Trygonometria kąta ostrego - sinus, cosinus, tangens w trójkącie

Sinus kąta ostrego to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do przeciwprostokątnej. Cosinus to stosunek przyprostokątnej przyległej do kąta do przeciwprostokątnej, tangens - przyprostokątnej naprzeciw kąta do przyprostokątnej przyległej, a cotangens - odwrotność tangensa. Wartości tych funkcji zależą tylko od kąta, a nie od wielkości trójkąta: wszystkie trójkąty prostokątne o tym samym kącie ostrym są podobne, więc stosunki ich boków są takie same.

Definicje w trójkącie prostokątnym

Najłatwiej zapamiętać to przez położenie boków względem kąta $\alpha$:

• $\sin\alpha$ = naprzeciw / przeciwprostokątna,
• $\cos\alpha$ = przy kącie / przeciwprostokątna,
• $\operatorname{tg}\alpha$ = naprzeciw / przy kącie,
• $\operatorname{ctg}\alpha$ = przy kącie / naprzeciw.

Przeciwprostokątna jest najdłuższym bokiem, więc dla kąta ostrego $0 < \sin\alpha < 1$ i $0 < \cos\alpha < 1$. Tangens może być dowolną liczbą dodatnią.

Wartości dla kątów 30°, 45° i 60°

Tych wartości nie trzeba uczyć się na pamięć - wynikają z dwóch figur:

• Kąt 45°. Przekątna dzieli kwadrat o boku $1$ na dwa trójkąty prostokątne równoramienne o przeciwprostokątnej $\sqrt{2}$. Stąd $\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ i $\operatorname{tg} 45^\circ = 1$.
• Kąty 30° i 60°. Wysokość dzieli trójkąt równoboczny o boku $2$ na dwa trójkąty prostokątne o bokach $1$, $\sqrt{3}$ i $2$. Kąt $30^\circ$ leży naprzeciw boku $1$, więc $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\operatorname{tg} 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$; dla $60^\circ$ role boków się zamieniają.

Przybliżone wartości dla wszystkich kątów od $0^\circ$ do $90^\circ$ co jeden stopień zawiera tablica wartości funkcji trygonometrycznych.

Związki między funkcjami

• Jedynka trygonometryczna: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ - to twierdzenie Pitagorasa $a^2 + b^2 = c^2$ podzielone przez $c^2$.
• $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$, $\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{ctg}\alpha = 1$.
• Kąty dopełniające: $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha$ i $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha$ - bo drugi kąt ostry trójkąta ma przyprostokątne zamienione rolami.

Przykład. Kąt $\alpha$ jest ostry i $\sin\alpha = 0{,}6$. Z jedynki trygonometrycznej $\cos\alpha = \sqrt{1 - 0{,}36} = 0{,}8$ (pierwiastek dodatni, bo kąt jest ostry), a $\operatorname{tg}\alpha = \frac{0{,}6}{0{,}8} = 0{,}75$.

Rozwiązywanie trójkąta prostokątnego

Rozwiązać trójkąt to wyznaczyć wszystkie jego boki i kąty. Wystarczą dwie dane, z których co najmniej jedna jest bokiem.

Przykład 1 - bok i kąt. Przeciwprostokątna ma długość $10$, a kąt ostry $30^\circ$. Wtedy $a = 10 \sin 30^\circ = 5$, $b = 10 \cos 30^\circ = 5\sqrt{3}$, a drugi kąt ostry ma $60^\circ$.

Przykład 2 - dwa boki. Przyprostokątne mają długości $3$ i $4$. Przeciwprostokątna to $5$, $\sin\alpha = \frac{3}{5}$, $\operatorname{tg}\alpha = \frac{3}{4}$, a z tablic $\alpha \approx 36{,}87^\circ$.

Przykład 3 - wysokość drzewa. Cień drzewa ma $12$ m, a promienie słońca padają pod kątem $35^\circ$ do ziemi. Wysokość drzewa to przyprostokątna naprzeciw kąta: $h = 12 \cdot \operatorname{tg} 35^\circ \approx 12 \cdot 0{,}7002 \approx 8{,}40$ m.

W trójkątach, które nie są prostokątne, stosuje się twierdzenie cosinusów i twierdzenie sinusów - zobacz też rozwiązywanie trójkąta.

Najczęstsze pytania

Ile wynosi sin 30°?$\sin 30^\circ = \frac{1}{2} = 0{,}5$. W trójkącie o kątach $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$ bok naprzeciw kąta $30^\circ$ jest połową przeciwprostokątnej.

Ile wynosi cos 60°?$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ - tyle samo co $\sin 30^\circ$, bo $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha$.

Ile wynosi tg 45°?$\operatorname{tg} 45^\circ = 1$ - w trójkącie prostokątnym równoramiennym obie przyprostokątne są równe.

Ile wynosi sin 45° i cos 45°? Obie wartości są równe $\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}7071$.

Co to jest jedynka trygonometryczna? Tożsamość $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, prawdziwa dla każdego kąta. Dla kąta ostrego to twierdzenie Pitagorasa zapisane w języku funkcji trygonometrycznych.

Czym różni się sinus od cosinusa? Sinus dzieli przez przeciwprostokątną bok naprzeciw kąta, cosinus - bok przy kącie. Sinus kąta jest cosinusem kąta dopełniającego do $90^\circ$.

Jak obliczyć kąt, znając sinus? Odczytać go z tablicy wartości albo kalkulatorem (funkcja $\arcsin$, na klawiaturze zwykle $\sin^{-1}$). Na przykład $\sin\alpha = 0{,}5$ daje $\alpha = 30^\circ$.

Podsumowanie

• $\sin\alpha = \frac{a}{c}$, $\cos\alpha = \frac{b}{c}$, $\operatorname{tg}\alpha = \frac{a}{b}$, $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{b}{a}$.
• $\sin 30^\circ = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$, $\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin 60^\circ = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\operatorname{tg} 45^\circ = 1$.
• $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ i $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.
• Funkcje dowolnego kąta i wykresy: funkcje trygonometryczne liczby rzeczywistej; kąty rozwarte i większe: wzory redukcyjne.