek łączący środki ramion ma długość $\tfrac{a + b}{2}$ .

Co mówi twierdzenie

Weźmy dowolny trójkąt i zaznaczmy środki dwóch jego boków. Odcinek, który je łączy - nazywany linią środkową trójkąta (albo odcinkiem środkowym) - ma dwie własności naraz:

jest równoległy do trzeciego boku,
jest od niego dokładnie dwa razy krótszy.

Trójkąt ma trzy takie odcinki, po jednym na każdą parę boków. Razem tworzą trójkąt środkowy, który dzieli wyjściowy trójkąt na cztery przystające trójkąty. Dlatego trójkąt środkowy ma połowę obwodu i ćwierć pola trójkąta wyjściowego.

Uwaga na nazwy. Linia środkowa to co innego niż środkowa trójkąta. Środkowa łączy wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku; linia środkowa łączy środki dwóch boków i żadnego wierzchołka nie zawiera.

Założenia

$M$ i $N$ są środkami boków - nie dowolnymi punktami. Dla punktów dzielących boki w innej, ale tej samej proporcji odcinek nadal jest równoległy, tylko jego długość to odpowiednia część boku (to już ogólne twierdzenie Talesa).
Pracujemy na płaszczyźnie euklidesowej. Dowody korzystają z podobieństwa albo z własności równoległoboku, a te z kolei opierają się na postulacie równoległości (patrz „Kiedy przestaje działać”).

Dowód z podobieństwa trójkątów

Pokaż dowódUkryj dowód

Porównajmy trójkąty $MNC$ i $ABC$ .

Krok 1. Ponieważ $M$ i $N$ są środkami boków,

$\frac{|CM|}{|CA|} = \frac{1}{2} = \frac{|CN|}{|CB|}.$

Krok 2. Kąt przy wierzchołku $C$ jest w obu trójkątach wspólny. Dwa boki są proporcjonalne, a kąt między nimi równy - trójkąty są podobne (cecha bok-kąt-bok) w skali $\frac{1}{2}$ .

Krok 3. Z podobieństwa trzeci bok też jest w skali $\frac{1}{2}$ : $|MN| = \frac{1}{2}|AB|$ . Ponadto $\angle CMN = \angle CAB$ , a to kąty odpowiadające przy prostych $MN$ i $AB$ przeciętych prostą $AC$ - więc $MN \parallel AB$ . $\blacksquare$

Dowód wektorowy

Pokaż dowódUkryj dowód

Oznaczmy $\vec{u} = \overrightarrow{CA}$ i $\vec{v} = \overrightarrow{CB}$ . Środki boków dają $\overrightarrow{CM} = \frac{1}{2}\vec{u}$ oraz $\overrightarrow{CN} = \frac{1}{2}\vec{v}$ . Stąd

$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{CN} - \overrightarrow{CM} = \tfrac{1}{2}\vec{v} - \tfrac{1}{2}\vec{u} = \tfrac{1}{2}\left(\vec{v} - \vec{u}\right) = \tfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}.$

Wektor $\overrightarrow{MN}$ jest połową wektora $\overrightarrow{AB}$ : ma ten sam kierunek (odcinki są równoległe) i połowę długości. $\blacksquare$

Dowód przez równoległobok (bez podobieństwa)

Pokaż dowódUkryj dowód

Ten dowód korzysta tylko z przystawania trójkątów i własności równoległoboku.

Dowód przez równoległobok: odcinek MN przedłużamy o taki sam odcinek NP. Trójkąty MNC i PNB są przystające, więc ABPM jest równoległobokiem, a MN to połowa MP = AB.

Krok 1. Przedłużamy odcinek $MN$ poza punkt $N$ do punktu $P$ tak, by $|NP| = |MN|$ .

Krok 2. Trójkąty $MNC$ i $PNB$ są przystające (cecha bok-kąt-bok): $|MN| = |PN|$ , $|CN| = |BN|$ (bo $N$ to środek $BC$ ), a kąty przy $N$ są wierzchołkowe.

Krok 3. Z przystawania $|PB| = |MC| = |AM|$ oraz $\angle NPB = \angle NMC$ . Te równe kąty są naprzemianległe przy prostych $PB$ i $AC$ , więc $PB \parallel AC$ .

Krok 4. W czworokącie $ABPM$ boki $AM$ i $BP$ są równoległe i równe - to równoległobok. Zatem $MP \parallel AB$ i $|MP| = |AB|$ , a ponieważ $N$ jest środkiem $MP$ :

$|MN| = \tfrac{1}{2}|MP| = \tfrac{1}{2}|AB|. \qquad \blacksquare$

Twierdzenie odwrotne

Jeżeli prosta przechodzi przez środek jednego boku trójkąta i jest równoległa do drugiego boku, to przechodzi przez środek trzeciego boku.

To wygodne narzędzie w zadaniach: zamiast dowodzić, że punkt jest środkiem, wystarczy pokazać równoległość. Twierdzenie wynika z zasady, że przez punkt $M$ przechodzi tylko jedna prosta równoległa do $AB$ - a odcinek $MN$ do środka $N$ już taką prostą wyznacza.

Przykład

Dany jest trójkąt o wierzchołkach $A = (-2, 1)$ , $B = (6, 3)$ , $C = (2, 7)$ . Sprawdźmy twierdzenie we współrzędnych.

Środki boków $AC$ i $BC$ :

$M = \left(\tfrac{-2 + 2}{2}, \tfrac{1 + 7}{2}\right) = (0, 4), \qquad N = \left(\tfrac{6 + 2}{2}, \tfrac{3 + 7}{2}\right) = (4, 5).$

Wektory: $\overrightarrow{MN} = [4, 1]$ , a $\overrightarrow{AB} = [8, 2] = 2 \cdot [4, 1]$ .

Wektory są proporcjonalne, więc $MN \parallel AB$ , a długości: $|MN| = \sqrt{17}$ , $|AB| = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}$ . Dokładnie połowa - zgodnie z twierdzeniem.

Przykład liczbowy. Boki trójkąta mają długości $8$ , $10$ i $12$ . Trójkąt środkowy ma boki $4$ , $5$ i $6$ , czyli obwód $15$ - połowę obwodu $30$ .

Linia środkowa trapezu

W trapezie o podstawach $a$ i $b$ odcinek łączący środki ramion jest równoległy do podstaw i ma długość równą ich średniej arytmetycznej:

$|MN| = \frac{a + b}{2}.$

Skąd to wiadomo. Przekątna dzieli trapez na dwa trójkąty. Linia środkowa trapezu przecina tę przekątną w jej środku (z twierdzenia odwrotnego), więc składa się z dwóch linii środkowych trójkątów: jednej o długości $\frac{a}{2}$ i drugiej o długości $\frac{b}{2}$ .

Przykład. Trapez o podstawach $14$ i $6$ ma linię środkową długości $\frac{14 + 6}{2} = 10$ .

Twierdzenie Varignona

Z twierdzenia o linii środkowej wynika zaskakujący fakt: środki boków dowolnego czworokąta są wierzchołkami równoległoboku. Każdy bok tego równoległoboku jest linią środkową trójkąta wyciętego przez jedną z przekątnych, więc dwa przeciwległe boki są równoległe do tej samej przekątnej i mają długość jej połowy. Obwód równoległoboku Varignona jest równy sumie długości przekątnych czworokąta.

Kiedy przestaje działać

Punkty, które nie są środkami. Jeśli $M$ dzieli bok $AC$ w stosunku $1 : 2$ , a $N$ bok $BC$ w stosunku $1 : 1$ , odcinek $MN$ nie jest równoległy do $AB$ . Równoległość zachodzi tylko przy tej samej proporcji na obu bokach (twierdzenie Talesa i twierdzenie do niego odwrotne).

Na sferze. Weźmy trójkąt sferyczny z wierzchołkiem na biegunie i dwoma wierzchołkami na równiku, oddalonymi o $90^\circ$ długości geograficznej. Środki ramion leżą na szerokości $45^\circ$ , a łuk koła wielkiego między nimi ma $60^\circ$ - więcej niż połowa podstawy ( $45^\circ$ ). Równoległości też nie ma, bo na sferze dwa koła wielkie zawsze się przecinają.

W geometrii hiperbolicznej jest odwrotnie: linia środkowa jest zawsze krótsza od połowy trzeciego boku. Twierdzenie o linii środkowej jest więc - podobnie jak suma kątów trójkąta - równoważne euklidesowemu postulatowi równoległości.

Po co to komu

Środkowe trójkąta przecinają się w stosunku $2 : 1$ . Niech środkowe $AN$ i $BM$ przecinają się w punkcie $G$ . Ponieważ $MN \parallel AB$ i $|MN| = \frac{1}{2}|AB|$ , trójkąty $GMN$ i $GBA$ są podobne w skali $\frac{1}{2}$ , więc $|GN| = \frac{1}{2}|GA|$ - środek ciężkości dzieli każdą środkową w stosunku $2 : 1$ , licząc od wierzchołka.
Obliczenia w trapezach - długość linii środkowej i pole trapezu $P = \frac{a + b}{2} \cdot h$ , czyli linia środkowa razy wysokość.
Twierdzenie Varignona i zadania o czworokątach.
Szybkie rachunki w zadaniach, w których pojawiają się środki boków: długość i kierunek odcinka są znane od razu.

Kto i kiedy

Twierdzenie jest szczególnym przypadkiem twierdzenia VI.2 z Elementów Euklidesa (ok. 300 r. p.n.e.): prosta równoległa do boku trójkąta dzieli dwa pozostałe boki proporcjonalnie, i odwrotnie. W polskiej szkole ten krąg twierdzeń nosi nazwę twierdzenia Talesa. Wniosek o czworokątach sformułował francuski matematyk Pierre Varignon (1654-1722); ukazał się drukiem dopiero w 1731 roku, po jego śmierci.

Najczęstsze pytania

Co to jest linia środkowa trójkąta? Odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta. Jest równoległy do trzeciego boku i ma połowę jego długości.

Ile linii środkowych ma trójkąt? Trzy - po jednej dla każdej pary boków. Tworzą trójkąt środkowy o połowie obwodu i ćwierci pola wyjściowego trójkąta.

Czym różni się linia środkowa od środkowej trójkąta? Środkowa łączy wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku. Linia środkowa łączy środki dwóch boków. Trójkąt ma po trzy jedne i drugie, ale to zupełnie inne odcinki.

Jaką długość ma odcinek łączący środki boków trójkąta? Połowę długości trzeciego boku. Jeśli $|AB| = 14$ , to odcinek łączący środki boków $AC$ i $BC$ ma długość $7$ .

Jak obliczyć linię środkową trapezu? Jako średnią arytmetyczną podstaw: $\frac{a + b}{2}$ . Leży ona w połowie wysokości i jest równoległa do podstaw.

Czy twierdzenie odwrotne jest prawdziwe? Tak: prosta przechodząca przez środek jednego boku i równoległa do drugiego boku przechodzi przez środek trzeciego boku.

Podsumowanie

Odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta jest równoległy do trzeciego boku i ma połowę jego długości: $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ .
Trzy dowody: z podobieństwa (bok-kąt-bok w skali $\frac{1}{2}$ ), wektorowy i przez równoległobok.
Twierdzenie odwrotne: prosta przez środek boku, równoległa do drugiego boku, przechodzi przez środek trzeciego.
Linia środkowa trapezu ma długość $\frac{a + b}{2}$ ; środki boków dowolnego czworokąta tworzą równoległobok (Varignon).
Na sferze linia środkowa jest dłuższa od połowy boku, w geometrii hiperbolicznej krótsza - twierdzenie zależy od postulatu równoległości.
Więcej w lekcji kursu: podział trójkątów i odcinek łączący środki boków.