Funkcja liniowa. Wykres i miejsce zerowe funkcji liniowej

Klasa 1 liceum i technikum

Definicja funkcji liniowej

Funkcją liniową nazywamy funkcję określoną wzorem $f(x) = ax + b,$ gdzie $a$ i $b$ są ustalonymi liczbami rzeczywistymi. Liczbę $a$ nazywamy współczynnikiem kierunkowym, a liczbę $b$ - wyrazem wolnym.

Dziedziną funkcji liniowej jest cały zbiór liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$. Proporcjonalność prosta $y = ax$ to szczególny przypadek - funkcja liniowa z wyrazem wolnym $b = 0$.

Gdy $a = 0$, wzór upraszcza się do $f(x) = b$ - to funkcja stała (jej wykresem jest prosta pozioma). O tym, co dzieje się, gdy $a \ne 0$, decyduje znak współczynnika kierunkowego - temu poświęcimy osobną lekcję.

Wykresem jest prosta

Wykres każdej funkcji liniowej to linia prosta. To bardzo wygodne, bo prostą wyznaczają już dwa punkty - wystarczy policzyć wartości funkcji dla dwóch dowolnych argumentów, zaznaczyć oba punkty i poprowadzić przez nie prostą.

Dwie liczby ze wzoru mają jasną interpretację na wykresie:

• wyraz wolny $b$ to wartość funkcji dla $x = 0$, czyli $f(0) = b$. Wykres przecina oś $OY$ w punkcie $(0, b)$ - dlatego $b$ bywa nazywane „punktem startu” na osi pionowej;
• współczynnik kierunkowy $a$ decyduje o nachyleniu prostej (więcej w następnej lekcji).

Rysowanie wykresu krok po kroku

Przykład. Narysuj wykres funkcji $f(x) = \tfrac{1}{2}x + 1$.

Krok 1. Obliczamy wartości dla dwóch wygodnych argumentów. Wybierzmy $x = 0$ oraz $x = 2$:

$f(0) = \tfrac{1}{2}\cdot 0 + 1 = 1, \qquad f(2) = \tfrac{1}{2}\cdot 2 + 1 = 2.$

Krok 2. Zaznaczamy punkty $(0, 1)$ oraz $(2, 2)$ w układzie współrzędnych.

Krok 3. Prowadzimy przez nie prostą - to cały wykres. (Warto policzyć trzeci punkt jako kontrolę, np. $f(-2) = 0$ - jeśli leży na tej samej prostej, rachunki się zgadzają.)

Wypróbuj sam. W interaktywnym rysowniku funkcji liniowej wpiszesz dowolny wzór (np. y = ½x + 1), a narzędzie od razu narysuje wykres i opisze jego własności - miejsce zerowe, przecięcie z osią $OY$ i monotoniczność.

Miejsce zerowe funkcji liniowej

Miejsce zerowe to argument, dla którego $f(x) = 0$. Dla funkcji liniowej (przy $a \ne 0$) wyznaczamy je, rozwiązując proste równanie:

$ax + b = 0 \quad\Longrightarrow\quad ax = -b \quad\Longrightarrow\quad x = -\frac{b}{a}.$

Funkcja liniowa $f(x) = ax + b$ przy $a \ne 0$ ma dokładnie jedno miejsce zerowe: $x_0 = -\frac{b}{a}.$

Przykład. Wyznacz miejsce zerowe funkcji $f(x) = \tfrac{1}{2}x + 1$.

$\tfrac{1}{2}x + 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac{1}{2}x = -1 \quad\Longrightarrow\quad x = -2.$

Wykres przecina oś $OX$ w punkcie $(-2, 0)$ - zgadza się z rysunkiem wyżej.

A gdy a = 0?

Funkcja stała $f(x) = b$ (przy $b \ne 0$) nie ma miejsc zerowych - jej wykres to pozioma prosta, która nigdy nie dotyka osi $OX$. Wyjątkiem jest $f(x) = 0$ (czyli $a = 0$, $b = 0$): wtedy każda liczba jest miejscem zerowym, bo cały wykres leży na osi $OX$.

Najczęstsze pytania

Ile miejsc zerowych może mieć funkcja liniowa? Gdy $a \ne 0$ - dokładnie jedno, $x_0 = -\dfrac{b}{a}$. Gdy $a = 0$ i $b \ne 0$, prosta jest pozioma i nie przecina osi $OX$, więc miejsc zerowych nie ma wcale. Gdy $a = 0$ i $b = 0$, funkcja $f(x) = 0$ przyjmuje wartość zero dla każdego argumentu.

Czy każda prosta na płaszczyźnie jest wykresem funkcji liniowej? Nie. Prosta pionowa (np. $x = 3$) nie jest wykresem żadnej funkcji, bo jednemu argumentowi odpowiadałoby nieskończenie wiele wartości. Wykresem funkcji liniowej są wszystkie proste poza pionowymi.

Ile punktów wystarczy, żeby narysować wykres? Dwa - przez dwa różne punkty przechodzi dokładnie jedna prosta. Najwygodniej wziąć przecięcia z osiami: $(0, b)$ oraz $\left(-\tfrac{b}{a}, 0\right)$. Trzeci punkt warto policzyć jako kontrolę: jeśli nie leży na prostej, gdzieś jest błąd rachunkowy.

Czym różni się miejsce zerowe od punktu przecięcia z osią $OY$? Miejsce zerowe to argument, dla którego wartość funkcji wynosi zero - punkt $\left(-\tfrac{b}{a}, 0\right)$ na osi poziomej. Przecięcie z osią $OY$ to wartość funkcji dla argumentu zero, czyli punkt $(0, b)$.

Podsumowanie

• Funkcja liniowa: $f(x) = ax + b$; $a$ - współczynnik kierunkowy, $b$ - wyraz wolny.
• Wykresem jest prosta; wyznaczają ją dwa punkty. Przecina oś $OY$ w $(0, b)$.
• Miejsce zerowe (gdy $a \ne 0$): $x_0 = -\dfrac{b}{a}$ - dokładnie jedno.
• Gdy $a = 0$, mamy funkcję stałą $f(x) = b$ (prosta pozioma).