Funkcja logarytmiczna - definicja, dziedzina i własności

Klasa 1 liceum i technikum

Od logarytmu do funkcji logarytmicznej

Logarytm już znamy: $\log_a x$ to wykładnik, do którego trzeba podnieść podstawę $a$, aby otrzymać $x$. Na przykład $\log_2 8 = 3$, bo $2^3 = 8$.

Teraz - tak jak przy funkcji wykładniczej - ustalamy podstawę i traktujemy liczbę logarytmowaną jako zmienną. Funkcja logarytmiczna odpowiada na pytanie odwrotne niż wykładnicza:

• wykładnicza: „ile będzie po $x$ godzinach podwajania?” - $y = 2^x$;
• logarytmiczna: „po jakim czasie osiągniemy poziom $x$?” - $y = \log_2 x$.

Definicja

Funkcją logarytmiczną nazywamy funkcję określoną wzorem $f(x) = \log_a x,$ gdzie podstawa $a$ jest liczbą dodatnią różną od 1. Dziedziną jest przedział $(0, +\infty)$.

Warunki na podstawę są te same co przy funkcji wykładniczej (i nieprzypadkowo - to ta sama para liczb $a$, $x$ widziana z dwóch stron). Dziedzina wymaga komentarza: $\log_a x$ istnieje tylko dla $x > 0$, bo dodatnia podstawa podniesiona do dowolnej potęgi daje wynik dodatni - nie ma takiego wykładnika, który dałby zero ani liczbę ujemną.

Wykres funkcji logarytmicznej

Policzmy wartości $f(x) = \log_2 x$ (wybieramy argumenty będące potęgami dwójki):

$f\left(\tfrac{1}{4}\right) = -2, \quad f\left(\tfrac{1}{2}\right) = -1, \quad f(1) = 0, \quad f(2) = 1, \quad f(4) = 2, \quad f(8) = 3.$

Najważniejsze obserwacje:

• wykres istnieje tylko na prawo od osi $OY$ (dziedzina $x > 0$);
• przecina oś $OX$ w punkcie $(1, 0)$ - jedyne miejsce zerowe to $x = 1$;
• przy $x$ zbliżającym się do zera wykres „spada” nieograniczenie w dół wzdłuż osi $OY$ - oś $OY$ jest asymptotą pionową;
• funkcja rośnie na całej dziedzinie, ale coraz wolniej (od $x = 4$ do $x = 8$ przyrost to już tylko 1) - logarytm to bardzo „powolna” funkcja, odwrotność eksplozji wykładniczej.

Jak wykres zmienia się z podstawą (log₂, ln, log), jak go przesuwać i odbijać - krok po kroku na stronie wykres funkcji logarytmicznej.

Własności funkcji logarytmicznej

Dla $f(x) = \log_a x$ (przy $a > 0$, $a \ne 1$):

• dziedzina: $(0, +\infty)$; zbiór wartości: $\mathbb{R}$ (całe!);
• miejsce zerowe: $x = 1$, bo $\log_a 1 = 0$ dla każdej dozwolonej podstawy;
• wykres przechodzi też zawsze przez punkt $(a, 1)$, bo $\log_a a = 1$;
• monotoniczność: dla $a > 1$ funkcja rosnąca, dla $0 < a < 1$ - malejąca;
• asymptota pionowa: oś $OY$ (prosta $x = 0$);
• funkcja jest różnowartościowa: z $\log_a x_1 = \log_a x_2$ wynika $x_1 = x_2$.

Zobacz to na żywo. W rysowniku funkcji zmieniaj suwakiem podstawę $a$ i obserwuj wykres: dla $a > 1$ rośnie, dla $a < 1$ opada, a punkt $(1, 0)$ pozostaje na miejscu zawsze.

Funkcja logarytmiczna a wykładnicza

Funkcje $f(x) = a^x$ i $g(x) = \log_a x$ (o tej samej podstawie) są wzajemnie odwrotne - jedna „cofa” działanie drugiej:

$\log_a(a^x) = x \qquad \text{oraz} \qquad a^{\log_a x} = x.$

Widać to też w tabelkach wartości: punkt $(3, 8)$ należy do wykresu $y = 2^x$, a punkt $(8, 3)$ - do wykresu $y = \log_2 x$. Współrzędne zamieniają się miejscami, dlatego oba wykresy są swoimi lustrzanymi odbiciami względem prostej $y = x$. Zamieniają się też role dziedziny i zbioru wartości:

• wykładnicza: dziedzina $\mathbb{R}$, wartości $(0, +\infty)$;
• logarytmiczna: dziedzina $(0, +\infty)$, wartości $\mathbb{R}$.

Przykład 1 - wyznaczanie dziedziny

Zadanie. Wyznacz dziedzinę funkcji $f(x) = \log_3(2x - 6)$.

Rozwiązanie. Logarytmować można tylko liczby dodatnie, więc wyrażenie pod logarytmem musi spełniać:

$2x - 6 > 0 \quad\Longrightarrow\quad 2x > 6 \quad\Longrightarrow\quad x > 3.$

Odpowiedź: Dziedziną jest przedział $(3, +\infty)$.

Przykład 2 - porównywanie logarytmów

Zadanie. Nie obliczając wartości, porównaj $\log_2 5$ i $\log_2 9$.

Rozwiązanie. Obie liczby to wartości funkcji $f(x) = \log_2 x$ o podstawie $2 > 1$, czyli rosnącej. Większy argument daje większą wartość, a $5 < 9$, więc:

$\log_2 5 < \log_2 9.$

Odpowiedź: $\log_2 5 < \log_2 9$. (Dla podstawy z przedziału $(0, 1)$, np. $\log_{1/2}$, nierówność byłaby odwrotna - funkcja jest wtedy malejąca.)

Najczęstsze pytania

Dlaczego dziedziną funkcji logarytmicznej jest tylko (0, +∞)? Bo $\log_a x$ to wykładnik $y$ spełniający $a^y = x$, a potęga dodatniej podstawy jest zawsze dodatnia - dla $x \le 0$ taki wykładnik nie istnieje.

Jakie jest miejsce zerowe funkcji logarytmicznej? Zawsze $x = 1$, niezależnie od podstawy, bo $\log_a 1 = 0$ ($a^0 = 1$).

Jaki jest związek funkcji logarytmicznej z wykładniczą? Są to funkcje wzajemnie odwrotne (przy tej samej podstawie): $\log_a(a^x) = x$ oraz $a^{\log_a x} = x$. Ich wykresy są symetryczne względem prostej $y = x$.

Kiedy funkcja logarytmiczna maleje? Gdy podstawa jest ułamkiem z przedziału $(0, 1)$, np. $y = \log_{1/2} x$. Dla podstawy większej od 1 funkcja rośnie.

Przećwicz

• Funkcja logarytmiczna → - dziedzina, obliczanie logarytmów i proste równania.

Podsumowanie

• Funkcja logarytmiczna: $f(x) = \log_a x$, gdzie $a > 0$, $a \ne 1$; dziedzina $(0, +\infty)$, zbiór wartości $\mathbb{R}$.
• Miejsce zerowe: $x = 1$; wykres przechodzi też przez $(a, 1)$; asymptota pionowa: oś $OY$.
• $a > 1$ - rosnąca; $0 < a < 1$ - malejąca. Jest różnowartościowa.
• To funkcja odwrotna do wykładniczej: $\log_a(a^x) = x$, $a^{\log_a x} = x$; wykresy są symetryczne względem prostej $y = x$.