Matura maj 2025 matematyka podstawowa - odpowiedzi i rozwiązania

Q: Ile zadań było na maturze podstawowej z matematyki 2025?

31 zadań (część z podpunktami), razem 50 punktów. Do zdania matury potrzeba co najmniej 30\%, czyli 15 punktów.

Egzamin maturalny z matematyki, poziom podstawowy - 6 maja 2025

Formuła 2023, arkusz MMAP-P0-100-2505. Czas: $180$ minut, do zdobycia $50$ punktów, $31$ zadań (część z podpunktami). Do egzaminu wolno było korzystać z Wybranych wzorów matematycznych, cyrkla, linijki i kalkulatora prostego.

Majowa matura z matematyki na poziomie podstawowym odbyła się 6 maja 2025 roku o godzinie 9:00. Poniżej jest pełna treść arkusza, klucz odpowiedzi do wszystkich zadań i rozwiązania krok po kroku - każde schowane pod osobnym przyciskiem, żeby najpierw można było spróbować samodzielnie.

Oryginalny arkusz w PDF publikuje Centralna Komisja Egzaminacyjna: arkusz MMAP-P0-100-2505 (PDF, CKE). Rozwiązania i odpowiedzi opracowała redakcja matematyka.net - każdy wynik sprawdziliśmy osobnym rachunkiem, ale nie są to oficjalne zasady oceniania CKE.

Odpowiedzi - matura maj 2025, poziom podstawowy

Zadanie	Odpowiedź	Punkty
1	B (18)	0-1
2	B (31)	0-1
3	A (3)	0-1
4	C (5x² + 24x − 5)	0-1
5	dowód: dla n = 2k + 1 liczba to 4(3k² + 4k + 3)	0-2
6	D (x ≥ −9)	0-1
7	A (−3 oraz 0)	0-1
8	C ((x + 1)/(x + 2))	0-1
9	735 000 zł	0-2
10	x ∈ (1/3, 3/2)	0-2
11	1. [−4, 4); 2. (−3, 3]; 3. [−4, 3); 4. [−2, 2]	0-4
12.1	f(x) = −⅓(x − 3)² + 6	0-2
12.2	A (x = 3)	0-1
12.3	6	0-1
13	C (m = 3)	0-1
14.1	D (11)	0-1
14.2	F, F	0-1
15	m = 5/2	0-3
16	B (1)	0-1
17	C (√3/2)	0-1
18.1	D (4/3)	0-1
18.2	A (2/√13)	0-1
19	C (40°)	0-1
20	B (2,25)	0-1
21	F, P	0-1
22	C (10)	0-1
23	B (m = −2)	0-1
24	B ((x − 2)² + (y − 4)² = 20)	0-1
25	V = 64π	0-3
26	A (9√3)	0-1
27	A (45)	0-1
28	D (2/36)	0-1
29	C (6)	0-1
30	1. mediana 4,5; 2. dominanta 6	0-2
31	P(x) = −2x² + 22x + 88, x ∈ (0, 11); maksimum dla x = 5,5	0-4

W zadaniach typu prawda-fałsz punkt dostaje się tylko za obie poprawne oceny.

Zadanie 1

Zadanie zamknięte, 0-1 pkt. Liczba $\left(\sqrt{32} - \sqrt{2}\right)^2$ jest równa

A. $16$ B. $18$ C. $30$ D. $34$

Rozwiązanie zadania 1

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Wyłączamy czynnik spod pierwiastka: $\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$ . Wtedy

$\left(4\sqrt{2} - \sqrt{2}\right)^2 = \left(3\sqrt{2}\right)^2 = 9 \cdot 2 = 18.$

(Ze wzoru skróconego mnożenia wychodzi to samo: $32 - 2\sqrt{64} + 2 = 34 - 16 = 18$ . Odpowiedź D to $32 + 2$ - wynik po zgubieniu podwojonego iloczynu.)

Odpowiedź: B. Zobacz: pierwiastek arytmetyczny.

Zadanie 2

Zadanie zamknięte, 0-1 pkt. Liczba $\dfrac{5^{12} + 5^{13} + 5^{14}}{5^{12}}$ jest równa

A. $30$ B. $31$ C. $5^{12}$ D. $5^{27}$

Rozwiązanie zadania 2

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Dzielimy każdy składnik licznika przez $5^{12}$ :

$\frac{5^{12}}{5^{12}} + \frac{5^{13}}{5^{12}} + \frac{5^{14}}{5^{12}} = 1 + 5 + 25 = 31.$

Pułapką jest „dodawanie wykładników” ( $12 + 13 + 14 - 12 = 27$ , odpowiedź D) - wykładniki dodaje się przy mnożeniu potęg, nie przy dodawaniu.

Odpowiedź: B. Zobacz: zadania z potęg.

Zadanie 3

Zadanie zamknięte, 0-1 pkt. Liczba $\log_3 108 - 2\log_3 2$ jest równa

A. $3$ B. $9$ C. $\log_3 104$ D. $2\log_3 54$

Rozwiązanie zadania 3

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Współczynnik przed logarytmem wchodzi do wykładnika, a różnica logarytmów to logarytm ilorazu:

$\log_3 108 - \log_3 2^2 = \log_3 \frac{108}{4} = \log_3 27 = 3.$

Odpowiedź: A. Zobacz: prawa logarytmów.

Zadanie 4

Zadanie zamknięte, 0-1 pkt. Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wartość wyrażenia $(3x + 2)^2 - (2x - 3)^2$ jest równa wartości wyrażenia

A. $5x^2 - 5$ B. $5x^2 + 13$ C. $5x^2 + 24x - 5$ D. $5x^2 + 24x - 13$

Rozwiązanie zadania 4

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Rozwijamy oba kwadraty:

$(3x + 2)^2 - (2x - 3)^2 = (9x^2 + 12x + 4) - (4x^2 - 12x + 9) = 5x^2 + 24x - 5.$

Uwaga na minus przed nawiasem: zmienia znak wszystkich trzech wyrazów drugiego kwadratu, więc $-(-12x) = +12x$ i $-9$ .

Odpowiedź: C. Zobacz: wzory skróconego mnożenia.

Zadanie 5

Zadanie otwarte, 0-2 pkt. Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej $n$ liczba $3n^2 + 2n + 7$ jest podzielna przez $4$ .

Rozwiązanie zadania 5

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Krok 1. Zapis liczby nieparzystej. Każda nieparzysta liczba naturalna ma postać $n = 2k + 1$ , gdzie $k$ jest liczbą całkowitą nieujemną.

Krok 2. Podstawiamy:

$3(2k + 1)^2 + 2(2k + 1) + 7 = 3(4k^2 + 4k + 1) + 4k + 2 + 7 = 12k^2 + 16k + 12.$

Krok 3. Wyłączamy $4$ :

$12k^2 + 16k + 12 = 4(3k^2 + 4k + 3).$

Liczba $3k^2 + 4k + 3$ jest całkowita, więc $3n^2 + 2n + 7$ dzieli się przez $4$ . $\blacksquare$

Zadanie 6

Zadanie zamknięte, 0-1 pkt. Dana jest nierówność

$3 - 2(1 - 2x) \geq 2x - 17.$

Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających tę nierówność? W arkuszu cztery osie liczbowe przedstawiały zbiory:

A. $(-\infty, 3]$ B. $[3, +\infty)$ C. $(-\infty, -9]$ D. $[-9, +\infty)$

Rozwiązanie zadania 6

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Opuszczamy nawias i porządkujemy:

$3 - 2 + 4x \geq 2x - 17 \quad\Longrightarrow\quad 2x \geq -18 \quad\Longrightarrow\quad x \geq -9.$

Zbiór rozwiązań to $[-9, +\infty)$ - półprosta w prawo od $-9$ , z zamalowanym końcem.

Odpowiedź: D.

Zadanie 7

Zadanie zamknięte, 0-1 pkt. Równanie $2x(x + 3)(x^2 + 25) = 0$ w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

A. dwa rozwiązania: $(-3)$ oraz $0$ .

B. dwa rozwiązania: $(-3)$ oraz $2$ .

C. trzy rozwiązania: $(-5)$ , $(-3)$ oraz $0$ .

D. cztery rozwiązania: $(-5)$ , $(-3)$ , $0$ oraz $5$ .

Rozwiązanie zadania 7

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Iloczyn jest zerem, gdy zeruje się któryś czynnik: $2x = 0$ daje $x = 0$ , a $x + 3 = 0$ daje $x = -3$ . Czynnik $x^2 + 25$ jest zawsze dodatni (co najmniej $25$ ), więc nie daje rozwiązań - w odróżnieniu od $x^2 - 25$ , który dałby $\pm 5$ .

Odpowiedź: A.

Zadanie 8

Zadanie zamknięte, 0-1 pkt. Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ różnej od $(-2)$ oraz różnej od $0$ wartość wyrażenia

$\frac{x^2 + x}{x^2 + 4x + 4} \cdot \frac{x + 2}{x}$

jest równa wartości wyrażenia

A. $\frac{x + 2}{4x + 4}$ B. $\frac{x + 1}{4x + 5}$ C. $\frac{x + 1}{x + 2}$ D. $\frac{2x}{x + 2}$

Rozwiązanie zadania 8

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Rozkładamy liczniki i mianowniki na czynniki: $x^2 + x = x(x + 1)$ , a $x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$ .

$\frac{x(x + 1)}{(x + 2)^2} \cdot \frac{x + 2}{x} = \frac{x + 1}{x + 2}.$

Skróciły się czynnik $x$ i jeden czynnik $x + 2$ .

Odpowiedź: C. Zobacz: funkcja wymierna.

Zadanie 9

Zadanie otwarte, 0-2 pkt. Zarząd firmy wydzielił z budżetu kwotę $1\,200\,000$ złotych łącznie na projekty badawcze dla dwóch zespołów: A i B. W pierwszym półroczu realizacji tych projektów oba zespoły wykorzystały łącznie $146\,700$ złotych - zespół A wykorzystał $13\%$ przyznanych mu środków, a zespół B wykorzystał $11\%$ przyznanych mu środków.

Oblicz kwotę przyznaną zespołowi A na realizację projektu badawczego.

Rozwiązanie zadania 9

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Krok 1. Oznaczenia. Niech $a$ to kwota zespołu A; zespół B dostał $1\,200\,000 - a$ .

Krok 2. Równanie:

$0{,}13a + 0{,}11(1\,200\,000 - a) = 146\,700.$

Krok 3. $0{,}13a + 132\,000 - 0{,}11a = 146\,700$ , czyli $0{,}02a = 14\,700$ , skąd $a = 735\,000$ .

Sprawdzenie: $13\%$ z $735\,000$ to $95\,550$ zł, $11\%$ z $465\,000$ to $51\,150$ zł, razem $146\,700$ zł.

Odpowiedź: zespół A otrzymał $735\,000$ zł. Zobacz: zadania z procentów.

Zadanie 10

Zadanie otwarte, 0-2 pkt. Rozwiąż nierówność

$3(2x^2 + 1) < 11x.$

Rozwiązanie zadania 10

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Krok 1. Porządkujemy: $6x^2 - 11x + 3 < 0$ .

Krok 2. Miejsca zerowe:

$\Delta = 121 - 4 \cdot 6 \cdot 3 = 49, \qquad x_1 = \frac{11 - 7}{12} = \frac{1}{3}, \qquad x_2 = \frac{11 + 7}{12} = \frac{3}{2}.$

Krok 3. Parabola ma ramiona skierowane w górę, więc przyjmuje wartości ujemne między pierwiastkami (bez końców, bo nierówność jest ostra).

Odpowiedź: $x \in \left(\frac{1}{3}, \frac{3}{2}\right)$ . Zobacz: nierówności kwadratowe.

Zadanie 11

Zadanie otwarte, 0-4 pkt. Funkcja $f$ jest określona następująco:

$f(x) = \begin{cases} x + 5 & \text{dla } x \in [-4, -2] \\ 3 & \text{dla } x \in (-2, 2] \\ -3x + 9 & \text{dla } x \in (2, 4) \end{cases}$

Wykres funkcji f. Punkt (−4, 1) należy do wykresu, punkt (4, −3) - nie.

Uzupełnij zdania.

Dziedziną funkcji $f$ jest przedział … .
Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział … .
Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartości dodatnie, jest przedział … .
Zbiorem wszystkich rozwiązań równania $f(x) = 3$ jest przedział … .

Rozwiązanie zadania 11

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1. Dziedzina to suma przedziałów z definicji: $[-4, -2] \cup (-2, 2] \cup (2, 4) = [-4, 4)$ . Liczba $4$ nie należy do dziedziny (puste kółko).

2. Zbiór wartości. Pierwszy kawałek daje wartości od $f(-4) = 1$ do $f(-2) = 3$ , drugi - tylko $3$ , trzeci maleje od wartości bliskich $3$ do wartości bliskich $-3$ , ale $-3$ nie osiąga ( $x = 4$ nie należy do dziedziny). Razem: $(-3, 3]$ .

3. Wartości dodatnie. Na $[-4, -2]$ i na $(-2, 2]$ funkcja jest dodatnia. Na $(2, 4)$ : $-3x + 9 > 0 \iff x < 3$ . Razem: $[-4, 3)$ .

4. Równanie $f(x) = 3$ . Na pierwszym kawałku $x + 5 = 3$ daje $x = -2$ (należy do przedziału). Cały drugi kawałek $(-2, 2]$ spełnia równanie. Na trzecim $-3x + 9 = 3$ daje $x = 2$ , które nie należy do $(2, 4)$ - ale i tak jest już w drugim kawałku. Razem: $[-2, 2]$ .

Odpowiedzi: $[-4, 4)$ ; $(-3, 3]$ ; $[-4, 3)$ ; $[-2, 2]$ . Zobacz: równania i nierówności z wykresu.

Zadanie 12

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f$ . Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne $(3, 6)$ . Ta parabola przecina oś $Oy$ w punkcie o współrzędnych $(0, 3)$ .

Fragment paraboli o wierzchołku (3, 6), przecinającej oś Oy w punkcie (0, 3).

12.1 (0-2 pkt) Wyznacz wzór funkcji $f$ w postaci kanonicznej.

12.2 (0-1 pkt) Osią symetrii wykresu funkcji $f$ jest prosta o równaniu

A. $x = 3$ B. $x = -3$ C. $y = 6$ D. $y = -6$

12.3 (0-1 pkt) Funkcja $g$ jest określona dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wzorem $g(x) = f(x) - 3$ . Liczby $x_1$ oraz $x_2$ są różnymi miejscami zerowymi funkcji $g$ . Suma $x_1 + x_2$ jest równa … .

Rozwiązanie zadania 12

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

12.1. Postać kanoniczna z wierzchołkiem $(p, q) = (3, 6)$ : $f(x) = a(x - 3)^2 + 6$ . Punkt $(0, 3)$ leży na wykresie:

$a(0 - 3)^2 + 6 = 3 \quad\Longrightarrow\quad 9a = -3 \quad\Longrightarrow\quad a = -\frac{1}{3}.$

Wzór: $f(x) = -\frac{1}{3}(x - 3)^2 + 6$ .

12.2. Oś symetrii paraboli to pionowa prosta przez wierzchołek: $x = 3$ . Odpowiedzi C i D to proste poziome - parabola nigdy nie jest do nich symetryczna.

12.3. Miejsca zerowe $g$ to rozwiązania $f(x) = 3$ , czyli argumenty, w których parabola ma wysokość $3$ . Jednym z nich jest $x = 0$ (dane w treści), a drugi leży symetrycznie względem osi $x = 3$ , czyli $x = 6$ . Suma: $0 + 6 = 6$ . Ogólnie: suma dwóch argumentów o tej samej wartości funkcji kwadratowej to zawsze $2p$ .

Odpowiedzi: 12.1 - $f(x) = -\frac{1}{3}(x - 3)^2 + 6$ ; 12.2 - A; 12.3 - $6$ . Zobacz: postać kanoniczna.

Zadanie 13

Zadanie zamknięte, 0-1 pkt. Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f(x) = (3 - m)x - 4$ . Funkcja $f$ nie ma miejsca zerowego dla $m$ równego

A. $(-3)$ B. $0$ C. $3$ D. $4$

Rozwiązanie zadania 13

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Funkcja liniowa $f(x) = ax + b$ nie ma miejsca zerowego tylko wtedy, gdy jest stała i różna od zera: $a = 0$ i $b \neq 0$ . Tu $b = -4 \neq 0$ , więc wystarczy $3 - m = 0$ , czyli $m = 3$ . Wtedy $f(x) = -4$ - wykres to pozioma prosta, która nie przecina osi $Ox$ .

Odpowiedź: C. Zobacz: funkcja liniowa.

Zadanie 14

Ciąg $(a_n)$ jest określony następująco: $a_1 = 2$ oraz $a_{n+1} = 2a_n + 1$ dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ .

14.1 (0-1 pkt) Trzeci wyraz ciągu $(a_n)$ jest równy

A. $4$ B. $5$ C. $7$ D. $11$

14.2 (prawda-fałsz, 0-1 pkt)

Ciąg $(a_n)$ jest arytmetyczny.
Ciąg $(a_n)$ jest geometryczny.

Rozwiązanie zadania 14

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

14.1. Liczymy wyraz po wyrazie: $a_2 = 2 \cdot 2 + 1 = 5$ , $a_3 = 2 \cdot 5 + 1 = 11$ .

14.2. Wystarczą trzy pierwsze wyrazy: $2, 5, 11$ .

Różnice: $5 - 2 = 3$ , ale $11 - 5 = 6$ - różne, więc ciąg nie jest arytmetyczny (fałsz).
Ilorazy: $\frac{5}{2} = 2{,}5$ , ale $\frac{11}{5} = 2{,}2$ - różne, więc ciąg nie jest geometryczny (fałsz).

Odpowiedzi: 14.1 - D; 14.2 - F, F. Zobacz: ciągi.

Zadanie 15

Zadanie otwarte, 0-3 pkt. Wyznacz wartość $m$ , dla której trzywyrazowy ciąg

$(2m + 11, \ m^2 + 3, \ 5 - m)$

jest arytmetyczny i malejący.

Rozwiązanie zadania 15

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Krok 1. Warunek ciągu arytmetycznego - środkowy wyraz jest średnią skrajnych:

$2(m^2 + 3) = (2m + 11) + (5 - m) \quad\Longrightarrow\quad 2m^2 + 6 = m + 16 \quad\Longrightarrow\quad 2m^2 - m - 10 = 0.$

Krok 2. Rozwiązujemy: $\Delta = 1 + 80 = 81$ , więc

$m_1 = \frac{1 - 9}{4} = -2, \qquad m_2 = \frac{1 + 9}{4} = \frac{5}{2}.$

Krok 3. Sprawdzamy monotoniczność - to ten krok najczęściej się pomija:

$m = -2$ : ciąg $(7, 7, 7)$ jest stały, a nie malejący - odrzucamy.
$m = \frac{5}{2}$ : ciąg $(16;\ 9{,}25;\ 2{,}5)$ ma różnicę $r = -6{,}75 < 0$ - jest malejący.

Odpowiedź: $m = \frac{5}{2}$ . Zobacz: ciąg arytmetyczny.

Zadanie 16

Zadanie zamknięte, 0-1 pkt. Dany jest ciąg geometryczny $(a_n)$ określony dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ , w którym $a_1 = 27$ oraz $a_2 = 9$ . Czwarty wyraz ciągu $(a_n)$ jest równy

A. $\frac{1}{3}$ B. $1$ C. $3$ D. $729$

Rozwiązanie zadania 16

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Iloraz $q = \frac{9}{27} = \frac{1}{3}$ , więc $a_3 = 3$ i $a_4 = 1$ (albo od razu: $a_4 = 27 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 = 1$ ).

Odpowiedź: B. Zobacz: ciąg geometryczny.

Zadanie 17

Zadanie zamknięte, 0-1 pkt. Kąt $\alpha$ jest ostry i spełnia warunek $\sqrt{3}\operatorname{tg}\alpha = 2\sin\alpha$ . Cosinus kąta $\alpha$ jest równy

A. $\frac{1}{2}$ B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Rozwiązanie zadania 17

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Zapisujemy tangens jako iloraz: $\sqrt{3} \cdot \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = 2\sin\alpha$ . Kąt jest ostry, więc $\sin\alpha \neq 0$ i można przez niego podzielić:

$\frac{\sqrt{3}}{\cos\alpha} = 2 \quad\Longrightarrow\quad \cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}.$

To kąt $30°$ .

Odpowiedź: C. Zobacz: trygonometria kąta ostrego.

Zadanie 18

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$ , w którym bok $BC$ jest przeciwprostokątną, przyprostokątna $AB$ ma długość $6$ , a środkowa $CD$ ma długość $5$ . Oznaczmy kąt $ADC$ przez $\alpha$ , natomiast kąt $ABC$ - przez $\beta$ .

Trójkąt prostokątny ABC z kątem prostym przy A i środkową CD.

18.1 (0-1 pkt) Tangens kąta $\alpha$ jest równy

A. $\frac{2}{3}$ B. $\frac{3}{4}$ C. $\frac{4}{5}$ D. $\frac{4}{3}$

18.2 (0-1 pkt) Sinus kąta $\beta$ jest równy

A. $\frac{2}{\sqrt{13}}$ B. $\frac{3}{\sqrt{13}}$ C. $\frac{5}{2\sqrt{13}}$ D. $\frac{4}{5}$

Rozwiązanie zadania 18

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Krok wspólny. Środkowa $CD$ łączy $C$ ze środkiem boku $AB$ , więc $|AD| = 3$ . Trójkąt $ADC$ jest prostokątny (kąt prosty przy $A$ ), stąd

$|AC| = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4.$

18.1. W trójkącie $ADC$ kąt $\alpha$ leży przy $D$ : naprzeciw niego jest $AC$ , a przy nim $AD$ : $\operatorname{tg}\alpha = \frac{4}{3}$ .

18.2. Przeciwprostokątna $|BC| = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$ . Naprzeciw kąta $\beta$ leży $AC$ :

$\sin\beta = \frac{4}{2\sqrt{13}} = \frac{2}{\sqrt{13}}.$

Odpowiedzi: 18.1 - D; 18.2 - A. Zobacz: twierdzenie Pitagorasa.

Zadanie 19

Zadanie zamknięte, 0-1 pkt. Punkty $A$ , $B$ oraz $C$ leżą na okręgu o środku w punkcie $O$ . Miara kąta $BCA$ jest równa $50°$ .

Kąt wpisany BCA i trójkąt AOB zbudowany z dwóch promieni.

Miara kąta ostrego $ABO$ jest równa

A. $20°$ B. $35°$ C. $40°$ D. $50°$

Rozwiązanie zadania 19

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Kąt środkowy $AOB$ opiera się na tym samym łuku co kąt wpisany $BCA$ , więc jest dwa razy większy: $|\angle AOB| = 100°$ . Trójkąt $AOB$ jest równoramienny ( $|OA| = |OB|$ - promienie), więc kąty przy podstawie $AB$ są równe:

$|\angle ABO| = \frac{180° - 100°}{2} = 40°.$

Odpowiedź: C. Zobacz: kąty w okręgu.

Zadanie 20

Zadanie zamknięte, 0-1 pkt. W trójkącie równoramiennym $ABC$ dane są: $|AC| = |BC| = 4$ i $|AB| = 3$ . Na boku $BC$ , między punktami $B$ i $C$ , wybrano taki punkt $D$ , że trójkąty $ABC$ i $BDA$ są podobne.

Trójkąt równoramienny ABC i odcinek AD, który odcina trójkąt BDA podobny do ABC.

Odcinek $BD$ ma długość

A. $2$ B. $2{,}25$ C. $2{,}5$ D. $3$

Rozwiązanie zadania 20

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Kolejność liter w zapisie mówi, które wierzchołki sobie odpowiadają: $A \to B$ , $B \to D$ , $C \to A$ . Boki odpowiadające: $AB \leftrightarrow BD$ oraz $CA \leftrightarrow AB$ . Z proporcji

$\frac{|BD|}{|AB|} = \frac{|AB|}{|CA|} \quad\Longrightarrow\quad |BD| = \frac{3 \cdot 3}{4} = \frac{9}{4} = 2{,}25.$

Dla porządku: trójkąt $BDA$ jest też równoramienny, $|AD| = |AB| = 3$ - dlatego na rysunku odcinek $AD$ ma tę samą długość co podstawa.

Odpowiedź: B. Zobacz: podobieństwo trójkątów.

Zadanie 21

Zadanie prawda-fałsz, 0-1 pkt. Dany jest trójkąt $ABC$ , w którym $|AB| = 11$ , $|BC| = 12$ oraz $|\angle ABC| = 60°$ .

Trójkąt ABC: dwa boki i kąt 60° między nimi.

Trójkąt $ABC$ jest równoramienny.
Pole trójkąta $ABC$ jest równe $33\sqrt{3}$ .

Rozwiązanie zadania 21

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1. Trzeci bok z twierdzenia cosinusów:

$|AC|^2 = 11^2 + 12^2 - 2 \cdot 11 \cdot 12 \cdot \cos 60° = 121 + 144 - 132 = 133,$

więc $|AC| = \sqrt{133} \approx 11{,}53$ . Żadne dwa boki nie są równe - fałsz.

2. Pole z dwóch boków i kąta między nimi:

$P = \frac{1}{2} \cdot 11 \cdot 12 \cdot \sin 60° = 66 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 33\sqrt{3}$

prawda.

Odpowiedź: F, P. Zobacz: twierdzenie cosinusów.

Zadanie 22

Zadanie zamknięte, 0-1 pkt. W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dany jest kwadrat $ABCD$ , w którym $A = (4, -1)$ . Przekątne tego kwadratu przecinają się w punkcie $S = (1, 3)$ . Przekątna kwadratu $ABCD$ ma długość

A. $5$ B. $7$ C. $10$ D. $14$

Rozwiązanie zadania 22

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Przekątne kwadratu dzielą się na połowy, więc $|AS|$ to połowa przekątnej:

$|AS| = \sqrt{(1 - 4)^2 + (3 - (-1))^2} = \sqrt{9 + 16} = 5, \qquad d = 2 \cdot 5 = 10.$

Odpowiedź A to sama połowa przekątnej.

Odpowiedź: C. Zobacz: odległość i środek odcinka.

Zadanie 23

Zadanie zamknięte, 0-1 pkt. W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ proste $k$ oraz $l$ są określone równaniami $k\colon y = (m - 2)x + 5$ oraz $l\colon y = -4x + (m + 3)$ . Proste $k$ oraz $l$ są równoległe, gdy liczba $m$ jest równa

A. $(-4)$ B. $(-2)$ C. $2$ D. $5$

Rozwiązanie zadania 23

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Proste równoległe mają równe współczynniki kierunkowe: $m - 2 = -4$ , więc $m = -2$ . Wtedy $k\colon y = -4x + 5$ i $l\colon y = -4x + 1$ - różne wyrazy wolne, więc to dwie różne proste równoległe (nie pokrywają się).

Odpowiedź: B. Zobacz: równanie prostej.

Zadanie 24

Zadanie zamknięte, 0-1 pkt. W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ punkt $P = (0, 0)$ leży na okręgu $\mathcal{O}$ o środku w punkcie $S = (2, 4)$ . Okrąg $\mathcal{O}$ jest określony równaniem

A. $(x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 2\sqrt{5}$

B. $(x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 20$

C. $(x + 2)^2 + (y + 4)^2 = 2\sqrt{5}$

D. $(x + 2)^2 + (y + 4)^2 = 20$

Rozwiązanie zadania 24

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Środek $(2, 4)$ daje nawiasy $(x - 2)$ i $(y - 4)$ - odpadają C i D. Kwadrat promienia to kwadrat odległości $P$ od $S$ :

$r^2 = (0 - 2)^2 + (0 - 4)^2 = 4 + 16 = 20.$

Po prawej stronie równania stoi $r^2 = 20$ , a nie $r = 2\sqrt{5}$ - to pułapka w odpowiedzi A.

Odpowiedź: B. Zobacz: równanie okręgu.

Zadanie 25

Zadanie otwarte, 0-3 pkt. Tworząca stożka ma długość $8$ . Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę $120°$ . Oblicz objętość tego stożka.

Rozwiązanie zadania 25

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Krok 1. Przekrój osiowy. Kąt rozwarcia to kąt przy wierzchołku przekroju osiowego. Wysokość dzieli go na połowy, więc w trójkącie prostokątnym (wysokość $h$ , promień $r$ , tworząca $l = 8$ ) kąt przy wierzchołku ma $60°$ .

Krok 2. Promień i wysokość:

$r = 8 \sin 60° = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}, \qquad h = 8 \cos 60° = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4.$

Krok 3. Objętość:

$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot 48 \cdot 4 = 64\pi.$

Najczęstszy błąd: liczenie z kątem $120°$ zamiast z jego połową.

Odpowiedź: $V = 64\pi$ . Zobacz: bryły obrotowe.

Zadanie 26

Zadanie zamknięte, 0-1 pkt. Objętość sześcianu jest równa $729$ . Długość przekątnej tego sześcianu jest równa

A. $9\sqrt{3}$ B. $9\sqrt{2}$ C. $3\sqrt{3}$ D. $3\sqrt{2}$

Rozwiązanie zadania 26

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Krawędź: $a = \sqrt[3]{729} = 9$ . Przekątna sześcianu ma długość $a\sqrt{3} = 9\sqrt{3}$ . (Odpowiedź B, $a\sqrt{2}$ , to przekątna ściany.)

Odpowiedź: A.

Zadanie 27

Zadanie zamknięte, 0-1 pkt. Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jeden raz cyfra $0$ , jest

A. $45$ B. $50$ C. $54$ D. $81$

Rozwiązanie zadania 27

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Gdzie może stać zero? Nie na miejscu setek (liczba byłaby dwucyfrowa) i nie na miejscu jedności (liczba byłaby parzysta). Zostaje tylko cyfra dziesiątek. Wtedy:

setki: $1$ - $9$ - $9$ możliwości,
dziesiątki: $0$ - $1$ możliwość,
jedności: cyfra nieparzysta $1, 3, 5, 7, 9$ - $5$ możliwości.

Razem $9 \cdot 1 \cdot 5 = 45$ . Warunek „dokładnie jeden raz” spełnia się sam, bo innych zer i tak nie ma.

Odpowiedź: A. Zobacz: kombinatoryka.

Zadanie 28

Zadanie zamknięte, 0-1 pkt. Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry. Zdarzenie $A$ polega na tym, że suma liczb wyrzuconych oczek będzie równa $11$ . Prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ jest równe

A. $\frac{1}{36}$ B. $\frac{6}{36}$ C. $\frac{11}{36}$ D. $\frac{2}{36}$

Rozwiązanie zadania 28

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Wszystkich wyników jest $6 \cdot 6 = 36$ . Suma $11$ wypada tylko jako $(5, 6)$ i $(6, 5)$ - to dwa różne wyniki, bo rzuty są rozróżnialne (pierwszy i drugi). Stąd $P(A) = \frac{2}{36}$ .

Pułapka: odpowiedź A liczy $(5, 6)$ i $(6, 5)$ jako jeden wynik.

Odpowiedź: D. Zobacz: rachunek prawdopodobieństwa.

Zadanie 29

Zadanie zamknięte, 0-1 pkt. Średnia arytmetyczna siedmiu liczb: $1, 2, 3, 4, 5, x, y$ , jest równa $3$ . Suma $x + y$ jest równa

A. $4$ B. $5$ C. $6$ D. $7$

Rozwiązanie zadania 29

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Suma wszystkich siedmiu liczb to $7 \cdot 3 = 21$ . Znane liczby dają $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$ , więc $x + y = 21 - 15 = 6$ .

Odpowiedź: C.

Zadanie 30

Zadanie otwarte, 0-2 pkt. Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej liczącej $24$ uczniów.

Liczba uczniów, którzy otrzymali daną ocenę (razem 24 uczniów).

Uzupełnij zdania.

Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa … .
Dominanta ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa … .

Rozwiązanie zadania 30

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1. Mediana. Przy $24$ ocenach mediana to średnia $12.$ i $13.$ oceny po uporządkowaniu. Liczymy narastająco: oceny $1$ - $3$ ma $1 + 3 + 4 = 8$ uczniów, oceny $1$ - $4$ - $12$ uczniów. Zatem $12.$ ocena to $4$ , a $13.$ to już $5$ :

$\text{Me} = \frac{4 + 5}{2} = 4{,}5.$

2. Dominanta to ocena, która wystąpiła najczęściej: szóstkę dostało $7$ uczniów.

Odpowiedzi: mediana $4{,}5$ ; dominanta $6$ . Zobacz: statystyka.

Zadanie 31

Zadanie otwarte, 0-4 pkt. Rozważamy wszystkie prostopadłościany $ABCDEFGH$ , w których krawędź $BC$ ma długość $4$ oraz suma długości wszystkich krawędzi wychodzących z wierzchołka $B$ jest równa $15$ . Niech $P(x)$ oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości $x$ krawędzi $AB$ .

Prostopadłościan ABCDEFGH: |AB| = x, |BC| = 4.

Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji $P$ . Oblicz długość $x$ krawędzi $AB$ tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe.

Rozwiązanie zadania 31

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Krok 1. Trzecia krawędź. Z wierzchołka $B$ wychodzą $AB = x$ , $BC = 4$ i $BF = h$ :

$x + 4 + h = 15 \quad\Longrightarrow\quad h = 11 - x.$

Krok 2. Dziedzina. Długości muszą być dodatnie: $x > 0$ i $11 - x > 0$ , czyli $x \in (0, 11)$ .

Krok 3. Wzór funkcji. Pole powierzchni prostopadłościanu o krawędziach $x$ , $4$ , $h$ :

$P(x) = 2\left(4x + x(11 - x) + 4(11 - x)\right) = 2\left(-x^2 + 11x + 44\right) = -2x^2 + 22x + 88.$

Krok 4. Maksimum. To funkcja kwadratowa o ramionach w dół; największą wartość przyjmuje w wierzchołku:

$x_w = \frac{-22}{2 \cdot (-2)} = 5{,}5 \in (0, 11).$

Wtedy $h = 5{,}5$ , a pole wynosi $P(5{,}5) = 148{,}5$ .

Odpowiedź: $P(x) = -2x^2 + 22x + 88$ , $x \in (0, 11)$ ; największe pole dla $x = 5{,}5$ . Zobacz: zadania optymalizacyjne.

Jak trudny był ten arkusz

Arkusz z 2025 roku miał $31$ zadań - o dwa mniej niż w 2026 - ale te same proporcje: większość zadań zamkniętych za $1$ punkt i kilka otwartych za $2$ - $4$ punkty. Najwięcej dawały zadania 11 (odczyt własności funkcji z wykresu, $4$ pkt) i 31 (optymalizacja pola prostopadłościanu, $4$ pkt), a potem 15 (ciąg arytmetyczny z parametrem) i 25 (objętość stożka) - po $3$ punkty.

Na co warto zwrócić uwagę:

sprawdzanie warunków na końcu - w zadaniu 15 jedno z rozwiązań równania daje ciąg stały, a nie malejący; w zadaniu 31 trzeba podać dziedzinę i sprawdzić, że wierzchołek do niej należy,
pułapki w odpowiedziach - dodawanie wykładników przy sumie potęg (zadanie 2), połowa przekątnej zamiast całej (22), promień zamiast jego kwadratu w równaniu okręgu (24), przekątna ściany zamiast przekątnej sześcianu (26), $(5, 6)$ i $(6, 5)$ liczone jako jeden wynik (28),
końce przedziałów - w zadaniu 11 o każdym nawiasie decyduje to, czy kółko na wykresie jest pełne, czy puste.

Najczęstsze pytania

Kiedy była matura z matematyki w 2025 roku? Egzamin na poziomie podstawowym odbył się we wtorek 6 maja 2025 roku o godzinie 9:00 i trwał $180$ minut.

Ile zadań było na maturze podstawowej z matematyki 2025? $31$ zadań (część z podpunktami), razem $50$ punktów. Do zdania matury potrzeba co najmniej $30\%$ , czyli $15$ punktów.

Gdzie znaleźć arkusz matury z matematyki maj 2025? Oficjalny PDF publikuje CKE (symbol arkusza MMAP-P0-100-2505) - link jest na górze tej strony. Tutaj znajdziesz pełną treść zadań z odpowiedziami i rozwiązaniami.

Czy to są oficjalne odpowiedzi CKE? Nie - rozwiązania opracowała redakcja matematyka.net i każdy wynik sprawdziliśmy niezależnym rachunkiem. Oficjalne zasady oceniania, z punktacją za poszczególne etapy rozwiązań zadań otwartych, publikuje Centralna Komisja Egzaminacyjna.

Które zadania z matury 2025 były najtrudniejsze? Najwięcej punktów wymagały zadanie 31 (wzór, dziedzina i maksimum funkcji pola, $4$ pkt) oraz zadanie 11 (cztery własności funkcji odczytane z wykresu, $4$ pkt). Najwięcej punktów traci się zwykle na zadaniu 15, gdy nie odrzuci się rozwiązania $m = -2$ .

Podsumowanie

Matura z matematyki, poziom podstawowy, 6 maja 2025: $31$ zadań, $50$ punktów, $180$ minut.
Pełny klucz odpowiedzi jest w tabeli na górze strony, a pod każdym zadaniem - rozwiązanie krok po kroku z linkiem do teorii.
Tematy: potęgi, pierwiastki i logarytmy, wyrażenia wymierne, procenty, nierówności, funkcja liniowa i kwadratowa, odczyt z wykresu, ciągi, trygonometria, planimetria, geometria analityczna, stożek i sześcian, kombinatoryka, prawdopodobieństwo, statystyka i optymalizacja.
Poprzedni rocznik: matura maj 2024 - poziom podstawowy.
Kolejny rocznik: matura maj 2026 - poziom podstawowy; wszystkie arkusze: zadania maturalne.