Trygonometria kąta ostrego - powtórzenie z klasy 1

Klasa 2 liceum i technikum

Funkcje trygonometryczne kąta ostrego to stosunki boków trójkąta prostokątnego: sinus to przyprostokątna naprzeciw kąta podzielona przez przeciwprostokątną, cosinus - przyprostokątna przy kącie podzielona przez przeciwprostokątną, tangens - przyprostokątna naprzeciw przez przyprostokątną przy kącie, a cotangens to odwrotność tangensa.

Ta lekcja to zwięzłe powtórzenie wiadomości z klasy 1, potrzebnych w całym dziale. Pełne omówienie z wyprowadzeniami i rysunkami jest na stronie trygonometria kąta ostrego, a zastosowania w trójkątach dowolnych - w lekcji rozwiązywanie trójkąta. Na końcu pokazujemy, dlaczego ta definicja przestaje wystarczać - i co ją zastąpi.

Co trzeba pamiętać z klasy 1

• Wartość funkcji trygonometrycznej zależy tylko od kąta, a nie od wielkości trójkąta - trójkąty prostokątne o tym samym kącie ostrym są podobne, więc stosunki boków się nie zmieniają.
• Przeciwprostokątna jest najdłuższym bokiem, dlatego dla kąta ostrego $0 < \sin\alpha < 1$ oraz $0 < \cos\alpha < 1$. Tangens może być dowolną liczbą dodatnią.
• Gdy kąt ostry rośnie, sinus i tangens rosną, a cosinus i cotangens maleją.
• Drugi kąt ostry trójkąta to $90^\circ - \alpha$; ma zamienione role przyprostokątnych, stąd $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha$.

Wartości dla kątów 30°, 45° i 60°

Prosty sposób zapamiętania: sinusy kątów $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$ to kolejno $\frac{\sqrt{1}}{2}$, $\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\frac{\sqrt{3}}{2}$, a cosinusy - te same liczby w odwrotnej kolejności. Wartości dla pozostałych kątów ostrych (co jeden stopień) są w tablicy wartości funkcji trygonometrycznych.

Przykład 1 - wartości z boków trójkąta

Zadanie. Przyprostokątne trójkąta mają długości $5$ i $12$. Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kąta $\alpha$ leżącego naprzeciw boku $5$.

Krok 1. Przeciwprostokątna z twierdzenia Pitagorasa:

$c = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13.$

Krok 2. Podstawiamy do definicji ($a = 5$ naprzeciw kąta, $b = 12$ przy kącie):

$\sin\alpha = \frac{5}{13}, \qquad \cos\alpha = \frac{12}{13}, \qquad \operatorname{tg}\alpha = \frac{5}{12}, \qquad \operatorname{ctg}\alpha = \frac{12}{5}.$

Sprawdzenie. $\left(\frac{5}{13}\right)^2 + \left(\frac{12}{13}\right)^2 = \frac{25 + 144}{169} = 1$ - jedynka trygonometryczna się zgadza.

Przykład 2 - cosinus i tangens z sinusa

Zadanie. Kąt $\alpha$ jest ostry i $\sin\alpha = \frac{2}{5}$. Oblicz $\cos\alpha$ i $\operatorname{tg}\alpha$.

Krok 1. Z jedynki trygonometrycznej:

$\cos^2\alpha = 1 - \frac{4}{25} = \frac{21}{25}, \qquad \cos\alpha = \frac{\sqrt{21}}{5}.$

Bierzemy pierwiastek dodatni, bo cosinus kąta ostrego jest dodatni.

Krok 2. Tangens jako iloraz:

$\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{\sqrt{21}} = \frac{2}{\sqrt{21}} = \frac{2\sqrt{21}}{21}.$

Odpowiedź. $\cos\alpha = \frac{\sqrt{21}}{5}$, $\operatorname{tg}\alpha = \frac{2\sqrt{21}}{21}$.

Przykład 3 - sinus i cosinus z tangensa

Zadanie. Kąt $\alpha$ jest ostry i $\operatorname{tg}\alpha = 3$. Oblicz $\sin\alpha$ i $\cos\alpha$.

Krok 1. Tangens to stosunek przyprostokątnych, więc wystarczy trójkąt o przyprostokątnych $a = 3$ (naprzeciw kąta) i $b = 1$ (przy kącie). Przeciwprostokątna: $c = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$.

Krok 2. Z definicji:

$\sin\alpha = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}, \qquad \cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}.$

Odpowiedź. $\sin\alpha = \frac{3\sqrt{10}}{10} \approx 0{,}949$, $\cos\alpha = \frac{\sqrt{10}}{10} \approx 0{,}316$.

Przykład 4 - wartość wyrażenia

Zadanie. Oblicz $\sin^2 60^\circ + \cos 60^\circ \cdot \operatorname{tg} 45^\circ$.

$\sin^2 60^\circ + \cos 60^\circ \cdot \operatorname{tg} 45^\circ = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} = \frac{5}{4}.$

Odpowiedź. $\frac{5}{4}$. Uwaga na zapis: $\sin^2 60^\circ$ oznacza $(\sin 60^\circ)^2$, a nie sinus kąta $3600^\circ$.

Przykład 5 - zadanie praktyczne

Zadanie. Drabinę o długości $6$ m oparto o ścianę tak, że tworzy z ziemią kąt $70^\circ$. Na jakiej wysokości drabina dotyka ściany?

Wysokość to przyprostokątna naprzeciw kąta $70^\circ$, a drabina - przeciwprostokątna, więc korzystamy z sinusa (z tablic $\sin 70^\circ \approx 0{,}9397$):

$h = 6 \cdot \sin 70^\circ \approx 6 \cdot 0{,}9397 \approx 5{,}64 \text{ m}.$

Odpowiedź. Około $5{,}64$ m.

Gdzie kończy się definicja w trójkącie

Definicja przez boki trójkąta prostokątnego ma wbudowane ograniczenie: kąt ostry trójkąta prostokątnego ma zawsze mniej niż $90^\circ$. Nie da się w ten sposób policzyć ani $\cos 120^\circ$, ani $\sin 90^\circ$, ani $\sin 200^\circ$ - takiego trójkąta po prostu nie ma.

A takie wartości są potrzebne. W twierdzeniu cosinusów dla trójkąta o bokach $3$, $5$, $7$ wychodzi

$\cos\gamma = \frac{3^2 + 5^2 - 7^2}{2 \cdot 3 \cdot 5} = \frac{-15}{30} = -\frac{1}{2},$

czyli kąt $\gamma = 120^\circ$ ma cosinus ujemny - a stosunek długości boków nigdy nie jest ujemny. Potrzebna jest więc definicja szersza, która dla kątów ostrych da te same liczby co dotąd.

Pomysł: przenieść kąt do układu współrzędnych. Ustawmy wierzchołek kąta $\alpha$ w początku układu, jedno ramię wzdłuż dodatniej półosi $OX$, a na drugim ramieniu weźmy punkt $P = (x, y)$. Rzut punktu $P$ na oś $OX$ tworzy trójkąt prostokątny, w którym:

• przyprostokątna przy kącie ma długość $x$,
• przyprostokątna naprzeciw kąta ma długość $y$,
• przeciwprostokątna to odległość punktu od początku układu, $r = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Wtedy dawne wzory przyjmują postać, w której nie ma już trójkąta:

$\sin\alpha = \frac{y}{r}, \qquad \cos\alpha = \frac{x}{r}, \qquad \operatorname{tg}\alpha = \frac{y}{x}.$

Dla punktu $P = (4, 3)$ mamy $r = 5$, $\sin\alpha = \frac{3}{5}$, $\cos\alpha = \frac{4}{5}$, $\operatorname{tg}\alpha = \frac{3}{4}$ - dokładnie to samo co w trójkącie o bokach $3$, $4$, $5$. Ale te wzory mają sens także wtedy, gdy punkt $P$ leży w drugiej, trzeciej czy czwartej ćwiartce, a wtedy $x$ lub $y$ mogą być ujemne. To jest treść następnej lekcji: sinus, cosinus, tangens i cotangens dowolnego kąta.

Najczęstsze pytania

Ile wynosi sin 60°?$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866$. Tyle samo wynosi $\cos 30^\circ$, bo $60^\circ$ i $30^\circ$ dopełniają się do $90^\circ$.

Ile wynosi tg 30°?$\operatorname{tg} 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}577$, czyli $\frac{1}{\sqrt{3}}$ po usunięciu niewymierności z mianownika.

Jak obliczyć cosinus, znając sinus kąta ostrego? Z jedynki trygonometrycznej: $\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha}$. Dla kąta ostrego bierzemy pierwiastek dodatni. Na przykład dla $\sin\alpha = \frac{2}{5}$ wychodzi $\cos\alpha = \frac{\sqrt{21}}{5}$.

Czy sinus może być większy od 1? Nie. Przyprostokątna jest krótsza od przeciwprostokątnej, więc dla kąta ostrego sinus i cosinus leżą między $0$ a $1$. Ta granica zostaje także dla dowolnych kątów: zawsze $-1 \leq \sin\alpha \leq 1$.

Co to jest cotangens? Odwrotność tangensa: $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{b}{a} = \frac{1}{\operatorname{tg}\alpha}$, czyli przyprostokątna przy kącie podzielona przez przyprostokątną naprzeciw kąta.

Jak obliczyć kąt, gdy znam tangens? Odczytać z tablicy wartości albo kalkulatorem (klawisz $\operatorname{tg}^{-1}$, czyli $\operatorname{arctg}$). Dla $\operatorname{tg}\alpha = 1$ kąt ma $45^\circ$, a dla $\operatorname{tg}\alpha = 3$ - około $71{,}57^\circ$.

Dlaczego nie da się policzyć cos 120° w trójkącie prostokątnym? Bo kąt ostry trójkąta prostokątnego ma mniej niż $90^\circ$. Kąty rozwarte i większe wymagają definicji przez współrzędne punktu - omawia ją następna lekcja.

Przećwicz

• Wartości funkcji z boków trójkąta → - sinus, cosinus i tangens z długości boków.
• Kąty 30°, 45° i 60° → - wartości wyrażeń i proste równania.
• Związki między funkcjami → - jedynka trygonometryczna i jedna funkcja dana, pozostałe do obliczenia.
• Zadania praktyczne → - drabina, cień, pochylnia, kąt wzniesienia.

Wszystkie zadania: trygonometria - zadania z rozwiązaniami.

Podsumowanie

• $\sin\alpha = \frac{a}{c}$, $\cos\alpha = \frac{b}{c}$, $\operatorname{tg}\alpha = \frac{a}{b}$, $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{b}{a}$ - stosunki boków trójkąta prostokątnego.
• $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$; cosinusy w odwrotnej kolejności.
• $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha$.
• Dla kąta ostrego wszystkie cztery funkcje są dodatnie, a sinus i cosinus leżą między $0$ a $1$.
• Definicja w trójkącie działa tylko dla kątów ostrych. Po przeniesieniu kąta do układu współrzędnych: $\sin\alpha = \frac{y}{r}$, $\cos\alpha = \frac{x}{r}$ - i to otwiera drogę do dowolnych kątów.