Równania wielomianowe - jak rozwiązywać, przykłady

Klasa 2 liceum i technikum

Równanie wielomianowe to równanie postaci $W(x) = 0$, w którym $W$ jest wielomianem stopnia co najmniej pierwszego, np. $x^3 - 4x^2 + x + 6 = 0$. Rozwiązujemy je, rozkładając wielomian na czynniki i przyrównując każdy czynnik do zera - dla stopni wyższych niż $2$ nie ma szkolnego wzoru takiego jak delta.

Całą „trudność” stanowi więc rozkład wielomianu na czynniki. Gdy go mamy, reszta to równania liniowe i kwadratowe.

Równania z wyłączaniem przed nawias

Przykład 1. Rozwiąż równanie $x^4 - 5x^3 + 6x^2 = 0$.

Krok 1. Wyłączamy $x^2$: $\ x^2(x^2 - 5x + 6) = 0$.

Krok 2. Rozkładamy trójmian: $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$, więc

$x^2 (x - 2)(x - 3) = 0.$

Krok 3. $x^2 = 0$ lub $x - 2 = 0$ lub $x - 3 = 0$.

Odpowiedź. $x \in \{0,\ 2,\ 3\}$. Liczba $0$ jest pierwiastkiem dwukrotnym, ale jako rozwiązanie równania wypisujemy ją raz.

Równania z grupowaniem wyrazów

Przykład 2. Rozwiąż równanie $2x^3 + 3x^2 - 8x - 12 = 0$.

$x^2(2x + 3) - 4(2x + 3) = 0$

$(2x + 3)(x^2 - 4) = 0$

$(2x + 3)(x - 2)(x + 2) = 0$

Odpowiedź. $x = -\frac{3}{2}$ lub $x = 2$ lub $x = -2$, czyli $x \in \left\{-2,\ -\frac{3}{2},\ 2\right\}$.

Takie równanie było zadaniem otwartym na maturze - zobacz rozwiązania z maja 2024 i maja 2023 (zadanie 9 w obu arkuszach).

Równania dwukwadratowe

Równanie $ax^4 + bx^2 + c = 0$ rozwiązujemy podstawieniem $t = x^2$ z warunkiem $t \geq 0$. Ten warunek jest kluczowy: kwadrat liczby rzeczywistej nie może być ujemny, więc ujemne rozwiązania „w $t$” odrzucamy.

Przykład 3. Rozwiąż równanie $x^4 - 3x^2 - 4 = 0$.

Krok 1. $t = x^2,\ t \geq 0$: $\ t^2 - 3t - 4 = 0$.

Krok 2. $\Delta = 9 + 16 = 25$, $\ t_1 = \frac{3 - 5}{2} = -1$, $\ t_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4$.

Krok 3. $t_1 = -1 < 0$ - odrzucamy. $t_2 = 4$, czyli $x^2 = 4$.

Odpowiedź. $x = -2$ lub $x = 2$.

Przykład 4. Rozwiąż równanie $x^4 + 3x^2 + 2 = 0$.

$t^2 + 3t + 2 = (t + 1)(t + 2) = 0$ daje $t = -1$ lub $t = -2$ - oba ujemne, oba odrzucamy.

Odpowiedź. Równanie nie ma rozwiązań. Widać to też od razu: dla każdego $x$ lewa strona jest sumą liczb nieujemnych i dwójki, czyli co najmniej $2$.

Podstawienie działa także dla bardziej złożonych wyrażeń, gdy to samo wyrażenie powtarza się w równaniu.

Przykład 5. Rozwiąż równanie $(x^2 - 2x)^2 - 2(x^2 - 2x) - 3 = 0$.

Krok 1. $t = x^2 - 2x$: $\ t^2 - 2t - 3 = (t - 3)(t + 1) = 0$, czyli $t = 3$ lub $t = -1$. Tym razem $t$ może być ujemne, bo $x^2 - 2x$ przyjmuje także wartości ujemne.

Krok 2. $x^2 - 2x = 3 \iff (x - 3)(x + 1) = 0 \iff x = 3$ lub $x = -1$.

Krok 3. $x^2 - 2x = -1 \iff (x - 1)^2 = 0 \iff x = 1$.

Odpowiedź. $x \in \{-1,\ 1,\ 3\}$.

Równania stopnia 3 i 4 z pierwiastkiem wymiernym

Gdy grupowanie i wzory nie pomagają, szukamy pierwiastka wśród kandydatów wymiernych i dzielimy schematem Hornera.

Przykład 6. Rozwiąż równanie $2x^3 - x^2 - 13x - 6 = 0$.

Krok 1. Kandydaci. $p \mid 6$, $q \mid 2$: $\ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{3}{2}$.

Krok 2. Sprawdzamy. $W(1) = 2 - 1 - 13 - 6 = -18$, $\ W(-1) = -2 - 1 + 13 - 6 = 4$, $\ W(-2) = -16 - 4 + 26 - 6 = 0$.

Krok 3. Horner dla $-2$:

Krok 4. $(x + 2)(2x^2 - 5x - 3) = 0$. Trójmian: $\Delta = 25 + 24 = 49$,

$x = \frac{5 - 7}{4} = -\frac{1}{2}, \qquad x = \frac{5 + 7}{4} = 3.$

Odpowiedź. $x \in \left\{-2,\ -\frac{1}{2},\ 3\right\}$.

Przykład 7. Rozwiąż równanie $x^4 - x^3 - 5x^2 + 3x + 2 = 0$.

Krok 1. Szybki test $W(1)$: suma współczynników $1 - 1 - 5 + 3 + 2 = 0$, więc $1$ jest pierwiastkiem. Horner:

Krok 2. Zostaje $x^3 - 5x - 2$. Kandydaci $\pm 1, \pm 2$: $\ 1 - 5 - 2 = -6$, $\ -1 + 5 - 2 = 2$, $\ 8 - 10 - 2 = -4$, $\ -8 + 10 - 2 = 0$. Pierwiastkiem jest $-2$:

Krok 3. Zostaje $x^2 - 2x - 1 = 0$: $\ \Delta = 4 + 4 = 8$, $\ \sqrt{\Delta} = 2\sqrt{2}$,

$x = \frac{2 - 2\sqrt{2}}{2} = 1 - \sqrt{2}, \qquad x = 1 + \sqrt{2}.$

Odpowiedź. $x \in \left\{-2,\ 1 - \sqrt{2},\ 1,\ 1 + \sqrt{2}\right\}$. Dwa rozwiązania są niewymierne - nie było ich na liście kandydatów, ale wyszły z trójmianu po dwóch dzieleniach.

Równania typu W(x) = V(x) - nie dziel przez x

Gdy po obu stronach stoją wielomiany, przenosimy wszystko na jedną stronę. Najczęstszy błąd to dzielenie obu stron przez wyrażenie z $x$ - takie dzielenie jest niedozwolone, gdy to wyrażenie może być zerem, i gubi rozwiązania.

Przykład 8. Rozwiąż równanie $x^2(x + 2) = 9(x + 2)$.

Źle: „dzielimy przez $(x + 2)$”: $x^2 = 9$, więc $x = \pm 3$. Zgubione zostało $x = -2$, dla którego obie strony są równe $0$.

Dobrze:

$x^2(x + 2) - 9(x + 2) = 0$

$(x + 2)(x^2 - 9) = 0$

$(x + 2)(x - 3)(x + 3) = 0$

Odpowiedź. $x \in \{-3,\ -2,\ 3\}$.

To samo dotyczy równania $x^3 = 4x$: po podzieleniu przez $x$ zostaje $x^2 = 4$ i znika rozwiązanie $x = 0$. Poprawnie: $x^3 - 4x = x(x - 2)(x + 2) = 0$, więc $x \in \{-2,\ 0,\ 2\}$.

Ile rozwiązań ma równanie wielomianowe

• Równanie stopnia $n$ ma najwyżej $n$ rozwiązań rzeczywistych - tyle, ile wynosi stopień.
• Równanie stopnia nieparzystego ma co najmniej jedno rozwiązanie: dla dużych $|x|$ wielomian ma po obu stronach przeciwne znaki, więc gdzieś musi przejść przez zero.
• Równanie stopnia parzystego może nie mieć rozwiązań (przykład 4).
• Każdy czynnik kwadratowy z $\Delta < 0$ „zabiera” dwa możliwe rozwiązania, a pierwiastek wielokrotny liczy się jako jedno rozwiązanie.

Pytania o liczbę rozwiązań zależną od parametru omawia lekcja o równaniach wielomianowych z parametrem, a zadania tekstowe - lekcja o zadaniach prowadzących do równań wielomianowych.

Typowe błędy

• Dzielenie przez $x$ lub przez nawias - gubi rozwiązania. Zawsze przenoś na jedną stronę i wyłączaj przed nawias.
• Rozwiązywanie „nierozłożonego” iloczynu z niezerem po prawej. Z $(x - 1)(x + 2) = 4$ nie wynika $x - 1 = 4$ ani $x + 2 = 4$. Reguła iloczynu działa tylko dla zera po prawej stronie.
• Zapomniane $t \geq 0$ przy podstawieniu $t = x^2$ - ujemne $t$ trzeba odrzucić.
• Zgubiony pierwiastek ujemny. $x^2 = 4$ daje $x = 2$ i $x = -2$.
• Powtarzanie rozwiązań. Pierwiastek dwukrotny wpisujemy do odpowiedzi raz.

Najczęstsze pytania

Jak rozwiązać równanie wielomianowe? Przenieś wszystkie wyrazy na jedną stronę, rozłóż wielomian na czynniki (wyłączanie przed nawias, grupowanie, wzory skróconego mnożenia, pierwiastek wymierny i schemat Hornera) i przyrównaj każdy czynnik do zera.

Jak rozwiązać równanie trzeciego stopnia? Spróbuj grupowania wyrazów. Jeśli nie wychodzi, sprawdź kandydatów na pierwiastek (dzielniki wyrazu wolnego, ewentualnie ułamki $\frac{p}{q}$), podziel schematem Hornera i rozwiąż otrzymane równanie kwadratowe.

Jak rozwiązać równanie czwartego stopnia? Jeśli ma tylko potęgi parzyste - podstawieniem $t = x^2$. W przeciwnym razie szukamy dwóch pierwiastków wymiernych i dwa razy dzielimy schematem Hornera, aż zostanie równanie kwadratowe.

Dlaczego nie wolno dzielić obu stron równania przez x? Bo $x$ może być równe zero, a przez zero dzielić nie wolno. Takie dzielenie po cichu wyrzuca rozwiązanie $x = 0$ (albo inne, przy dzieleniu przez nawias).

Ile rozwiązań może mieć równanie wielomianowe stopnia n? Od $0$ do $n$, a przy stopniu nieparzystym od $1$ do $n$.

Co zrobić, gdy równanie nie ma pierwiastków wymiernych? W zadaniach szkolnych to rzadkość - zwykle oznacza błąd rachunkowy albo to, że trzeba użyć grupowania lub podstawienia. Pierwiastki niewymierne pojawiają się zwykle w ostatnim kroku, z równania kwadratowego.

Czym się różni równanie wielomianowe od kwadratowego? Równanie kwadratowe to równanie wielomianowe stopnia $2$, które ma gotowy wzór (delta). Dla wyższych stopni sprowadzamy równanie rozkładem do kilku równań liniowych i kwadratowych.

Przećwicz

• Równania wielomianowe → - postać iloczynowa, grupowanie, równania dwukwadratowe, podstawienie, dwa dzielenia schematem Hornera i równanie zwrotne.
• Rozkład na czynniki → - trening pierwszego kroku każdego równania.
• Zadania tekstowe → - równania wielomianowe ukryte w treści zadania.

Podsumowanie

• Wszystko na jedną stronę, potem rozkład na czynniki i reguła „iloczyn równy zero”.
• Kolejność metod: wyłączanie przed nawias → grupowanie → wzory skróconego mnożenia → podstawienie → pierwiastek wymierny i schemat Hornera.
• Przy $t = x^2$ odrzucamy ujemne $t$.
• Nie dzielimy obu stron przez wyrażenie z niewiadomą - gubi to rozwiązania.
• Stopień $n$: najwyżej $n$ rozwiązań; stopień nieparzysty: co najmniej jedno.

Czytaj dalej

• Równania ze wzorów skróconego mnożenia → - równania z rozwiązaniami krok po kroku.
• Rozkład na czynniki → - trening pierwszego kroku każdego równania wielomianowego.
• Nierówności wielomianowe - te same rozkłady, ale z badaniem znaku.
• Równania prowadzące do równań kwadratowych - pierwsze spotkanie z podstawieniem $t = x^2$.
• Zestawienie twierdzeń: wielomiany - rozkład na czynniki, twierdzenie Bézouta, nierówności.