Liczby naturalne i całkowite - podzielność, NWD i NWW

Klasa 1 liceum i technikum

Liczby naturalne $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\}$ i całkowite $\mathbb{Z} = \{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}$ mają szczególne własności związane z podzielnością. To one są podstawą arytmetyki i teorii liczb.

Podzielność

Mówimy, że liczba całkowita $a$ jest podzielna przez liczbę całkowitą $b$ (różną od zera), jeżeli istnieje taka liczba całkowita $k$, że $a = b \cdot k$. Zapisujemy to $b \mid a$ („$b$ dzieli $a$”).

Liczbę $b$ nazywamy wtedy dzielnikiem liczby $a$, a liczbę $a$ - wielokrotnością liczby $b$. Na przykład $3 \mid 12$, bo $12 = 3 \cdot 4$; liczba $3$ jest dzielnikiem $12$, a $12$ jest wielokrotnością $3$.

Każda liczba naturalna $n > 1$ ma co najmniej dwa dzielniki: $1$ oraz samą siebie.

Liczby pierwsze i złożone

Liczba pierwsza to liczba naturalna większa od $1$, która ma dokładnie dwa dzielniki naturalne: $1$ i samą siebie. Kolejne liczby pierwsze to:

$2, \ 3, \ 5, \ 7, \ 11, \ 13, \ 17, \ 19, \ 23, \ \dots$

Liczba złożona to liczba naturalna większa od $1$, która ma więcej niż dwa dzielniki (np. $12$ ma dzielniki $1, 2, 3, 4, 6, 12$). Liczby $0$ i $1$ nie są ani pierwsze, ani złożone.

Liczba $2$ jest jedyną parzystą liczbą pierwszą.

Rozkład na czynniki pierwsze

Każdą liczbę złożoną można jednoznacznie przedstawić jako iloczyn liczb pierwszych. Nazywamy to rozkładem na czynniki pierwsze. Na przykład:

$60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5.$

Rozkład znajdujemy, dzieląc liczbę kolejno przez najmniejsze możliwe liczby pierwsze.

Cechy podzielności

Cechy podzielności pozwalają szybko sprawdzić podzielność bez dzielenia. Liczba jest podzielna:

• przez 2 - gdy jej ostatnia cyfra jest parzysta ($0, 2, 4, 6, 8$);
• przez 5 - gdy jej ostatnia cyfra to $0$ lub $5$;
• przez 10 - gdy jej ostatnia cyfra to $0$;
• przez 4 - gdy liczba utworzona z dwóch ostatnich cyfr jest podzielna przez $4$;
• przez 3 - gdy suma jej cyfr jest podzielna przez $3$;
• przez 9 - gdy suma jej cyfr jest podzielna przez $9$.

Na przykład liczba $1278$ jest podzielna przez $3$ i przez $9$, bo suma jej cyfr $1 + 2 + 7 + 8 = 18$ jest podzielna i przez $3$, i przez $9$.

Największy wspólny dzielnik i najmniejsza wspólna wielokrotność

Największy wspólny dzielnik liczb $a$ i $b$, oznaczany $\operatorname{NWD}(a, b)$, to największa liczba, przez którą dzielą się obie liczby. Najmniejsza wspólna wielokrotność, oznaczana $\operatorname{NWW}(a, b)$, to najmniejsza dodatnia liczba, która jest wielokrotnością obu liczb.

Najłatwiej wyznaczyć je z rozkładów na czynniki pierwsze. Dla $12 = 2^2 \cdot 3$ oraz $18 = 2 \cdot 3^2$:

$\operatorname{NWD}(12, 18) = 2 \cdot 3 = 6, \qquad \operatorname{NWW}(12, 18) = 2^2 \cdot 3^2 = 36.$

Do NWD bierzemy wspólne czynniki w najniższych potęgach, a do NWW - wszystkie czynniki w najwyższych potęgach.

Dzielenie z resztą

Jeżeli liczba $a$ nie dzieli się przez $b$, możemy wykonać dzielenie z resztą. Dla liczby całkowitej $a$ i naturalnej $b > 0$ istnieją dokładnie jedna liczba całkowita $q$ (iloraz) i jedna liczba $r$ (reszta) takie, że:

$a = b \cdot q + r, \qquad 0 \le r < b.$

Na przykład dla $a = 17$ i $b = 5$:

$17 = 5 \cdot 3 + 2,$

czyli iloraz wynosi $3$, a reszta $2$. Reszta jest zawsze mniejsza od dzielnika.

Najczęstsze pytania

Czy liczba $1$ jest pierwsza? Nie. Liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki naturalne, a $1$ ma tylko jeden. Nie jest też złożona - stoi po prostu poza tym podziałem.

Jak szybko sprawdzić, czy liczba jest pierwsza? Wystarczy sprawdzić dzielenie przez kolejne liczby pierwsze aż do pierwiastka z badanej liczby. Dla $97$ sprawdzamy $2, 3, 5, 7$ (bo $\sqrt{97} < 10$) - żadna nie dzieli, więc $97$ jest pierwsza.

Do czego naprawdę przydaje się NWD i NWW? NWD skraca ułamki do postaci nieskracalnej, a NWW sprowadza ułamki do wspólnego mianownika. NWW przydaje się też w zadaniach o zdarzeniach powtarzających się cyklicznie (np. dwa autobusy odjeżdżające co $12$ i co $18$ minut spotkają się co $36$ minut).

Ile wynosi reszta z dzielenia liczby ujemnej? Reszta zawsze jest nieujemna i mniejsza od dzielnika. Dla $-7 : 3$ mamy $-7 = 3 \cdot (-3) + 2$, więc reszta to $2$, a nie $-1$.

Czy każda liczba całkowita rozkłada się na czynniki pierwsze jednoznacznie? Tak - dla liczb większych od $1$ mówi o tym podstawowe twierdzenie arytmetyki. Rozkład jest jedyny z dokładnością do kolejności czynników, np. $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$.