Proste nierówności z wartością bezwzględną

Klasa 2 liceum i technikum

„Blisko” i „daleko”

Cała lekcja sprowadza się do jednego obrazka: $|W|$ to odległość od zera.

• $|W| < r$ znaczy „blisko zera”, czyli między $-r$ a $r$ - jeden przedział;
• $|W| > r$ znaczy „daleko od zera”, czyli poza tym przedziałem - suma dwóch przedziałów.

To rozróżnienie jest najczęstszym źródłem błędów, więc warto je sobie utrwalić rysunkiem, a nie regułką.

Przykład 1 - nierówność „mniej niż”

Rozwiąż $|x - 2| < 5$.

Sposób geometryczny. Szukamy liczb oddalonych od $2$ o mniej niż $5$: od $2 - 5 = -3$ do $2 + 5 = 7$.

Sposób rachunkowy. Zapisujemy podwójną nierówność i dodajemy $2$ do wszystkich części:

$-5 < x - 2 < 5 \quad\Longrightarrow\quad -3 < x < 7.$

Odpowiedź. $x \in (-3;\ 7)$.

Przykład 2 - nierówność „więcej niż”

Rozwiąż $|x + 1| \ge 4$.

Krok 1. Rozbijamy na dwa przypadki:

$x + 1 \le -4 \qquad \text{lub} \qquad x + 1 \ge 4.$

Krok 2. Rozwiązujemy każdy osobno:

$x \le -5 \qquad \text{lub} \qquad x \ge 3.$

Krok 3. Zapisujemy sumę przedziałów (nierówność nieostra, więc końce domknięte):

$x \in (-\infty;\ -5\rangle \cup \langle 3;\ +\infty).$

Sprawdzenie. Liczba $-5$ jest oddalona od $-1$ o $4$ - spełnia warunek „co najmniej $4$”. Liczba $0$ jest oddalona o $1$, więc nie należy do rozwiązania. Zgadza się.

Przykład 3 - z wyrażeniem pod modułem

Rozwiąż $|2x - 6| \le 4$.

$-4 \le 2x - 6 \le 4 \quad\Longrightarrow\quad 2 \le 2x \le 10 \quad\Longrightarrow\quad 1 \le x \le 5.$

Odpowiedź. $x \in \langle 1;\ 5\rangle$.

Uwaga. Dodając i dzieląc, wykonujemy działanie na wszystkich trzech częściach nierówności. Gdybyśmy dzielili przez liczbę ujemną, trzeba by odwrócić oba znaki.

Przypadki szczególne

Gdy po prawej stronie stoi liczba niedodatnia, odpowiedź wynika wprost z tego, że moduł jest nieujemny - bez żadnych rachunków:

• $|W| < -2$ - brak rozwiązań (moduł nie bywa ujemny);
• $|W| \le 0$ - rozwiązaniem jest tylko $W = 0$;
• $|W| > -2$ - spełnione przez każdą liczbę rzeczywistą;
• $|W| \ge 0$ - również spełnione zawsze.

Przykład. Nierówność $|x - 7| > -1$ jest prawdziwa dla każdego $x$, więc odpowiedź to $x \in \mathbb{R}$.

Zapis odpowiedzi

• nierówność ostra ($<$, $>$) $\Rightarrow$ przedziały otwarte;
• nierówność nieostra ($\le$, $\ge$) $\Rightarrow$ przedziały domknięte w końcach;
• przy „daleko od środka” łączymy przedziały znakiem sumy $\cup$;
• przy nieskończoności zawsze nawias okrągły.

Najczęstsze pytania

Jak nie pomylić jednego przedziału z sumą dwóch? Przetłumacz nierówność na słowa. „Odległość mniejsza niż $r$” trzyma liczby blisko środka - jeden przedział. „Odległość większa niż $r$” wypycha je na zewnątrz - dwa przedziały.

Czy podwójną nierówność zawsze można zapisać? Tylko dla „$<$” i „$\le$”. Przy „$>$” nie da się jej zapisać jednym łańcuchem - trzeba użyć dwóch nierówności połączonych słowem „lub”.

Co zrobić, gdy pod modułem jest współczynnik przy $x$? Nic specjalnego - rozwiązujemy nierówność jak zwykle, pamiętając o dzieleniu wszystkich części przez ten współczynnik (i o zmianie znaków, gdy jest ujemny).

Czy rozwiązaniem może być zbiór pusty? Tak - np. $|x| < -1$ albo $|x| \le -3$. Moduł nigdy nie jest ujemny, więc takie nierówności są sprzeczne.

Czy trzeba rysować oś liczbową? Nie trzeba, ale bardzo pomaga - szczególnie przy „daleko od środka”, gdzie łatwo pomylić się w zapisie sumy przedziałów.

Przećwicz

• Proste równania i nierówności z modułem →
  • oba typy nierówności wraz z przypadkami szczególnymi.

Podsumowanie

• $|W| < r$ (dla $r>0$) $\iff$ $-r < W < r$ - jeden przedział.
• $|W| > r$ (dla $r>0$) $\iff$ $W < -r$ lub $W > r$ - suma dwóch przedziałów.
• Nierówności nieostre zmieniają jedynie otwartość końców.
• Prawa strona ujemna rozstrzyga zadanie od razu: „$<$” - brak rozwiązań, „$>$” - całe $\mathbb{R}$.