Twierdzenie Pitagorasa. Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa

Q: Czym różni się twierdzenie odwrotne od „zwykłego"?

Zwykłe: z kąta prostego wynika równość a²+b²=c². Odwrotne: z równości boków wynika kąt prosty. Razem dają pełną równoważność - trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy, gdy a² + b² = c².

Klasa 1 liceum i technikum

Twierdzenie Pitagorasa - co warto zapamiętać

W trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych $a$ , $b$ i przeciwprostokątnej $c$ :

$a^2 + b^2 = c^2$

Twierdzenie odwrotne: jeżeli boki trójkąta spełniają $a^2 + b^2 = c^2$ , to trójkąt jest prostokątny (kąt prosty naprzeciw boku $c$ ).

Porównanie $c^2$ z $a^2 + b^2$ klasyfikuje trójkąt: $<$ ostrokątny, $=$ prostokątny, $>$ rozwartokątny.

Twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasa. Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to kwadrat długości przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów długości przyprostokątnych: $a^2 + b^2 = c^2.$

Twierdzenie ma piękną interpretację geometryczną: pola kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych sumują się do pola kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej.

Trójkąt prostokątny o bokach 3, 4, 5. Kwadrat na przeciwprostokątnej (25 kratek) składa się dokładnie z 9 kratek „pomarańczowego" kwadratu 3×3 i 16 kratek „niebieskiego" kwadratu 4×4: 9 + 16 = 25, czyli a² + b² = c².

Ważne: twierdzenie dotyczy tylko trójkątów prostokątnych, a $c$ to zawsze przeciwprostokątna - najdłuższy bok, leżący naprzeciw kąta prostego.

Przykład 1 - obliczanie przeciwprostokątnej

Zadanie. Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości $6$ i $8$ . Oblicz przeciwprostokątną.

$c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \quad\Longrightarrow\quad c = \sqrt{100} = 10.$

Odpowiedź: $c = 10$ . (Długość jest dodatnia, więc z dwóch rozwiązań równania $c^2 = 100$ bierzemy $c = 10$ .)

Przykład 2 - obliczanie przyprostokątnej

Zadanie. Przeciwprostokątna ma długość $13$ , a jedna z przyprostokątnych $5$ . Oblicz drugą przyprostokątną.

Krok 1. Z twierdzenia Pitagorasa: $5^2 + b^2 = 13^2$ .

Krok 2. Przekształcamy: $b^2 = 169 - 25 = 144$ , więc $b = 12$ .

Odpowiedź: $b = 12$ . Zwróć uwagę na kierunek działania: szukając przyprostokątnej, odejmujemy kwadraty; szukając przeciwprostokątnej - dodajemy.

Przykład 3 - wynik z pierwiastkiem

Zadanie. Oblicz długość przekątnej kwadratu o boku $4$ .

Przekątna dzieli kwadrat na dwa trójkąty prostokątne o przyprostokątnych $4$ i $4$ :

$d^2 = 4^2 + 4^2 = 32 \quad\Longrightarrow\quad d = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}.$

Odpowiedź: $d = 4\sqrt{2}$ (przydaje się wyłączanie czynnika przed pierwiastek). Ogólnie: przekątna kwadratu o boku $a$ to $a\sqrt{2}$ .

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasa działa „od kąta do boków”. Prawdziwe jest też twierdzenie w drugą stronę:

Twierdzenie odwrotne. Jeżeli boki trójkąta spełniają równość $a^2 + b^2 = c^2$ , to trójkąt jest prostokątny, a kąt prosty leży naprzeciw boku $c$ .

To narzędzie do sprawdzania prostokątności bez mierzenia kątów.

Przykład 4. Czy trójkąt o bokach $5$ , $12$ , $13$ jest prostokątny?

Najdłuższy bok: $13$ . Sprawdzamy: $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$ . Tak - jest prostokątny. (Trójki liczb naturalnych spełniających tę równość, jak $3,4,5$ czy $5,12,13$ , nazywamy trójkami pitagorejskimi.)

Przykład 5. Czy trójkąt o bokach $4$ , $5$ , $6$ jest prostokątny?

$4^2 + 5^2 = 41 \ne 36 = 6^2$ . Nie jest prostokątny.

Porównanie obu stron mówi nawet więcej - klasyfikuje trójkąt względem kątów (kąt naprzeciw najdłuższego boku $c$ ):

$c^2 < a^2 + b^2$ - trójkąt ostrokątny;
$c^2 = a^2 + b^2$ - trójkąt prostokątny;
$c^2 > a^2 + b^2$ - trójkąt rozwartokątny.

W przykładzie 5: $36 < 41$ , więc trójkąt $4, 5, 6$ jest ostrokątny. A trójkąt $4, 5, 7$ ? $49 > 41$ - rozwartokątny. Dokładnie tego testu używa nasz kalkulator trójkąta.

Przykład 6 - zastosowanie praktyczne

Zadanie. Drabina o długości $5$ m opiera się o ścianę, a jej podstawa stoi $1{,}4$ m od ściany. Na jaką wysokość sięga drabina?

$h^2 = 5^2 - 1{,}4^2 = 25 - 1{,}96 = 23{,}04 \quad\Longrightarrow\quad h = \sqrt{23{,}04} = 4{,}8.$

Odpowiedź: Drabina sięga na wysokość $4{,}8$ m.

Najczęstsze pytania

Kiedy wolno stosować twierdzenie Pitagorasa? Tylko w trójkącie prostokątnym. Dla innych trójkątów równość $a^2 + b^2 = c^2$ po prostu nie zachodzi (jest ostra nierówność w jedną lub drugą stronę).

Który bok to c we wzorze? Przeciwprostokątna - najdłuższy bok, naprzeciw kąta prostego. Najczęstszy błąd to podstawienie za $c$ jednej z przyprostokątnych.

Czym różni się twierdzenie odwrotne od „zwykłego”? Zwykłe: z kąta prostego wynika równość $a^2+b^2=c^2$ . Odwrotne: z równości boków wynika kąt prosty. Razem dają pełną równoważność - trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy, gdy $a^2 + b^2 = c^2$ .

Jak rozpoznać trójkąt rozwartokątny po bokach? Porównaj kwadrat najdłuższego boku z sumą kwadratów pozostałych: jeśli jest większy - trójkąt jest rozwartokątny.

Przećwicz

Twierdzenie Pitagorasa → - boki trójkąta, twierdzenie odwrotne i zadania praktyczne.

Podsumowanie

Twierdzenie Pitagorasa (trójkąt prostokątny): $a^2 + b^2 = c^2$ ; interpretacja - pola kwadratów na bokach.
Szukasz przeciwprostokątnej - dodajesz kwadraty; przyprostokątnej - odejmujesz.
Twierdzenie odwrotne: równość $a^2 + b^2 = c^2$ dowodzi kąta prostego; trójki pitagorejskie: $3,4,5$ ; $5,12,13$ ; $8,15,17$ …
Test kątów po bokach: $c^2$ kontra $a^2 + b^2$ ( $<$ ostrokątny, $=$ prostokątny, $>$ rozwartokątny).