Twierdzenie Abela-Ruffiniego

Co dokładnie mówi twierdzenie

Dla równania kwadratowego mamy wzór znany ze szkoły:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.$

Dla stopnia trzeciego i czwartego takie wzory też istnieją - są tylko potwornie długie. Naturalne jest pytanie o stopień piąty. Twierdzenie Abela-Ruffiniego mówi, że poszukiwania są bezcelowe: takiego wzoru nie ma.

Kluczowe jest sformułowanie „przez pierwiastniki”, czyli za pomocą czterech działań arytmetycznych i pierwiastków dowolnego stopnia. To nie jest twierdzenie o naszej niewiedzy - to dowód nieistnienia.

Czego twierdzenie NIE mówi

To jedno z najczęściej przekręcanych twierdzeń, więc warto od razu wyjaśnić:

• Nie mówi, że równania stopnia 5 nie mają rozwiązań. Mają - i to dokładnie pięć (licząc z krotnościami) w liczbach zespolonych. Gwarantuje to zasadnicze twierdzenie algebry.
• Nie mówi, że konkretnych równań nie da się rozwiązać. Równanie $x^5 - 32 = 0$ ma pierwiastek $x = 2$, a $x^5 - 5x^4 + 5x^3 + 5x^2 - 6x = 0$ rozkłada się na czynniki. Chodzi o brak jednego wzoru dla wszystkich równań danego stopnia.
• Nie mówi, że pierwiastków nie można policzyć. Metody numeryczne (Newtona, Bairstowa, Aberth-Ehrlicha) wyznaczają je z dowolną dokładnością - używa ich każdy program obliczeniowy.
• Nie mówi, że żaden wzór nie istnieje. Istnieje - tylko nie „przez pierwiastniki”. Charles Hermite pokazał w 1858 roku, że równanie piątego stopnia można rozwiązać za pomocą funkcji eliptycznych.

Idea dowodu

Pełny dowód wymaga teorii Galois, czyli aparatu z algebry uniwersyteckiej. Jego pomysł da się jednak opowiedzieć w pięciu krokach - i jest to jedna z najpiękniejszych idei w matematyce.

Krok 1. Pierwiastki można przestawiać. Weźmy równanie o pierwiastkach $x_1, \ldots, x_n$. Współczynniki wielomianu są symetryczne względem pierwiastków - to wzory Viète’a:

$x_1 + x_2 + \ldots + x_n = -\frac{a_{n-1}}{a_n}, \qquad x_1 x_2 \cdots x_n = (-1)^n \frac{a_0}{a_n}.$

Zamiana pierwiastków miejscami niczego w nich nie zmienia. Wielomian „nie wie”, który pierwiastek jest który.

Krok 2. Grupa Galois mierzy tę symetrię. Tym permutacjom pierwiastków, które zachowują wszystkie zależności algebraiczne między nimi, odpowiada pewna grupa - grupa Galois równania. Dla „typowego” równania stopnia $n$ jest nią cała grupa permutacji $S_n$.

Krok 3. Wzór przez pierwiastniki zostawia ślad w grupie. Każde dołożenie pierwiastka $\sqrt[k]{\ \cdot\ }$ rozbija grupę na mniejszą, w ściśle określony sposób (rozszerzenie o pierwiastek odpowiada podgrupie normalnej z przemiennym ilorazem). Jeśli pierwiastki równania da się zapisać wzorem przez pierwiastniki, to grupę Galois można rozłożyć na łańcuch takich kroków. Taką grupę nazywamy rozwiązalną.

Krok 4. Sprawdzamy grupy dla małych stopni. Grupy $S_2$, $S_3$ i $S_4$ są rozwiązalne - i to dokładnie dlatego istnieją wzory dla stopni $2$, $3$ i $4$. Grupa $S_5$ nie jest rozwiązalna: zawiera podgrupę $A_5$ (permutacje parzyste), która jest prosta i nieprzemienna - nie da się jej rozbić na mniejsze kawałki.

Krok 5. Wniosek. Skoro istnieją równania stopnia piątego o grupie Galois równej $S_5$, a $S_5$ nie jest rozwiązalna, to ich pierwiastków nie da się zapisać przez pierwiastniki. Ogólnego wzoru nie ma. $\blacksquare$

Konkretny przykład takiego równania:

$x^5 - 6x + 3 = 0.$

Jest nierozkładalne nad liczbami wymiernymi (kryterium Eisensteina dla $p = 3$) i ma dokładnie trzy pierwiastki rzeczywiste, a dwa zespolone - z tych dwóch faktów wynika, że jego grupą Galois jest $S_5$. Pierwiastki tego równania istnieją, ale żadnego z nich nie da się zapisać skończonym wyrażeniem z pierwiastkami.

Historia - trzy stulecia i dwie tragedie

Starożytność i średniowiecze. Wzór na równanie kwadratowe w postaci algorytmu znali już Babilończycy; systematycznie opisał go w IX wieku al-Chwarizmi.

XVI wiek - dramat włoski. Wzór na równanie trzeciego stopnia odkrył około 1515 roku Scipione del Ferro, ale go nie ogłosił. Niezależnie znalazł go Niccolò Tartaglia, który zdradził metodę Gerolamo Cardano pod przysięgą milczenia. Cardano opublikował ją mimo to w Ars Magna (1545), dodając wzór na stopień czwarty odkryty przez swojego ucznia Ludovico Ferrariego. Skończyło się publiczną awanturą i pojedynkiem matematycznym.

Dwa i pół wieku prób. Po Cardanie wszyscy szukali wzoru dla stopnia piątego - Euler, Lagrange, Bézout, Vandermonde. Lagrange w 1770 roku zauważył, że metody działające dla stopni $2$-$4$ dla piątego prowadzą do równania wyższego stopnia, i pierwszy podejrzewał, że problem jest nierozwiązywalny.

Ruffini (1799). Paolo Ruffini opublikował pięćsetstronicowy dowód. Nikt go nie przeczytał do końca, a w rozumowaniu była luka, której sam nie potrafił usunąć.

Abel (1824). Norweg Niels Henrik Abel, mając $22$ lata, podał pierwszy poprawny dowód - w broszurze, którą wydał na własny koszt i skrócił do sześciu stron, bo nie starczyło mu pieniędzy na druk. Żył w skrajnej biedzie, nie dostał posady na żadnym uniwersytecie i zmarł na gruźlicę w wieku $26$ lat. List z nominacją profesorską z Berlina dotarł dwa dni po jego śmierci.

Galois (1832). Évariste Galois poszedł dalej: nie tylko pokazał, że wzoru nie ma, ale i dlaczego - podając kryterium rozstrzygające, które równania da się rozwiązać przez pierwiastniki. Miał $20$ lat, gdy zginął w pojedynku. Noc przed nim spędził na spisywaniu swoich wyników; rękopis, wielokrotnie odrzucany wcześniej przez Akademię, zrozumiano dopiero $14$ lat później. Dziś teoria Galois jest fundamentem współczesnej algebry.

Krewni tego twierdzenia

Ta sama maszyneria - badanie, jakich liczb da się „dosięgnąć” dozwolonymi operacjami - rozstrzyga inne słynne problemy, przez stulecia uważane za otwarte:

• trisekcja kąta cyrklem i linijką - niemożliwa (Wantzel, 1837);
• podwojenie sześcianu - niemożliwe (ten sam wynik);
• kwadratura koła - niemożliwa, bo $\pi$ jest liczbą przestępną (Lindemann, 1882);
• konstrukcja siedmiokąta foremnego - niemożliwa, choć siedemnastokąt już tak, co pokazał Gauss w wieku $19$ lat.

Wszystkie te dowody mówią to samo co Abel-Ruffini: pewnych rzeczy nie da się zrobić określonym zestawem narzędzi - i to jest twierdzenie, a nie brak pomysłu.

Po co to komu

• Praktyka rachunkowa. Twierdzenie tłumaczy, dlaczego w szkole uczysz się wzoru tylko dla stopnia drugiego, a wyżej stosuje się rozkład na czynniki, twierdzenie o pierwiastkach wymiernych albo metody numeryczne.
• Algebra i kryptografia. Teoria Galois, która wyrosła z tego problemu, jest dziś podstawą teorii ciał skończonych - a te stoją za kodami korekcyjnymi (płyty CD, QR, transmisja satelitarna) i kryptografią na krzywych eliptycznych.
• Kultura matematyczna. To wzorcowy przykład dowodu niemożliwości: zamiast szukać rozwiązania, dowodzimy, że go nie ma. Tak samo działają twierdzenia Gödla i nierozstrzygalność problemu stopu.

Najczęstsze pytania

Czy równanie stopnia 5 ma rozwiązania? Tak, dokładnie pięć w liczbach zespolonych (z krotnościami) - to zasadnicze twierdzenie algebry. Twierdzenie Abela-Ruffiniego mówi tylko, że nie da się ich zapisać ogólnym wzorem z pierwiastkami.

Czy to znaczy, że komputer też ich nie policzy? Nie. Metody numeryczne wyznaczają pierwiastki z dowolną dokładnością. Brak wzoru „przez pierwiastniki” to ograniczenie zapisu, nie obliczeń.

Dlaczego dla stopnia 4 wzór jeszcze istnieje, a dla 5 już nie? Bo grupy $S_2, S_3, S_4$ są rozwiązalne, a $S_5$ nie - zawiera prostą, nieprzemienną podgrupę $A_5$. Granica przebiega dokładnie tam, gdzie kończy się rozwiązalność grup permutacji.

Czy istnieją równania stopnia 5 rozwiązalne przez pierwiastniki? Oczywiście, i to wiele - np. $x^5 - 32 = 0$ albo każde równanie dwumienne $x^5 = a$. Twierdzenie dotyczy ogólnego wzoru, a nie poszczególnych przypadków. Kryterium Galois pozwala rozstrzygnąć, które równanie należy do której grupy.

Kto właściwie udowodnił to twierdzenie - Ruffini czy Abel? Ruffini jako pierwszy (1799) opublikował dowód, ale z luką. Pierwszy kompletny dowód podał Abel (1824) - stąd podwójna nazwa. Pełne wyjaśnienie zjawiska zawdzięczamy Galois.

Podsumowanie

• Dla stopnia $n \geq 5$ nie istnieje ogólny wzór na pierwiastki przez pierwiastniki.
• Rozwiązania istnieją (zasadnicze twierdzenie algebry) i da się je policzyć numerycznie - brak dotyczy wyłącznie zapisu wzorem.
• Powód: rozwiązalność przez pierwiastniki odpowiada rozwiązalności grupy Galois, a grupa $S_5$ rozwiązalna nie jest.
• Przykład równania bez wzoru: $x^5 - 6x + 3 = 0$.
• Historia: Cardano i Ferrari (stopnie 3 i 4), Ruffini (dowód z luką), Abel (dowód poprawny), Galois (wyjaśnienie, dlaczego tak jest).