Matura maj 2026 matematyka podstawowa - odpowiedzi i rozwiązania

Iloczyn pierwiastków to pierwiastek z iloczynu, a potęga o wykładniku $-1$ to odwrotność:

$\sqrt{\frac{25}{8}} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{\frac{25}{8} \cdot 2} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}, \qquad 2^{-1} = \frac{1}{2}.$

Suma: $\frac{5}{2} + \frac{1}{2} = 3$.

Odpowiedź: C. Działania na pierwiastkach: pierwiastek arytmetyczny.

Przy procencie składanym kapitał co roku mnoży się przez $1{,}06$:

$K_2 = 10\,000 \cdot 1{,}06^2 = 10\,000 \cdot 1{,}1236 = 11\,236 \text{ zł}.$

Odsetki to różnica: $11\,236 - 10\,000 = 1236$ zł. Pułapką jest odpowiedź A ($2 \cdot 600$ zł) - tyle byłoby przy procencie prostym. W drugim roku odsetki liczy się już od $10\,600$ zł, więc wynoszą $636$ zł, a nie $600$ zł.

Odpowiedź: B. Więcej: procenty i zadania z procentów.

Zapisujemy pierwiastki jako potęgi o wykładniku wymiernym:

$\sqrt{5\sqrt{5}} = \left(5 \cdot 5^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} = \left(5^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} = 5^{\frac{3}{4}}.$

Odpowiedź: C. Zobacz: potęga o wykładniku wymiernym.

Różnica logarytmów o tej samej podstawie to logarytm ilorazu:

$\log_8 4 - \log_8 32 = \log_8 \frac{4}{32} = \log_8 \frac{1}{8} = -1,$

bo $8^{-1} = \frac{1}{8}$.

Odpowiedź: B. Własności logarytmów: zastosowanie logarytmów.

Kluczowa obserwacja: $4^{12} = (2^2)^{12} = 2^{24}$, więc

$4^{12} \cdot 5^{24} = 2^{24} \cdot 5^{24} = 10^{24}.$

1. $10^{24}$ jest podzielne przez $20 = 2 \cdot 10$ - prawda.
2. $10^{24}$ to jedynka i $24$ zera, czyli $25$ cyfr - prawda.

Odpowiedź: P, P.

Wyrażenie to kwadrat sumy: $x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2$. Dla $x = \sqrt{2} - 5$ mamy $x + 5 = \sqrt{2}$, więc

$(x + 5)^2 = (\sqrt{2})^2 = 2.$

Podstawianie „na siłę” też da wynik, ale zajmie trzy razy więcej czasu i łatwo o błąd w znakach.

Odpowiedź: A. Zobacz: wzory skróconego mnożenia.

Krok 1. Wyłączamy wspólny czynnik:

$7n^2 + 21n = 7n(n + 3).$

Liczba jest więc podzielna przez $7$. Pozostaje pokazać, że $n(n + 3)$ jest parzyste - wtedy całość dzieli się przez $7 \cdot 2 = 14$.

Krok 2. Parzystość. Liczby $n$ i $n + 3$ różnią się o $3$, czyli o liczbę nieparzystą, więc mają różną parzystość: jedna z nich jest parzysta. Iloczyn $n(n + 3)$ jest zatem parzysty, czyli $n(n + 3) = 2m$ dla pewnej liczby całkowitej $m$.

Krok 3. Wniosek: $7n^2 + 21n = 7 \cdot 2m = 14m$, co kończy dowód. $\blacksquare$

Iloczyn jest równy zeru, gdy któryś czynnik jest zerem: $x = -3$, $x = m$ albo $x = -2$. Suma rozwiązań:

$-3 + m + (-2) = 0 \quad\Longrightarrow\quad m = 5.$

Dla $m = 5$ rozwiązania $-3, -2, 5$ są różne, więc nic się nie „skleja” (gdyby $m$ było równe $-3$ albo $-2$, rozwiązania byłyby tylko dwa).

Odpowiedź: C.

Założenie: $3x - 1 \neq 0$, czyli $x \neq \frac{1}{3}$ (odpada więc od razu odpowiedź A). Mnożymy „na krzyż”:

$5(x + 2) = 2(3x - 1) \quad\Longrightarrow\quad 5x + 10 = 6x - 2 \quad\Longrightarrow\quad x = 12.$

Sprawdzenie: $\frac{14}{35} = \frac{2}{5}$.

Odpowiedź: D.

Krok 1. Porządkujemy: $3x^2 - 2x - 8 \geq 0$.

Krok 2. Miejsca zerowe trójmianu:

$\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 4 + 96 = 100, \qquad \sqrt{\Delta} = 10,$

$x_1 = \frac{2 - 10}{6} = -\frac{4}{3}, \qquad x_2 = \frac{2 + 10}{6} = 2.$

Krok 3. Odczyt znaku. Współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, więc parabola ma ramiona skierowane w górę i przyjmuje wartości nieujemne poza przedziałem między pierwiastkami (razem z nimi).

Odpowiedź: $x \in \left(-\infty, -\frac{4}{3}\right] \cup [2, +\infty)$. Zobacz: nierówności kwadratowe.

Krok 1. Całe wpływy. Po opłaceniu kosztów zostało $75\%$ wpływów, więc

$0{,}75 \cdot W = 4665 \quad\Longrightarrow\quad W = 6220 \text{ zł}.$

Krok 2. Równanie. Niech $x$ oznacza liczbę biletów ulgowych; normalnych było $200 - x$:

$25x + 35(200 - x) = 6220 \quad\Longrightarrow\quad 7000 - 10x = 6220 \quad\Longrightarrow\quad x = 78.$

Sprawdzenie: $78 \cdot 25 + 122 \cdot 35 = 1950 + 4270 = 6220$ zł, a $75\%$ z tego to $4665$ zł.

Odpowiedź: sprzedano $78$ biletów ulgowych.

12.1, zdanie 1. Na pierwszym kawałku: $x + 2 = 3$, więc $x = 1$ - i rzeczywiście $1 \in [-4, 2]$. Na drugim: $-x + 5 = 3$ daje $x = 2$, ale $2 \notin (2, 5)$ - na wykresie to puste kółko w punkcie $(2, 3)$. Jedyne rozwiązanie to $x = 1$.

12.1, zdanie 2. W przedziale $[2, 3]$ mamy $f(2) = 4$ (pełne kółko), a dalej funkcja zaczyna od wartości bliskich $3$ i maleje. Największa wartość to $f(2) = 4$.

12.2, zdanie 1. Pierwszy kawałek przyjmuje wszystkie wartości od $f(-4) = -2$ do $f(2) = 4$, czyli $[-2, 4]$. Drugi przyjmuje wartości z $(0, 3)$, które już się w tym zawierają. Zbiór wartości: $[-2, 4]$.

12.2, zdanie 2. Na $[-4, 2]$: $x + 2 > 1 \iff x > -1$, czyli $(-1, 2]$. Na $(2, 5)$: $-x + 5 > 1 \iff x < 4$, czyli $(2, 4)$. Razem: $(-1, 4)$.

Odpowiedzi: 12.1 - $1$ oraz $4$; 12.2 - $[-2, 4]$ oraz $(-1, 4)$. Więcej: równania i nierówności z wykresu.

Z rysunku: wykres przechodzi przez $(-2, 0)$ i $(0, -3)$. Stąd $b = -3$ i

$a = \frac{-3 - 0}{0 - (-2)} = -\frac{3}{2}.$

13.1. Funkcja maleje, więc $a < 0$ - fałsz. Wykres przecina oś $Oy$ poniżej zera, $b = -3$ - fałsz.

13.2. Współczynnik kierunkowy prostej to tangens kąta jej nachylenia do osi $Ox$: $\operatorname{tg} \alpha = a = -\frac{3}{2}$. Kąt $\alpha$ jest rozwarty, więc tangens musi być ujemny - to od razu eliminuje odpowiedzi C i D.

Odpowiedzi: 13.1 - F, F; 13.2 - A. Zobacz: funkcja liniowa.

Krok 1. Postać kanoniczna. Znamy wierzchołek, więc

$f(x) = a(x - 3)^2 - 2, \qquad a \neq 0.$

Krok 2. Wykorzystujemy $g$. Skoro $g(0) = 0$, to $f(0 + 1) = f(1) = 0$:

$a(1 - 3)^2 - 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 4a = 2 \quad\Longrightarrow\quad a = \frac{1}{2}.$

(Geometrycznie: wykres $g$ to wykres $f$ przesunięty o $1$ w lewo, więc miejsce zerowe $0$ funkcji $g$ odpowiada miejscu zerowemu $1$ funkcji $f$.)

Krok 3. Postać ogólna:

$f(x) = \frac{1}{2}(x^2 - 6x + 9) - 2 = \frac{1}{2}x^2 - 3x + \frac{5}{2}.$

Sprawdzenie: $f(1) = \frac{1}{2} - 3 + \frac{5}{2} = 0$ oraz $f(3) = \frac{9}{2} - 9 + \frac{5}{2} = -2$.

Odpowiedź: $f(x) = \frac{1}{2}x^2 - 3x + \frac{5}{2}$. Zobacz: postać kanoniczna i wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej.

Krok 1. Wyrazy: $a_1 = 8$, $a_9 = 32$, $a_k = 3k + 5$.

Krok 2. Warunek ciągu geometrycznego - kwadrat środkowego wyrazu jest iloczynem skrajnych:

$a_9^2 = a_1 \cdot a_k \quad\Longrightarrow\quad 32^2 = 8(3k + 5) \quad\Longrightarrow\quad 1024 = 24k + 40.$

Krok 3. $24k = 984$, więc $k = 41$.

Sprawdzenie: $a_{41} = 128$, a ciąg $(8, 32, 128)$ ma iloraz $4$.

Odpowiedź: $k = 41$. Zobacz: ciąg geometryczny.

$a_5 = a_1 + 4r$, więc $17 = 1 + 4r$ i $r = 4$. Stąd $a_9 = a_1 + 8r = 1 + 32 = 33$.

Szybciej: $a_5$ leży dokładnie w połowie między $a_1$ a $a_9$, więc $a_9 = 2a_5 - a_1 = 34 - 1 = 33$.

Odpowiedź: B. Zobacz: ciąg arytmetyczny.

Wyrażamy oba iloczyny przez $a_1$ i iloraz $q$:

$a_3 \cdot a_6 = a_1 q^2 \cdot a_1 q^5 = a_1^2 q^7, \qquad a_2 \cdot a_7 = a_1 q \cdot a_1 q^6 = a_1^2 q^7.$

To ten sam iloczyn. Ogólnie: w ciągu geometrycznym $a_m \cdot a_n = a_p \cdot a_r$, gdy $m + n = p + r$ (tu $3 + 6 = 2 + 7$).

Odpowiedź: $18$.

Sinus kąta $\gamma$ to stosunek przyprostokątnej naprzeciw kąta ($AB$) do przeciwprostokątnej. Brakujący bok liczymy z twierdzenia Pitagorasa:

$|AB| = \sqrt{(2\sqrt{10})^2 - 2^2} = \sqrt{40 - 4} = 6, \qquad \sin \gamma = \frac{6}{2\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}.$

Pułapka: odpowiedź A to $\cos \gamma = \frac{2}{2\sqrt{10}}$ - przyprostokątna przy kącie.

Odpowiedź: C. Zobacz: trygonometria kąta ostrego.

Kąt wpisany $CDA$ i kąt środkowy $COA$ opierają się na tym samym łuku $AC$ (tym, na którym leży $B$). Kąt środkowy jest dwa razy większy od wpisanego:

$|\angle COA| = 2 \cdot 50° = 100°.$

Półprosta $OB$ dzieli ten kąt na dwie części, więc $|\angle BOA| = 100° - 30° = 70°$.

Odpowiedź: C. Zobacz: twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym i programik z kątem wpisanym.

Trójkąty $AOD$ i $COB$ są podobne (cecha kąt-kąt): kąty przy $O$ są wierzchołkowe, a kąty $OAD$ i $OCB$ są naprzemianległe przy równoległych $k$ i $l$. Odpowiadające sobie boki są proporcjonalne - $OA$ odpowiada $OC$, a $OD$ odpowiada $OB$:

$\frac{|OD|}{|OB|} = \frac{|OA|}{|OC|} \quad\Longrightarrow\quad |OD| = \frac{12 \cdot 6}{8} = 9.$

Uwaga na odpowiedź D: $16 = \frac{12 \cdot 8}{6}$ wychodzi po sparowaniu niewłaściwych boków.

Odpowiedź: B. Zobacz: twierdzenie Talesa i podobieństwo trójkątów.

Oznaczmy $|\angle LMK| = 2\varphi$. Dwusieczna dzieli ten kąt na połowy: $|\angle KMN| = |\angle NML| = \varphi$.

Krok 1. Pola ze wzoru „z sinusem” ($P = \frac{1}{2} \cdot x \cdot y \cdot \sin$ kąta między bokami):

$P_{KNM} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot |MN| \cdot \sin \varphi, \qquad P_{NLM} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot |MN| \cdot \sin \varphi.$

Krok 2. Stosunek. Czynnik $\frac{1}{2} \cdot |MN| \cdot \sin \varphi$ jest wspólny i niezerowy, więc się skraca:

$\frac{P_{KNM}}{P_{NLM}} = \frac{a}{b}. \qquad \blacksquare$

Inny sposób. Oba trójkąty mają wspólną wysokość opuszczoną z $M$ na prostą $KL$, więc stosunek ich pól równa się $\frac{|KN|}{|NL|}$ - a to, na mocy twierdzenia o dwusiecznej, jest właśnie $\frac{a}{b}$. Przy tej drodze trzeba jednak powołać się na twierdzenie o dwusiecznej; sposób z sinusem jest samowystarczalny.

Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym o boku $x$ to $\frac{2}{3}$ wysokości:

$R = \frac{2}{3} \cdot \frac{x\sqrt{3}}{2} = \frac{x\sqrt{3}}{3} \quad\Longrightarrow\quad x = R\sqrt{3} = 9\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 27.$

Odpowiedź: $27$. Zobacz: okrąg opisany na trójkącie.

Rozbijamy ułamek na dwa (kąt jest ostry, więc $\cos \alpha \neq 0$):

$\frac{3\sin\alpha}{4\cos\alpha} + 1 = 6 \quad\Longrightarrow\quad \frac{3}{4}\operatorname{tg}\alpha = 5 \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{tg}\alpha = \frac{20}{3}.$

Odpowiedź: D.

24.1. Najprościej: bok $AC$ leży na osi $Oy$ i ma długość $2 - (-3) = 5$. Wysokość opuszczona na niego z $B$ to odległość $B$ od osi $Oy$, czyli $2$:

$P = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 2 = 5.$

(Sprawdzenie przez przyprostokątne: $\overrightarrow{BA} = [-2, -4]$, $\overrightarrow{BC} = [-2, 1]$, iloczyn skalarny $4 - 4 = 0$, więc kąt prosty jest przy $B$; $|AB| = 2\sqrt{5}$, $|BC| = \sqrt{5}$ i $P = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 5$.)

24.2. Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym leży w środku przeciwprostokątnej. Kąt prosty jest przy $B$, więc przeciwprostokątną jest $AC$:

$S = \left(\frac{0 + 0}{2}, \frac{-3 + 2}{2}\right) = \left(0, -\frac{1}{2}\right).$

Odpowiedzi: 24.1 - B; 24.2 - D. Zobacz: odległość i środek odcinka.

Równanie okręgu o środku $(1, -3)$ i promieniu $5$ to $(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 25$.

1. $(4 - 1)^2 + (-7 + 3)^2 = 9 + 16 = 25$ - punkt leży na okręgu, prawda.
2. Po prawej stronie musi stać $r^2 = 25$, a nie $r = 5$ - fałsz.

Odpowiedź: P, F. Zobacz: równanie okręgu.

Proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy, więc $l\colon y = -\frac{1}{3}x + b$. Podstawiamy punkt $(2, -2)$:

$-2 = -\frac{2}{3} + b \quad\Longrightarrow\quad b = -\frac{4}{3}.$

Prosta przecina oś $Oy$ w punkcie $(0, b)$.

Odpowiedź: D. Zobacz: równanie prostej.

Krok 1. Wysokość. Spodek wysokości to środek kwadratu. Trójkąt: wysokość $H$, połowa przekątnej $4\sqrt{3}$ i krawędź boczna - kąt $30°$ leży przy połowie przekątnej:

$\operatorname{tg} 30° = \frac{H}{4\sqrt{3}} \quad\Longrightarrow\quad H = 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 4.$

Krok 2. Pole podstawy. Kwadrat o przekątnej $d$ ma pole $\frac{d^2}{2}$:

$P_p = \frac{(8\sqrt{3})^2}{2} = \frac{192}{2} = 96.$

(Bok kwadratu to $\frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{6}$, a $(4\sqrt{6})^2 = 96$.)

Krok 3. Objętość:

$V = \frac{1}{3} \cdot 96 \cdot 4 = 128.$

Odpowiedź: $V = 128$. Zobacz: ostrosłupy.

Niech walec ma promień $r$, a stożek $2r$; wysokość obu to $h$:

$\frac{V_s}{V_w} = \frac{\frac{1}{3}\pi (2r)^2 h}{\pi r^2 h} = \frac{\frac{4}{3}\pi r^2 h}{\pi r^2 h} = \frac{4}{3}.$

Pułapka: odpowiedź C wychodzi, gdy zapomni się podnieść $2$ do kwadratu.

Odpowiedź: D. Zobacz: bryły obrotowe.

Reguła mnożenia - wybieramy cyfry po kolei:

• setki: dowolna cyfra poza zerem - $6$ możliwości ($1$-$6$),
• dziesiątki: dowolna z siedmiu cyfr - $7$ możliwości,
• jedności: cyfra nieparzysta, czyli $1$, $3$ lub $5$ - $3$ możliwości.

Razem $6 \cdot 7 \cdot 3 = 126$ liczb.

Odpowiedź: A. Zobacz: kombinatoryka.

Krok 1. Wszystkie wyniki: $|\Omega| = 5 \cdot 5 = 25$ par (wszystkie jednakowo prawdopodobne).

Krok 2. Zdarzenia sprzyjające. Liczba dzieli się przez $6$, gdy dzieli się przez $2$ i przez $3$. Cyfra jedności pochodzi z $Y$, więc liczba jest zawsze parzysta - wystarczy sprawdzić podzielność przez $3$, czyli czy suma cyfr dzieli się przez $3$. Przechodzimy po cyfrach dziesiątek:

• $1$: $12$, $18$,
• $3$: $30$, $36$,
• $5$: $54$,
• $7$: $72$, $78$,
• $9$: $90$, $96$.

Razem $|A| = 9$.

Krok 3.

$P(A) = \frac{9}{25}.$

Odpowiedź: $P(A) = \frac{9}{25}$. Zobacz: rachunek prawdopodobieństwa.

W obu klasach jest po $1 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1 = 1 + 3 + 6 + 6 + 3 + 1 = 20$ uczniów.

Średnie:

$\bar{x}_A = \frac{1 \cdot 1 + 2 \cdot 6 + 3 \cdot 3 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 6 + 6 \cdot 1}{20} = \frac{70}{20} = 3{,}5,$

$\bar{x}_B = \frac{1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 6 + 4 \cdot 6 + 5 \cdot 3 + 6 \cdot 1}{20} = \frac{70}{20} = 3{,}5.$

Bez liczenia widać to z symetrii: oba diagramy są symetryczne względem środka między oceną $3$ a $4$.

Mediany. Przy $20$ ocenach mediana to średnia $10.$ i $11.$ oceny po uporządkowaniu. W klasie IV A oceny $1$-$3$ ma $1 + 6 + 3 = 10$ uczniów, więc $10.$ ocena to $3$, a $11.$ to $4$ - mediana $3{,}5$. W klasie IV B: $1 + 3 + 6 = 10$, więc tak samo - mediana $3{,}5$.

Odpowiedź: P, P. Zobacz: statystyka.

Ze średnich odtwarzamy sumy: $a + b + c = 3 \cdot 2 = 6$ oraz $d + e + f + g = 4 \cdot 5{,}5 = 22$.

$\bar{x} = \frac{6 + 22}{7} = \frac{28}{7} = 4.$

Pułapka: odpowiedź B to średnia ze średnich, $\frac{2 + 5{,}5}{2} = 3{,}75$ - błędna, bo grupy mają różną liczebność.

Odpowiedź: C.

33.1. Piłeczka jest na ziemi, gdy $h(t) = 0$:

$-4{,}9t^2 + 14{,}7t = 0 \quad\Longrightarrow\quad t(-4{,}9t + 14{,}7) = 0 \quad\Longrightarrow\quad t = 0 \ \text{lub}\ t = 3.$

Chwila $t = 0$ to moment wyrzutu, więc uderzenie następuje w $t = 3$ s.

33.2. Największa wysokość jest w wierzchołku paraboli:

$t_w = \frac{-b}{2a} = \frac{-14{,}7}{2 \cdot (-4{,}9)} = 1{,}5 \text{ s}.$

Można też z symetrii: wierzchołek leży w połowie między miejscami zerowymi $0$ i $3$. Wysokość maksymalna to $h(1{,}5) = 11{,}025$ m.

Odpowiedzi: 33.1 - D; 33.2 - A. Zobacz: funkcja kwadratowa w zadaniach tekstowych.