Statystyka: średnia, mediana, dominanta, odchylenie standardowe

Statystyka opisowa zajmuje się porządkowaniem i opisywaniem danych liczbowych: wyników sprawdzianu, temperatur, cen, wynagrodzeń. Zamiast wypisywać wszystkie dane, podaje się kilka liczb, które je streszczają - miary położenia (gdzie leży „typowa” wartość) i miary rozproszenia (jak bardzo dane się od niej różnią).

Średnia arytmetyczna

Średnia arytmetyczna to suma danych podzielona przez ich liczbę:

$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}.$

Przykład. Dla danych $3, 5, 5, 6, 8, 9$: $\bar{x} = \frac{36}{6} = 6$.

Średnia ma jedną wadę: jest bardzo wrażliwa na wartości odstające. Jeśli czterech pracowników zarabia po $3000$ zł, a szef $20\,000$ zł, średnia pensja wynosi $\frac{4 \cdot 3000 + 20\,000}{5} = 6400$ zł - więcej, niż dostaje ktokolwiek z czterech pracowników. Dlatego o wynagrodzeniach mówi się zwykle za pomocą mediany.

Średnia ważona

Gdy dane mają różne znaczenie, każdą mnożymy przez jej wagę, a sumę dzielimy przez sumę wag:

$\bar{x}_w = \frac{w_1 x_1 + w_2 x_2 + \ldots + w_n x_n}{w_1 + w_2 + \ldots + w_n}.$

Przykład. Uczeń dostał $4$ ze sprawdzianu (waga $3$), $5$ z kartkówki (waga $1$) i $3$ z odpowiedzi (waga $2$):

$\bar{x}_w = \frac{3 \cdot 4 + 1 \cdot 5 + 2 \cdot 3}{3 + 1 + 2} = \frac{23}{6} \approx 3{,}83.$

Inne rodzaje średnich - geometryczną i harmoniczną - omawia lekcja średnie: arytmetyczna, ważona, geometryczna, harmoniczna, a zależność między nimi - nierówność między średnimi.

Mediana

Mediana to wartość środkowa danych uporządkowanych od najmniejszej do największej:

• przy nieparzystej liczbie danych - dokładnie środkowa wartość;
• przy parzystej liczbie danych - średnia arytmetyczna dwóch środkowych wartości.

Przykład. Dane $3, 5, 5, 6, 8, 9$ są już uporządkowane, a jest ich sześć. Środkowe to $5$ i $6$, więc mediana wynosi $\frac{5 + 6}{2} = 5{,}5$.

W przykładzie z pensjami ($3000, 3000, 3000, 3000, 20\,000$) mediana to $3000$ zł - dokładnie tyle, ile zarabia typowy pracownik. Na medianę wartość odstająca prawie nie wpływa.

Uwaga. Przed wyznaczeniem mediany dane trzeba uporządkować. Środkowa wartość w kolejności, w jakiej je zapisano, to najczęstszy błąd w zadaniach.

Dominanta

Dominanta (moda) to wartość, która występuje najczęściej. W danych $3, 5, 5, 6, 8, 9$ dominantą jest $5$. Dominant może być kilka (gdy kilka wartości występuje tyle samo razy), a gdy każda wartość pojawia się raz - dominanty nie ma. Dominanta ma sens także dla danych nieliczbowych, np. najczęściej wybierany kolor.

Rozstęp, wariancja i odchylenie standardowe

Miary rozproszenia mówią, jak bardzo dane różnią się od siebie.

• Rozstęp - różnica największej i najmniejszej wartości: dla $3, 5, 5, 6, 8, 9$ to $9 - 3 = 6$.
• Wariancja $\sigma^2$ - średnia kwadratów odchyleń danych od średniej.
• Odchylenie standardowe $\sigma$ - pierwiastek z wariancji; ma tę samą jednostkę co dane, więc łatwiej je interpretować.

Przykład. Dla danych $3, 5, 5, 6, 8, 9$ średnia to $6$.

Krok 1. Odchylenia od średniej: $-3, -1, -1, 0, 2, 3$.

Krok 2. Kwadraty odchyleń: $9, 1, 1, 0, 4, 9$ - razem $24$.

Krok 3. Wariancja i odchylenie:

$\sigma^2 = \frac{24}{6} = 4, \qquad \sigma = \sqrt{4} = 2.$

Wariancję można też liczyć jako średnią kwadratów minus kwadrat średniej: $\sigma^2 = \overline{x^2} - \bar{x}^2$. Tutaj $\overline{x^2} = \frac{9 + 25 + 25 + 36 + 64 + 81}{6} = 40$, więc $\sigma^2 = 40 - 36 = 4$ - ten sam wynik.

Dane w tabeli liczebności

Gdy wartości się powtarzają, dane podaje się w tabeli: wartość i liczba jej wystąpień (liczebność). Przykład - oceny w grupie dziesięciu uczniów:

• ocena $2$ - $1$ uczeń,
• ocena $3$ - $4$ uczniów,
• ocena $4$ - $3$ uczniów,
• ocena $5$ - $2$ uczniów.

Średnia to średnia ważona liczebnościami: $\bar{x} = \frac{2 \cdot 1 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 2}{10} = \frac{36}{10} = 3{,}6$.

Mediana: po uporządkowaniu dane to $2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5$; piąta i szósta wartość to $3$ i $4$, więc mediana wynosi $3{,}5$.

Dominanta: $3$ (występuje najczęściej, cztery razy).

Wariancja: $\sigma^2 = \frac{1 \cdot 2{,}56 + 4 \cdot 0{,}36 + 3 \cdot 0{,}16 + 2 \cdot 1{,}96}{10} = 0{,}84$, czyli $\sigma \approx 0{,}92$.

Najczęstsze pytania

Czym różni się średnia od mediany? Średnia uwzględnia wartość każdej danej, więc przesuwa ją nawet jedna wartość skrajna. Mediana to wartość środkowa - połowa danych jest od niej mniejsza, połowa większa - i na wartości odstające prawie nie reaguje.

Jak obliczyć medianę przy parzystej liczbie danych? Uporządkuj dane i weź średnią arytmetyczną dwóch środkowych wartości. Dla $2, 4, 7, 9$ mediana to $\frac{4 + 7}{2} = 5{,}5$.

Co to jest dominanta? Wartość występująca w danych najczęściej. Może ich być kilka albo może jej nie być wcale.

Co mówi odchylenie standardowe? Jak bardzo dane są rozrzucone wokół średniej. Małe odchylenie oznacza, że wyniki są skupione blisko średniej, duże - że są od niej odległe. Ma tę samą jednostkę co dane.

Czym różni się wariancja od odchylenia standardowego? Odchylenie standardowe to pierwiastek z wariancji. Wariancja ma jednostkę „do kwadratu” (np. zł²), więc do opisu danych częściej używa się odchylenia.

Przećwicz

• Średnia arytmetyczna → - brakująca liczba, dopisany lub usunięty wynik, ile piątek do średniej.
• Średnia ważona → - oceny z wagami, tabela liczebności, cena mieszanki, średnia dwóch klas.
• Mediana i dominanta → - parzysta i nieparzysta liczba danych, tabela, niewiadoma $x$.
• Wariancja i odchylenie standardowe → - z definicji, wzorem skróconym, z tabeli i porównanie rozrzutu.
• Dane z diagramu i tabeli → - diagramy słupkowe, procenty i brakujący słupek.

Wszystkie zadania z działu: statystyka - zadania z rozwiązaniami.

Podsumowanie

• Średnia $\bar{x}$ - suma przez liczbę danych; ważona - z wagami; wrażliwa na wartości odstające.
• Mediana - środkowa wartość danych uporządkowanych; dominanta - wartość najczęstsza.
• Rozstęp - największa minus najmniejsza; wariancja $\sigma^2$ - średnia kwadratów odchyleń; odchylenie standardowe $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$.
• $\sigma^2 = \overline{x^2} - \bar{x}^2$ - szybszy wzór na wariancję.
• Pokrewny dział: rachunek prawdopodobieństwa.