Odczytywanie własności funkcji na podstawie jej wykresu

Q: Od czego zacząć, gdy zadanie każe „opisać własności funkcji"?

Od dziedziny i zbioru wartości - to ramy, w których dzieje się wszystko inne. Potem miejsca zerowe, znak funkcji, przedziały monotoniczności, na końcu wartość najmniejsza i największa. Ta kolejność sprawia, że żadna własność się nie zgubi.

Q: Kiedy odczytuję z osi poziomej, a kiedy z pionowej?

Wszystko, co jest argumentem (dziedzina, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, argumenty ekstremów), czytamy z osi OX. Wszystko, co jest wartością (zbiór wartości, wartość najmniejsza i największa), czytamy z osi OY.

Q: Czy końce przedziałów mają być domknięte, czy otwarte?

Kółko pełne na wykresie oznacza, że punkt należy do wykresu - koniec domknięty. Kółko puste oznacza, że nie należy - koniec otwarty. Przy przedziałach monotoniczności punkty zwrotu zwyczajowo dołączamy.

Q: Jak podać znak funkcji?

Podajemy argumenty, dla których wykres leży nad osią (f(x) > 0) i pod osią (f(x) < 0). Zwykle wychodzi suma kilku przedziałów - ich końcami są miejsca zerowe.

Klasa 1 liceum i technikum

To lekcja, w której wszystko się spina. Wykres funkcji to skarbnica informacji - jeśli opanujesz pojęcia z poprzednich lekcji, z jednego rysunku odczytasz komplet własności. Takie zadania pojawiają się na maturze niemal co roku.

Co odczytujemy z wykresu

Z wykresu funkcji potrafimy odczytać między innymi:

dziedzinę - zakres argumentów na osi poziomej $OX$ , nad którymi „coś jest” narysowane;
zbiór wartości - zakres wysokości na osi pionowej $OY$ , które wykres osiąga;
miejsca zerowe - odcięte punktów przecięcia z osią $OX$ ;
znak funkcji - gdzie wykres jest nad osią ( $f(x) > 0$ ), a gdzie pod osią ( $f(x) < 0$ );
przedziały monotoniczności - gdzie wykres rośnie, a gdzie maleje;
wartość najmniejszą i największą - wysokość najniższego i najwyższego punktu.

Przejdźmy to wszystko na jednym konkretnym przykładzie.

Przykładowy wykres

Wykres funkcji f określonej na przedziale ⟨-4; 5⟩. Pełne kropki na osi OX to miejsca zerowe; punkt na wysokości 4 to wartość największa, a punkty na wysokości -2 to wartość najmniejsza.

Krok po kroku

Dziedzina. Wykres rozciąga się od $x = -4$ do $x = 5$ (oba końce zaznaczone), więc

$D_f = \langle -4;\ 5 \rangle.$

Zbiór wartości. Najniższy punkt leży na wysokości $-2$ , najwyższy na wysokości $4$ , a wykres wypełnia wszystkie wysokości między nimi:

$ZW_f = \langle -2;\ 4 \rangle.$

Miejsca zerowe. Wykres przecina oś $OX$ w trzech punktach (zaznaczone kropki). Odczytujemy ich odcięte:

$x = -3, \qquad x = 1, \qquad x = 4.$

Znak funkcji. Patrzymy, gdzie wykres jest nad osią, a gdzie pod nią:

$f(x) > 0$ (wykres nad osią) dla $x \in (-3;\ 1) \cup (4;\ 5\rangle$ ,
$f(x) < 0$ (wykres pod osią) dla $x \in \langle -4;\ -3) \cup (1;\ 4)$ .

(W miejscach zerowych $-3$ , $1$ , $4$ wartość jest równa zeru - ani dodatnia, ani ujemna.)

Monotoniczność. Czytamy wykres od lewej do prawej (w górę = rośnie, w dół = maleje):

funkcja rośnie w przedziałach $\langle -4;\ -1 \rangle$ oraz $\langle 2;\ 5 \rangle$ ,
funkcja maleje w przedziale $\langle -1;\ 2 \rangle$ .

Wartość największa i najmniejsza.

wartość największa wynosi $4$ i jest przyjmowana dla $x = -1$ ;
wartość najmniejsza wynosi $-2$ i jest przyjmowana dla $x = -4$ oraz $x = 2$ .

Jak się nie pomylić

Miejsce zerowe to argument (liczba z osi $OX$ ), a nie punkt - piszemy $x = 1$ , nie $(1, 0)$ , gdy pytają o miejsce zerowe.
Zbiór wartości czytamy z osi pionowej $OY$ , a dziedzinę z poziomej $OX$ - nie myl osi.
Przy przedziałach monotoniczności końce zwykle dopisujemy do obu sąsiednich przedziałów (w punkcie zwrotnym funkcja „kończy” jedno zachowanie i „zaczyna” drugie).
Wartość największa/najmniejsza to liczba (wysokość), a podajemy jeszcze, dla jakiego argumentu jest przyjmowana.

Najczęstsze pytania

Od czego zacząć, gdy zadanie każe „opisać własności funkcji”? Od dziedziny i zbioru wartości - to ramy, w których dzieje się wszystko inne. Potem miejsca zerowe, znak funkcji, przedziały monotoniczności, na końcu wartość najmniejsza i największa. Ta kolejność sprawia, że żadna własność się nie zgubi.

Kiedy odczytuję z osi poziomej, a kiedy z pionowej? Wszystko, co jest argumentem (dziedzina, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, argumenty ekstremów), czytamy z osi $OX$ . Wszystko, co jest wartością (zbiór wartości, wartość najmniejsza i największa), czytamy z osi $OY$ .

Czy końce przedziałów mają być domknięte, czy otwarte? Kółko pełne na wykresie oznacza, że punkt należy do wykresu - koniec domknięty. Kółko puste oznacza, że nie należy - koniec otwarty. Przy przedziałach monotoniczności punkty zwrotu zwyczajowo dołączamy.

Jak podać znak funkcji? Podajemy argumenty, dla których wykres leży nad osią ( $f(x) > 0$ ) i pod osią ( $f(x) < 0$ ). Zwykle wychodzi suma kilku przedziałów - ich końcami są miejsca zerowe.

Przećwicz

Odczytywanie własności z wykresu → - monotoniczność, znak funkcji i liczba rozwiązań równania.

Podsumowanie

Z wykresu odczytasz: dziedzinę (oś $OX$ ), zbiór wartości (oś $OY$ ), miejsca zerowe (przecięcia z osią $OX$ ), znak (nad/pod osią), monotoniczność (w górę/w dół) oraz wartość najmniejszą i największą (najniższy i najwyższy punkt). To podsumowanie całego działu - warto wracać do tego schematu przy każdym zadaniu z wykresem.