Prawa działań w zbiorze liczb rzeczywistych

Klasa 1 liceum i technikum

W zbiorze liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$ wykonujemy cztery działania: dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie. Rządzą nimi prawa, które pozwalają przekształcać wyrażenia, nie zmieniając ich wartości. Poniżej zakładamy, że $a, b, c$ są dowolnymi liczbami rzeczywistymi.

Przemienność

Wynik dodawania i mnożenia nie zależy od kolejności składników (czynników):

$a + b = b + a, \qquad a \cdot b = b \cdot a.$

Przemienność nie zachodzi dla odejmowania ani dzielenia, np. $5 - 3 \ne 3 - 5$.

Łączność

Przy dodawaniu (i przy mnożeniu) możemy dowolnie grupować składniki (czynniki):

$(a + b) + c = a + (b + c), \qquad (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c).$

Dzięki łączności i przemienności w długiej sumie lub iloczynie możemy zmieniać kolejność i grupowanie wyrazów, np. $17 + 48 + 3 = (17 + 3) + 48 = 68$.

Rozdzielność mnożenia względem dodawania

Mnożenie jest rozdzielne względem dodawania i odejmowania:

$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c, \qquad a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c.$

To prawo działa w obie strony - czytane od prawej do lewej pozwala wyłączyć wspólny czynnik przed nawias, np. $7 \cdot 23 + 7 \cdot 77 = 7 \cdot (23 + 77) = 7 \cdot 100 = 700$.

Elementy neutralne

• Zero jest elementem neutralnym dodawania - dodanie zera nie zmienia liczby: $a + 0 = a.$
• Jedynka jest elementem neutralnym mnożenia - pomnożenie przez jeden nie zmienia liczby: $a \cdot 1 = a.$

Mnożenie przez zero zawsze daje zero: $a \cdot 0 = 0$.

Liczba przeciwna i liczba odwrotna

Liczbą przeciwną do $a$ nazywamy liczbę $-a$, czyli taką, która w sumie z $a$ daje element neutralny dodawania:

$a + (-a) = 0.$

Odejmowanie definiujemy jako dodawanie liczby przeciwnej: $a - b = a + (-b)$.

Liczbą odwrotną do $a$ (gdzie $a \ne 0$) nazywamy liczbę $\dfrac{1}{a}$, czyli taką, która w iloczynie z $a$ daje element neutralny mnożenia:

$a \cdot \frac{1}{a} = 1.$

Liczba $0$ nie ma liczby odwrotnej - nie dzielimy przez zero. Dzielenie definiujemy jako mnożenie przez liczbę odwrotną: $a : b = a \cdot \dfrac{1}{b}$ dla $b \ne 0$.

Kolejność wykonywania działań

Gdy w wyrażeniu występuje kilka działań, wykonujemy je w ustalonej kolejności:

1. działania w nawiasach,
2. potęgowanie i pierwiastkowanie,
3. mnożenie i dzielenie (od lewej do prawej),
4. dodawanie i odejmowanie (od lewej do prawej).

Przykład

Obliczmy wartość wyrażenia $2 + 3 \cdot (4 - 1)^2$.

$2 + 3 \cdot (4 - 1)^2 = 2 + 3 \cdot 3^2 = 2 + 3 \cdot 9 = 2 + 27 = 29.$

Najpierw nawias ($4 - 1 = 3$), potem potęga ($3^2 = 9$), następnie mnożenie ($3 \cdot 9 = 27$), na końcu dodawanie.

Najczęstsze pytania

Czy odejmowanie i dzielenie są przemienne? Nie. $5 - 3 \ne 3 - 5$ oraz $8 : 2 \ne 2 : 8$. Przemienność i łączność dotyczą tylko dodawania i mnożenia - dlatego odejmowanie wygodnie traktować jako dodawanie liczby przeciwnej, a dzielenie jako mnożenie przez odwrotność.

Czy zero ma liczbę odwrotną? Nie. Nie istnieje liczba, która pomnożona przez zero da $1$ - dlatego dzielenie przez zero jest niewykonalne. Liczbę przeciwną zero ma: jest nią samo zero.

Po co właściwie rozdzielność mnożenia względem dodawania? To ona pozwala opuszczać nawiasy, wyłączać wspólny czynnik i wyprowadzać wzory skróconego mnożenia. Bez niej nie dałoby się przekształcać wyrażeń algebraicznych.

W jakiej kolejności wykonuje się działania? Najpierw nawiasy, potem potęgi i pierwiastki, następnie mnożenie i dzielenie, na końcu dodawanie i odejmowanie. Działania tego samego stopnia wykonujemy od lewej do prawej - w $12 : 3 \cdot 2$ wychodzi $8$, a nie $2$.