Wielokąt. Wielokąt foremny. Suma kątów w wielokącie

Klasa 1 liceum i technikum

Co to jest wielokąt?

Wielokątem nazywamy figurę ograniczoną łamaną zamkniętą (wraz z tą łamaną), której odcinki nie przecinają się wzajemnie. Odcinki łamanej to boki wielokąta, a ich końce - wierzchołki.

Wielokąt o $n$ bokach nazywamy krótko $n$-kątem ($n \ge 3$): trójkąt, czworokąt, pięciokąt… Odcinek łączący dwa wierzchołki, który nie jest bokiem, to przekątna.

Ile przekątnych ma $n$-kąt? Z każdego z $n$ wierzchołków wychodzą przekątne do wszystkich wierzchołków oprócz niego samego i dwóch sąsiadów - czyli $n - 3$ przekątne. Iloczyn $n(n-3)$ liczy jednak każdą przekątną dwukrotnie (raz z każdego końca), więc:

$\text{liczba przekątnych} = \frac{n(n-3)}{2}.$

Np. pięciokąt ma $\tfrac{5 \cdot 2}{2} = 5$ przekątnych, a dziesięciokąt $\tfrac{10 \cdot 7}{2} = 35$.

Suma kątów wewnętrznych wielokąta

Sumę kątów trójkąta już znamy: $180^\circ$. Dla większych wielokątów wystarczy jeden pomysł: pociąć wielokąt na trójkąty przekątnymi wychodzącymi z jednego wierzchołka.

Z wierzchołka $n$-kąta wychodzą $n - 3$ przekątne i dzielą go na $n - 2$ trójkąty. Kąty tych trójkątów składają się dokładnie na kąty wielokąta, więc:

Suma miar kątów wewnętrznych $n$-kąta wynosi $(n - 2) \cdot 180^\circ$.

Sprawdzenie dla znanych figur: trójkąt $(3-2) \cdot 180^\circ = 180^\circ$ ✓, czworokąt $(4-2) \cdot 180^\circ = 360^\circ$ ✓ (dlatego kąty prostokąta to cztery kąty proste).

Przykład 1. Oblicz sumę kątów wewnętrznych ośmiokąta.

$(8 - 2) \cdot 180^\circ = 6 \cdot 180^\circ = 1080^\circ.$

Przykład 2. Suma kątów pewnego wielokąta wynosi $1440^\circ$. Ile ma boków?

$(n - 2) \cdot 180^\circ = 1440^\circ \quad\Longrightarrow\quad n - 2 = 8 \quad\Longrightarrow\quad n = 10.$

Odpowiedź: To dziesięciokąt.

Wielokąt foremny

Wielokątem foremnym nazywamy wielokąt, który ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty wewnętrzne równe.

Przykłady: trójkąt równoboczny (3 boki), kwadrat (4), pięciokąt foremny (5), sześciokąt foremny (6 - znany z plastrów miodu). Oba warunki są potrzebne: romb ma równe boki, ale różne kąty; prostokąt - równe kąty, ale różne boki. Żaden z nich (poza kwadratem) nie jest foremny.

Skoro wszystkie kąty $n$-kąta foremnego są równe, a ich suma to $(n-2) \cdot 180^\circ$, to:

Kąt wewnętrzny $n$-kąta foremnego ma miarę $\dfrac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$.

Przykład 3. Kąt wewnętrzny sześciokąta foremnego:

$\frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = \frac{720^\circ}{6} = 120^\circ.$

Przykład 4. Kąt wewnętrzny wielokąta foremnego ma miarę $144^\circ$. Ile boków ma ten wielokąt?

Krok 1. Układamy równanie: $\dfrac{(n-2) \cdot 180}{n} = 144$.

Krok 2. Mnożymy obustronnie przez $n$: $\ 180n - 360 = 144n$.

Krok 3. Stąd $36n = 360$, czyli $n = 10$.

Odpowiedź: To dziesięciokąt foremny. (Sprawdzenie: suma kątów $1440^\circ$, podzielona przez 10 daje $144^\circ$ ✓.)

Inna droga w takich zadaniach: kąt zewnętrzny wielokąta foremnego ma miarę $180^\circ - 144^\circ = 36^\circ$, a kąty zewnętrzne każdego wielokąta sumują się do $360^\circ$ - stąd $n = 360^\circ : 36^\circ = 10$.

Najczęstsze pytania

Skąd się bierze wzór (n-2)·180°? Z podziału wielokąta przekątnymi z jednego wierzchołka na $n - 2$ trójkąty; suma kątów każdego trójkąta to $180^\circ$.

Jaka jest różnica między wielokątem foremnym a zwykłym? Foremny ma jednocześnie wszystkie boki równe i wszystkie kąty równe. Sam warunek boków (romb) albo sam warunek kątów (prostokąt) nie wystarcza.

Ile wynosi suma kątów zewnętrznych wielokąta? Zawsze $360^\circ$ - niezależnie od liczby boków. To wygodny skrót w zadaniach o wielokątach foremnych: kąt zewnętrzny $n$-kąta foremnego to $\tfrac{360^\circ}{n}$.

Przećwicz

• Wielokąty → - suma kątów, kąt wielokąta foremnego i liczba przekątnych.

Podsumowanie

• Wielokąt: figura ograniczona łamaną zamkniętą; przekątnych jest $\tfrac{n(n-3)}{2}$.
• Suma kątów wewnętrznych: $(n-2) \cdot 180^\circ$ (podział na trójkąty).
• Wielokąt foremny: równe boki i równe kąty; kąt wewnętrzny: $\tfrac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$, kąt zewnętrzny: $\tfrac{360^\circ}{n}$.