Odległość między liczbami na osi liczbowej

Q: Czy |a - b| i |b - a| to to samo?

Tak. Wyrażenia a - b i b - a są liczbami przeciwnymi, a moduł usuwa znak, więc wyniki są identyczne. Dlatego mówimy po prostu „odległość między a i b".

Q: Jak zapisać odległość od liczby ujemnej?

Podstawiamy ją do wzoru razem ze znakiem: odległość od -2 to |x - (-2)| = |x + 2|. Plus w module oznacza więc odległość od liczby ujemnej.

Q: Czy odległość może wyjść ujemna?

Nie - moduł jest nieujemny. Jeśli w zadaniu wychodzi ujemna odległość, gdzieś jest błąd rachunkowy.

Q: Kiedy odległość wynosi zero?

Tylko wtedy, gdy liczby są równe: |a - b| = 0 ⇔ a = b.

Q: Po co ta interpretacja, skoro można liczyć z definicji?

Bo dzięki niej większość równań i nierówności z modułem rozwiązuje się „patrząc na oś", bez rozbijania na przypadki - pokazuje to następna lekcja.

Klasa 2 liceum i technikum

Odległość na osi liczbowej

$d(a, b) = |a - b| = |b - a|$

Odległość nie zależy od kolejności liczb i zawsze jest nieujemna. Wynosi zero dokładnie wtedy, gdy $a = b$ .

Skąd bierze się wzór

Odległość dwóch punktów na osi to długość odcinka między nimi. Gdybyśmy zawsze wiedzieli, która liczba jest większa, wystarczyłoby odjąć mniejszą od większej. Zwykle jednak tego nie wiemy - i tu wkracza moduł, który usuwa znak różnicy:

$d(a, b) = |a - b|.$

Dzięki temu jeden wzór działa niezależnie od kolejności i znaków liczb.

Odległość liczb −2 i 5 wynosi |−2 − 5| = |−7| = 7 - tyle samo co |5 − (−2)| = |7| = 7.

Przykłady

$d(3,\ 8) = |3 - 8| = |-5| = 5, \qquad d(-2,\ 5) = |-2 - 5| = |-7| = 7,$

$d(-9,\ -4) = |-9 - (-4)| = |-5| = 5, \qquad d(6,\ 6) = |6 - 6| = 0.$

Zwróć uwagę na trzeci przykład: przy odejmowaniu liczby ujemnej zmieniamy znak, czyli dodajemy. To najczęstsze miejsce pomyłek.

Odległość od zera to zwykły moduł

Podstawiając $b = 0$ , dostajemy

$d(a,\ 0) = |a - 0| = |a|.$

Zwykła wartość bezwzględna jest więc szczególnym przypadkiem odległości - tym, w którym drugą liczbą jest zero. To spina obie interpretacje z poprzedniej lekcji w jedno.

Zapisywanie warunków słownych

Umiejętność tłumaczenia zdań na wzory z modułem przyda się w każdej kolejnej lekcji:

„liczba $x$ jest oddalona od $3$ o $5$ ” $\Rightarrow$ $|x - 3| = 5$ ;
„liczba $x$ jest oddalona od $-2$ o mniej niż $4$ ” $\Rightarrow$ $|x + 2| < 4$ ;
„liczba $x$ jest oddalona od $1$ o co najmniej $6$ ” $\Rightarrow$ $|x - 1| \ge 6$ ;
„liczby $x$ i $y$ są oddalone o $2$ ” $\Rightarrow$ $|x - y| = 2$ .

Zwróć uwagę na drugi przykład: odległość od $-2$ zapisujemy jako $|x - (-2)|$ , czyli $|x + 2|$ .

Przykład z zadania

Zadanie. Znajdź wszystkie liczby oddalone od $-1$ o $4$ .

Zapisujemy warunek: $|x - (-1)| = 4$ , czyli $|x + 1| = 4$ . Szukamy liczb leżących o cztery jednostki w lewo i w prawo od $-1$ :

$x = -1 - 4 = -5 \qquad \text{oraz} \qquad x = -1 + 4 = 3.$

Odpowiedź. $x = -5$ lub $x = 3$ .

Najczęstsze pytania

Czy $|a - b|$ i $|b - a|$ to to samo? Tak. Wyrażenia $a - b$ i $b - a$ są liczbami przeciwnymi, a moduł usuwa znak, więc wyniki są identyczne. Dlatego mówimy po prostu „odległość między $a$ i $b$ ”.

Jak zapisać odległość od liczby ujemnej? Podstawiamy ją do wzoru razem ze znakiem: odległość od $-2$ to $|x - (-2)| = |x + 2|$ . Plus w module oznacza więc odległość od liczby ujemnej.

Czy odległość może wyjść ujemna? Nie - moduł jest nieujemny. Jeśli w zadaniu wychodzi ujemna odległość, gdzieś jest błąd rachunkowy.

Kiedy odległość wynosi zero? Tylko wtedy, gdy liczby są równe: $|a - b| = 0 \iff a = b$ .

Po co ta interpretacja, skoro można liczyć z definicji? Bo dzięki niej większość równań i nierówności z modułem rozwiązuje się „patrząc na oś”, bez rozbijania na przypadki - pokazuje to następna lekcja.

Przećwicz

Podstawy modułu → - odległości na osi liczbowej i zapisywanie warunków słownych.

Podsumowanie

Odległość liczb na osi: $d(a,b) = |a - b| = |b - a|$ .
Odległość jest nieujemna i wynosi zero tylko dla $a = b$ .
$|a|$ to odległość liczby $a$ od zera - szczególny przypadek wzoru.
Odległość od liczby ujemnej zapisujemy z plusem: $|x + 2|$ to odległość od $-2$ .