Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym

Klasa 1 liceum i technikum

Skąd bierze się wykładnik ujemny

Do tej pory wykładnik był liczbą naturalną. Co miałoby jednak znaczyć $a^{-3}$? Chcemy, żeby prawa działań na potęgach obowiązywały dalej. Przypomnijmy regułę dzielenia potęg o tej samej podstawie: $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

Podstawmy $m = 0$. Z jednej strony $a^{0-n} = a^{-n}$, z drugiej $\dfrac{a^0}{a^n} = \dfrac{1}{a^n}$ (bo $a^0 = 1$). Skoro obie strony mają być równe, musi być:

$a^{-n} = \frac{1}{a^n} \qquad (a \ne 0).$

To właśnie definicja potęgi o wykładniku całkowitym ujemnym. W szczególności $a^{-1} = \dfrac{1}{a}$ - potęga $-1$ to po prostu odwrotność liczby.

Przykłady

$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}, \qquad 10^{-2} = \frac{1}{100} = 0{,}01, \qquad 5^{-1} = \frac{1}{5}.$

Dla ułamka odwrócenie podstawy zamienia znak wykładnika:

$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n}.$

Na przykład $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^{2} = \dfrac{9}{4}.$

Prawa potęg dla wykładników całkowitych

Najważniejsze: po wprowadzeniu wykładników ujemnych wszystkie poznane prawa działań na potęgach (mnożenie, dzielenie, potęga potęgi, potęga iloczynu i ilorazu) obowiązują teraz dla dowolnych wykładników całkowitych - dodatnich, ujemnych i zera. Na przykład:

$2^5 \cdot 2^{-3} = 2^{5 + (-3)} = 2^2 = 4, \qquad \frac{3^{-2}}{3^{-4}} = 3^{-2 - (-4)} = 3^{2} = 9.$

Dzięki temu rachunki z potęgami ujemnymi prowadzimy tak samo jak z naturalnymi - wystarczy uważać na znaki wykładników.

Najczęstsze pytania

Czy ujemny wykładnik oznacza ujemny wynik? Nie. Ujemny wykładnik oznacza odwrotność, a nie zmianę znaku: $2^{-3} = \tfrac{1}{8}$ - liczba dodatnia. Wynik będzie ujemny tylko wtedy, gdy ujemna jest podstawa (przy nieparzystym wykładniku), np. $(-2)^{-3} = -\tfrac{1}{8}$.

Czym różni się $-2^{-2}$ od $(-2)^{-2}$? W pierwszym zapisie potęgujemy tylko dwójkę, a minus zostaje przed wynikiem: $-2^{-2} = -\tfrac{1}{4}$. W drugim potęgujemy całą liczbę $-2$, a parzysty wykładnik daje wynik dodatni: $(-2)^{-2} = \tfrac{1}{4}$.

Jak podnieść ułamek do potęgi ujemnej? Najprościej odwrócić ułamek i zmienić znak wykładnika: $\left(\tfrac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\tfrac{3}{2}\right)^{2} = \tfrac{9}{4}$.

Do czego służy notacja wykładnicza z ujemnym wykładnikiem? Do zapisywania bardzo małych liczb: $0{,}00034 = 3{,}4 \cdot 10^{-4}$. Wykładnik mówi, o ile miejsc przesuwamy przecinek w lewo - stąd jej powszechność w fizyce i chemii.

Przećwicz

Potęgi o wykładniku ujemnym najlepiej utrwalić na zadaniach. Zobaczmy typowy przykład krok po kroku.

Zadanie. Oblicz $\left(\tfrac{3}{5}\right)^{-3}$.

Krok 1. Potęga ułamka o wykładniku ujemnym - odwracamy ułamek i zmieniamy znak wykładnika: $\left(\tfrac{3}{5}\right)^{-3} = \left(\tfrac{5}{3}\right)^{3}$.

Krok 2. Podnosimy do potęgi:

$\left(\tfrac{5}{3}\right)^{3} = \frac{5^3}{3^3} = \frac{125}{27}.$

Odpowiedź. $\left(\tfrac{3}{5}\right)^{-3} = \dfrac{125}{27}.$

Chcesz więcej? Zadania z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku, pogrupowane według rodzaju:

• Obliczanie potęg o wykładniku ujemnym → - liczby, ułamki, dziesiętne i pułapki ze znakiem.
• Obliczanie z praw działań → - sprowadzanie do wspólnej podstawy (np. $3^{-3}\cdot(\tfrac{1}{9})^{-3}$).
• Notacja wykładnicza małych liczb → - zapis $a \cdot 10^{-n}$.
• Wyrażenia algebraiczne z wykładnikiem ujemnym → - upraszczanie do jednej potęgi ($x \ne 0$).
• Wartość wyrażenia → - podstawianie danych liczb.

Albo zobacz wszystkie zadania z potęg o wykładniku ujemnym →.