Nierówność między średnimi (AM-GM)

Q: Jak jej używać w dowodach „wykaż, że"?

Najczęściej trzeba rozbić wyrażenie na sumę składników o stałym iloczynie (albo iloczyn o stałej sumie) - wtedy nierówność natychmiast daje oszacowanie, a warunek równości wskazuje, kiedy jest ono osiągane.

Nierówność między średnimi

Dla liczb nieujemnych $a, b$ :

$\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab},$

a ogólnie dla $a_1, \ldots, a_n \geq 0$ :

$\frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}.$

Równość zachodzi dokładnie wtedy, gdy wszystkie liczby są równe.

Co mówi nierówność

Średnia arytmetyczna nigdy nie jest mniejsza od geometrycznej. Dla dwóch liczb $4$ i $9$ :

$\frac{4 + 9}{2} = 6{,}5, \qquad \sqrt{4 \cdot 9} = 6.$

Im bardziej liczby się od siebie różnią, tym większa przepaść między średnimi. Dla $1$ i $100$ średnia arytmetyczna wynosi $50{,}5$ , a geometryczna zaledwie $10$ . Gdy liczby są równe, obie średnie się pokrywają - i to jest jedyny taki przypadek.

Pełny ciąg nierówności między czterema klasycznymi średnimi wygląda tak:

$\underbrace{\frac{2}{\tfrac{1}{a} + \tfrac{1}{b}}}_{\text{harmoniczna}} \leq \underbrace{\sqrt{ab}}_{\text{geometryczna}} \leq \underbrace{\frac{a+b}{2}}_{\text{arytmetyczna}} \leq \underbrace{\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}}_{\text{kwadratowa}}.$

Dowód dla dwóch liczb

Pokaż dowódUkryj dowód

Krok 1. Zaczynamy od czegoś oczywistego. Kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny:

$\left(\sqrt{a} - \sqrt{b}\right)^2 \geq 0.$

Krok 2. Wymnażamy.

$a - 2\sqrt{ab} + b \geq 0.$

Krok 3. Przenosimy i dzielimy przez dwa.

$a + b \geq 2\sqrt{ab} \quad\Longrightarrow\quad \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}.$

Krok 4. Kiedy równość. Równość w kroku 1 zachodzi tylko dla $\sqrt{a} = \sqrt{b}$ , czyli $a = b$ . $\blacksquare$

Cały dowód opiera się więc na jednym fakcie: kwadrat nie bywa ujemny. To najczęstszy chwyt w dowodzeniu nierówności - warto go zapamiętać.

Dowód geometryczny

Pokaż dowódUkryj dowód

Półokrąg o średnicy a + b: promień to średnia arytmetyczna, a wysokość poprowadzona z punktu podziału - średnia geometryczna. Wysokość nigdy nie przekracza promienia.

Krok 1. Budujemy figurę. Na odcinku o długości $a + b$ zaznaczamy punkt dzielący go na części $a$ i $b$ , po czym kreślimy półokrąg o tej średnicy.

Krok 2. Promień to średnia arytmetyczna. Skoro średnica ma długość $a + b$ , promień wynosi $\tfrac{a+b}{2}$ .

Krok 3. Wysokość to średnia geometryczna. Trójkąt wpisany w półokrąg z bokiem na średnicy jest prostokątny (twierdzenie Talesa o kącie wpisanym), a wysokość opuszczona na przeciwprostokątną spełnia $h^2 = a \cdot b$ - to zależność z dowodu Pitagorasa przez podobieństwo. Zatem $h = \sqrt{ab}$ .

Krok 4. Wniosek widać na rysunku. Odcinek $h$ jest cięciwą prostopadłą do średnicy, więc nigdy nie przekracza promienia:

$\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2},$

a równość zachodzi dokładnie wtedy, gdy punkt podziału trafia w środek okręgu, czyli gdy $a = b$ . $\blacksquare$

Wersja ogólna - dla n liczb

Dowód dla dowolnej liczby składników podał Cauchy w 1821 roku, używając nietypowej indukcji „w przód i w tył”.

Krok 1. Podwajanie. Jeśli nierówność zachodzi dla $n$ liczb, to zachodzi też dla $2n$ - wystarczy pogrupować je w pary i zastosować przypadek dwóch liczb, a potem założenie indukcyjne. Stąd nierówność jest prawdziwa dla $n = 2, 4, 8, 16, \ldots$

Krok 2. Schodzenie w dół. Jeśli nierówność zachodzi dla $n$ liczb, to zachodzi też dla $n - 1$ . Bierzemy liczby $a_1, \ldots, a_{n-1}$ i jako $n$ -tą dokładamy ich średnią arytmetyczną. Po uproszczeniu otrzymujemy tezę dla $n - 1$ liczb.

Krok 3. Wniosek. Skoro nierówność zachodzi dla dowolnie dużych potęg dwójki i „schodzi” o jeden w dół, zachodzi dla każdego $n$ . $\blacksquare$

Zastosowanie: optymalizacja bez pochodnych

To główny powód, dla którego warto znać tę nierówność - pozwala rozwiązywać zadania optymalizacyjne bez rachunku różniczkowego.

Przykład 1. Znajdź najmniejszą wartość $x + \tfrac{1}{x}$ dla $x > 0$ .

$x + \frac{1}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 2,$

a równość zachodzi dla $x = \tfrac{1}{x}$ , czyli $x = 1$ . Odpowiedź: wartość najmniejsza to $2$ .

Przykład 2. Prostokąt o obwodzie $40$ - kiedy ma największe pole?

Boki $a$ i $b$ spełniają $a + b = 20$ , a pole wynosi $ab$ . Z nierówności:

$\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2} = 10 \quad\Longrightarrow\quad ab \leq 100.$

Największe pole to $100$ , osiągane dla $a = b = 10$ - kwadrat. Ten sam argument tłumaczy, dlaczego ze wszystkich prostokątów o danym obwodzie kwadrat ma największe pole.

Przykład 3. Puszka o pojemności $1$ litra - kiedy zużyjemy najmniej blachy?

Dla walca o promieniu $r$ i wysokości $h$ pole powierzchni to $2\pi r^2 + 2\pi rh$ . Zapisując je jako sumę trzech składników i stosując nierówność dla $n = 3$ , otrzymujemy minimum przy $h = 2r$ - czyli gdy wysokość równa się średnicy. Producenci puszek odchodzą od tej proporcji tylko dlatego, że liczy się jeszcze wytrzymałość i wygoda chwytu.

Kto i kiedy

Trzy klasyczne średnie - arytmetyczną, geometryczną i harmoniczną - rozróżniali już pitagorejczycy, wiążąc je z teorią muzyki: stosunki długości strun dla oktawy, kwinty i kwarty dają dokładnie te proporcje.

Nierówność w przypadku dwóch liczb znał Euklides (w wersji geometrycznej, jak na rysunku wyżej). Ogólny dowód dla $n$ liczb podał Augustin-Louis Cauchy w Cours d’Analyse (1821), przy okazji wymyślając indukcję „w przód i w tył” - schemat dowodu, który sam w sobie wszedł do kanonu.

Najczęstsze pytania

Kiedy zachodzi równość? Dokładnie wtedy, gdy wszystkie liczby są równe. To bardzo praktyczna informacja - w zadaniach optymalizacyjnych od razu wskazuje punkt, w którym osiągane jest minimum lub maksimum.

Czy nierówność działa dla liczb ujemnych? Nie. Wymagamy nieujemności, bo inaczej pierwiastek geometryczny może nie istnieć albo nierówność przestaje być prawdziwa - dla $a = -4$ , $b = -9$ średnia arytmetyczna wynosi $-6{,}5$ , a wyrażenie $\sqrt{ab} = 6$ .

Jak zapamiętać, która średnia jest większa? Alfabetycznie po polsku i po angielsku wychodzi ten sam porządek rosnący: harmoniczna, geometryczna, arytmetyczna, kwadratowa. Pomaga też przykład skrajny: dla $1$ i $100$ średnia geometryczna to $10$ , a arytmetyczna aż $50{,}5$ .

Czy to jest w programie szkoły średniej? Nierówność dla dwóch liczb - tak, na poziomie rozszerzonym; bywa też w zadaniach maturalnych typu „wykaż, że”. Wersja ogólna to już materiał olimpijski.

Jak jej używać w dowodach „wykaż, że”? Najczęściej trzeba rozbić wyrażenie na sumę składników o stałym iloczynie (albo iloczyn o stałej sumie) - wtedy nierówność natychmiast daje oszacowanie, a warunek równości wskazuje, kiedy jest ono osiągane.

Podsumowanie

$\tfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$ , a ogólnie średnia arytmetyczna $n$ liczb nie jest mniejsza od ich średniej geometrycznej.
Dowód dla dwóch liczb to jedna linijka: $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \geq 0$ .
Geometrycznie: promień półokręgu (średnia arytmetyczna) nigdy nie jest krótszy od wysokości wpisanego trójkąta (średnia geometryczna).
Równość tylko dla równych liczb - stąd bierze się rozwiązanie wielu zadań optymalizacyjnych.
Pozwala znajdować minima i maksima bez pochodnych: najmniejsza wartość $x + \tfrac{1}{x}$ , największe pole przy danym obwodzie, najmniejsze zużycie blachy na puszkę.