Równania logarytmiczne - jak rozwiązywać, metody krok po kroku

Klasa 4 liceum i technikum

Równanie logarytmiczne to równanie, w którym niewiadoma występuje pod znakiem logarytmu (albo w jego podstawie), np. $\log_3(x^2 - 8x) = 2$. Rozwiązuje się je, sprowadzając do równania bez logarytmu - z definicji logarytmu albo z różnowartościowości funkcji logarytmicznej - i na koniec odrzucając pierwiastki spoza dziedziny.

Pierwsze proste równania z logarytmem pojawiły się już w klasie pierwszej, w lekcji definicja logarytmu. Tutaj zbieramy wszystkie metody, które pojawiają się na maturze rozszerzonej i w klasie czwartej.

Krok zerowy: dziedzina równania

Każdy logarytm w równaniu stawia warunki: liczba logarytmowana $> 0$, a jeśli w podstawie jest niewiadoma - podstawa $> 0$ i $\ne 1$. Dziedzina to część wspólna wszystkich warunków. Przekształcenia logarytmów (zwłaszcza „zwijanie” sumy w iloczyn) potrafią rozszerzyć dziedzinę, dlatego warunki wypisuje się dla równania w postaci wyjściowej.

Metoda 1: z definicji logarytmu

Gdy po jednej stronie jest jeden logarytm, a po drugiej liczba, zamieniamy logarytm na potęgę.

Przykład 1. Rozwiąż $\log_3(x^2 - 8x) = 2$.

Krok 1. Dziedzina. $x^2 - 8x > 0$, czyli $x(x - 8) > 0$: $x < 0$ lub $x > 8$.

Krok 2. Definicja. $x^2 - 8x = 3^2 = 9$, czyli $x^2 - 8x - 9 = 0$, $(x - 9)(x + 1) = 0$.

Krok 3. $x = 9$ i $x = -1$ - oba należą do dziedziny (sprawdzenie: $81 - 72 = 9$ i $1 + 8 = 9$).

Odpowiedź. $x = -1$ lub $x = 9$. Przy metodzie z definicji liczba logarytmowana wychodzi równa $a^b > 0$, więc warunek dodatniości spełnia się sam - ale tylko dla tego jednego logarytmu.

Metoda 2: porównanie logarytmów o tej samej podstawie

Przykład 2. Rozwiąż $\log_2(x + 3) + \log_2(x - 1) = \log_2(x + 9)$.

Krok 1. Dziedzina. $x + 3 > 0$, $x - 1 > 0$, $x + 9 > 0$, czyli $x > 1$.

Krok 2. Lewa strona jako jeden logarytm. $\log_2\big((x + 3)(x - 1)\big) = \log_2(x + 9)$.

Krok 3. Różnowartościowość. $(x + 3)(x - 1) = x + 9$, czyli $x^2 + 2x - 3 = x + 9$, $x^2 + x - 12 = 0$, $(x + 4)(x - 3) = 0$.

Krok 4. $x = -4$ odpada (dla niego $\log_2(x - 1)$ nie istnieje), zostaje $x = 3$. Sprawdzenie: $\log_2 6 + \log_2 2 = \log_2 12$.

Odpowiedź. $x = 3$.

Zauważ, że równanie z kroku 2 ma szerszą dziedzinę niż wyjściowe (wystarczy, żeby iloczyn był dodatni) - stąd „fałszywy” pierwiastek $x = -4$. Dlatego dziedzinę liczymy z równania wyjściowego.

Metoda 3: prawa logarytmów - uwaga na potęgę parzystą

Prawo $\log_a x^2 = 2\log_a x$ obowiązuje tylko dla $x > 0$. Użyte bezmyślnie gubi rozwiązania ujemne.

Przykład 3. Rozwiąż $\log_3 x^2 = 4$.

Krok 1. Dziedzina. $x^2 > 0$, czyli $x \ne 0$ - liczby ujemne też są dozwolone.

Krok 2. Definicja. $x^2 = 3^4 = 81$, więc $x = 9$ lub $x = -9$.

Odpowiedź. $x = -9$ lub $x = 9$. Gdybyśmy zaczęli od $2\log_3 x = 4$, wyszłoby tylko $x = 9$. Poprawne przekształcenie to $\log_3 x^2 = 2\log_3 |x|$.

Metoda 4: logarytmy o różnych podstawach

Sprowadzamy wszystkie logarytmy do jednej podstawy wzorem $\log_{a^n} x = \frac{1}{n}\log_a x$ (albo ogólnym wzorem na zamianę podstawy).

Przykład 4. Rozwiąż $\log_2 x + \log_4 x + \log_{16} x = 7$.

Krok 1. Dziedzina. $x > 0$.

Krok 2. Wspólna podstawa 2. $\log_4 x = \frac{1}{2}\log_2 x$, $\log_{16} x = \frac{1}{4}\log_2 x$:

$\log_2 x + \tfrac{1}{2}\log_2 x + \tfrac{1}{4}\log_2 x = 7 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac{7}{4}\log_2 x = 7 \quad\Longrightarrow\quad \log_2 x = 4.$

Odpowiedź. $x = 2^4 = 16$.

Metoda 5: podstawienie

Gdy ten sam logarytm pojawia się w kwadracie i w pierwszej potędze, oznaczamy go nową niewiadomą.

Przykład 5. Rozwiąż $\log_3^2 x + \log_3 x - 6 = 0$ (zapis $\log_3^2 x$ oznacza $(\log_3 x)^2$).

Krok 1. Dziedzina. $x > 0$.

Krok 2. Podstawienie $t = \log_3 x$ ($t$ - dowolna liczba rzeczywista): $t^2 + t - 6 = 0$, $(t + 3)(t - 2) = 0$, więc $t = -3$ lub $t = 2$.

Krok 3. Powrót do $x$. $\log_3 x = -3 \Rightarrow x = \frac{1}{27}$; $\log_3 x = 2 \Rightarrow x = 9$.

Odpowiedź. $x = \frac{1}{27}$ lub $x = 9$.

Metoda 6: równanie wykładnicze rozwiązywane logarytmem

Gdy niewiadoma stoi w wykładniku, a obu stron nie da się zapisać jako potęg tej samej podstawy, logarytmujemy obie strony.

Przykład 6. Rozwiąż $7^x = 20$. Z definicji logarytmu $x = \log_7 20 = \dfrac{\log 20}{\log 7} \approx 1{,}540$.

Przykład 7. Rozwiąż $3^{x + 1} = 2^{2x}$.

Krok 1. Logarytm dziesiętny obu stron (obie są dodatnie): $(x + 1)\log 3 = 2x \log 2$.

Krok 2. Równanie liniowe. $x \log 3 + \log 3 = x \log 4$, więc $x(\log 4 - \log 3) = \log 3$:

$x = \frac{\log 3}{\log 4 - \log 3} = \frac{\log 3}{\log \frac{4}{3}} \approx 3{,}819.$

Odpowiedź. $x = \log_{4/3} 3 \approx 3{,}819$. To równanie wraca w lekcji o zastosowaniach logarytmu, gdzie niewiadomą w wykładniku jest czas.

Metoda graficzna i argument z monotoniczności

Równania typu $\log_2 x = 3 - x$ nie da się rozwiązać algebraicznie. Pomaga rysunek i zgadnięcie rozwiązania: $x = 2$, bo $\log_2 2 = 1 = 3 - 2$.

Skąd wiadomo, że innych rozwiązań nie ma? Lewa strona jest funkcją rosnącą, prawa - malejącą, więc ich wykresy mogą się przeciąć co najwyżej raz. Ten argument jest pełnoprawnym uzasadnieniem w zadaniach z „wykaż” i na maturze.

Typowe błędy

• Brak dziedziny - „rozwiązanie” $x = -4$ w przykładzie 2.
• $\log_a x^2 = 2\log_a x$ bez założenia $x > 0$ - zgubione rozwiązanie ujemne.
• „Skracanie” logarytmu: z $\log(x + 1) = \log x + \log 2$ nie wynika $x + 1 = x + 2$. Najpierw prawą stronę zwijamy w $\log 2x$, dopiero potem porównujemy: $x + 1 = 2x$, $x = 1$.
• Niewiadoma w podstawie bez warunku $\ne 1$. W równaniu $\log_x \ldots$ trzeba odrzucić $x = 1$ i $x \le 0$.

Najczęstsze pytania

Jak rozwiązywać równania logarytmiczne? Wyznacz dziedzinę, sprowadź równanie do postaci $\log_a f(x) = b$ albo $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ (prawa logarytmów, wspólna podstawa, podstawienie), opuść logarytm z definicji lub z różnowartościowości i sprawdź, które rozwiązania należą do dziedziny.

Dlaczego trzeba sprawdzać dziedzinę w równaniach logarytmicznych? Bo prawa logarytmów zastosowane do równania potrafią poszerzyć jego dziedzinę, a wtedy pojawiają się rozwiązania, dla których wyjściowe logarytmy nie istnieją.

Jak rozwiązać równanie, gdy logarytmy mają różne podstawy? Sprowadź je do jednej podstawy: $\log_{a^n} x = \frac{1}{n}\log_a x$ albo $\log_a x = \frac{\log_c x}{\log_c a}$. Na przykład $\log_4 x = \frac{1}{2}\log_2 x$.

Jak rozwiązać równanie 7^x = 20? Zlogarytmuj obie strony: $x = \log_7 20 = \frac{\log 20}{\log 7} \approx 1{,}540$.

Ile rozwiązań może mieć równanie logarytmiczne? Dowolnie wiele - zero, jedno, dwa (jak w przykładach 1 i 3) albo więcej. Liczba rozwiązań zależy od równania algebraicznego, do którego je sprowadzamy, i od dziedziny.

Przećwicz

• Równania logarytmiczne - zadania → - 16 równań: z definicji, z sumą i różnicą logarytmów, o różnych podstawach, z podstawieniem (także $t + \frac{1}{t}$), z logarytmowaniem stronami, wykładnicze rozwiązywane logarytmem i z niewiadomą w podstawie - zawsze z dziedziną.
• Cały zestaw: logarytmy - zadania →

Podsumowanie

• Najpierw dziedzina (z równania wyjściowego), na końcu kontrola rozwiązań.
• Z definicji: $\log_a f(x) = b \iff f(x) = a^b$.
• Z różnowartościowości: $\log_a f(x) = \log_a g(x) \iff f(x) = g(x)$ przy $f, g > 0$.
• Różne podstawy - sprowadzamy do jednej; kwadrat logarytmu - podstawienie $t = \log_a x$.
• Niewiadoma w wykładniku - logarytmujemy obie strony: $a^x = b \iff x = \log_a b$.
• Dalej: nierówności logarytmiczne.