Działania na wyrażeniach algebraicznych

Klasa 1 liceum i technikum

Wyrażenia algebraiczne

Wyrażenie algebraiczne to zapis zbudowany z liczb, liter (oznaczających zmienne) i znaków działań, np. $3x^2 - 2x + 5$. Pojedynczy składnik będący iloczynem liczby i potęg zmiennych nazywamy jednomianem (np. $3x^2$), a stojącą przy nim liczbę - współczynnikiem.

Redukcja wyrazów podobnych

Wyrazy podobne to jednomiany mające te same zmienne w tych samych potęgach (różnią się co najwyżej współczynnikiem), np. $3x$ i $5x$ albo $-2a^2b$ i $7a^2b$. Wyrazy podobne możemy zredukować, czyli dodać ich współczynniki:

$3x + 5x = 8x, \qquad 7a^2 - 2a^2 = 5a^2.$

Opuszczanie nawiasów

Gdy przed nawiasem stoi znak plus, opuszczamy nawias bez zmian. Gdy stoi znak minus, przy opuszczaniu nawiasu zmieniamy znaki wszystkich wyrazów w jego wnętrzu:

$a + (b - c) = a + b - c, \qquad a - (b - c) = a - b + c.$

Przykład.

$(4x + 3) - (x - 5) = 4x + 3 - x + 5 = 3x + 8.$

Mnożenie wyrażeń

Mnożąc jednomian przez sumę, korzystamy z rozdzielności mnożenia względem dodawania:

$a(b + c) = ab + ac.$

Mnożąc dwie sumy, mnożymy każdy składnik przez każdy:

$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.$

Przykład.

$(x + 2)(x - 3) = x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6.$

Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias

Działanie odwrotne do mnożenia przez sumę to wyłączenie wspólnego czynnika przed nawias:

$ab + ac = a(b + c).$

Przykład.

$6x^2 + 9x = 3x(2x + 3).$

Wspólnym czynnikiem jest tu $3x$ - największy jednomian, przez który dzielą się oba wyrazy.

Najczęstsze pytania

Które wyrazy wolno redukować? Tylko podobne, czyli takie, które mają tę samą część literową z tymi samymi wykładnikami. Można dodać $3x$ i $5x$, ale nie $3x$ i $5x^2$ ani $3x$ i $5y$ - te ostatnie zostają obok siebie.

Co się dzieje ze znakami przy opuszczaniu nawiasu? Gdy przed nawiasem stoi plus, znaki zostają bez zmian. Gdy minus - każdy znak w nawiasie zmienia się na przeciwny: $-(2x - 5) = -2x + 5$. To źródło większości błędów w tym temacie.

Jak mnożyć dwa nawiasy? Każdy składnik pierwszego przez każdy składnik drugiego, a potem redukcja wyrazów podobnych. Dla nawiasów dwuwyrazowych daje to cztery iloczyny. Gdy nawiasy pasują do wzoru skróconego mnożenia, wynik można zapisać od razu.

Po co wyłączać wspólny czynnik przed nawias? Żeby uprościć wyrażenie i umożliwić skracanie ułamków algebraicznych - a przy równaniach, by skorzystać z zasady „iloczyn jest zerem, gdy któryś czynnik jest zerem”. To krok odwrotny do wymnażania nawiasu.

Przećwicz

Działania na wyrażeniach algebraicznych najlepiej utrwalić na zadaniach. Zobaczmy typowy przykład krok po kroku.

Zadanie. Doprowadź do najprostszej postaci $3(x - 2) - 2(x - 5)$.

Krok 1. Wymnażamy nawiasy (uwaga na minus przed drugim): $3(x-2) = 3x - 6$ oraz $-2(x-5) = -2x + 10$.

Krok 2. Redukujemy wyrazy podobne:

$3x - 6 - 2x + 10 = x + 4.$

Odpowiedź. $3(x - 2) - 2(x - 5) = x + 4.$

Chcesz więcej? Zadania z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku, pogrupowane według rodzaju:

• Redukcja wyrazów podobnych → - dodawanie współczynników przy tych samych jednomianach.
• Mnożenie sum algebraicznych → - wymnażanie nawiasów (np. $(x+3)(x-2)$).
• Wyłączanie wspólnego czynnika → - rozkład na czynniki (np. $12x^2y - 8xy^2$).
• Doprowadzanie do najprostszej postaci → - mnożenie i redukcja w jednym.
• Równania z przekształcaniem wyrażeń → - najpierw upraszczamy, potem rozwiązujemy.

Albo zobacz wszystkie zadania z działań na wyrażeniach →.