Wektor na płaszczyźnie

Klasa 2 liceum i technikum

Po co nam wektor przy wykresach

Bo przesunięcie wykresu to przesunięcie każdego jego punktu o to samo - w tę samą stronę i o tę samą odległość. Dokładnie taką informację niesie wektor. Zamiast pisać „przesuń o trzy w prawo i dwa w górę”, powiemy krótko: „przesuń o wektor $\vec{u} = [3, 2]$”.

Odcinek a wektor

Odcinek $AB$ i odcinek $BA$ to ten sam odcinek - kolejność liter nic nie zmienia. Przy wektorach jest inaczej: $\vec{AB}$ i $\vec{BA}$ to różne wektory, bo mają przeciwne zwroty.

Wektor ma trzy cechy:

• kierunek - wyznaczony przez prostą, na której leży wektor (mówimy: „kierunek poziomy”, „kierunek prostej $AB$”);
• zwrot - jedna z dwóch możliwości na tej prostej (w prawo albo w lewo, w górę albo w dół);
• długość - odległość między początkiem a końcem, oznaczana $|\vec{AB}|$.

Wektory równe - dlaczego położenie nie ma znaczenia

To najważniejsza umowa w całym dziale. Dwa wektory uznajemy za równe, gdy zgadzają się ich kierunek, zwrot i długość - niezależnie od tego, gdzie mają początek. Taki wektor nazywamy swobodnym: możemy go przesuwać po całej płaszczyźnie, byle nie zmieniać jego „strzałkowatości”.

Dzięki temu jeden wektor $\vec{u} = [3, 2]$ opisuje przesunięcie każdego punktu figury - nie musimy dla każdego punktu rysować osobnej strzałki.

Wektor przeciwny i wektor zerowy

Wektor przeciwny $-\vec{u}$ powstaje przez odwrócenie zwrotu. Jeśli $\vec{u} = \vec{AB}$, to $-\vec{u} = \vec{BA}$.

Wektor zerowy $\vec{0}$ ma początek i koniec w tym samym punkcie, więc jego długość wynosi zero, a kierunku i zwrotu nie określamy. Przesunięcie o wektor zerowy niczego nie zmienia - to odpowiednik dodania zera.

Dodawanie wektorów

Dwa przesunięcia wykonane jedno po drugim dają w efekcie jedno przesunięcie - i właśnie to zapisujemy jako sumę wektorów. Praktycznie robi się to metodą trójkąta: koniec pierwszego wektora staje się początkiem drugiego, a suma to strzałka od początku pierwszego do końca drugiego.

$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}.$

Ta prosta równość przyda się przy składaniu przesunięć: przesunięcie o $\vec{u}$, a potem o $\vec{v}$, to jedno przesunięcie o $\vec{u} + \vec{v}$.

Długość wektora

Długość $|\vec{AB}|$ to po prostu odległość punktów $A$ i $B$. Zawsze jest liczbą nieujemną, a zero przyjmuje tylko dla wektora zerowego. Jak ją policzyć, gdy znamy współrzędne, pokazuje następna lekcja.

Najczęstsze pytania

Czym różni się wektor od odcinka? Odcinek to zbiór punktów - nie ma zwrotu. Wektor jest odcinkiem skierowanym: ma wyróżniony początek i koniec, więc $\vec{AB}$ i $\vec{BA}$ to co innego, choć leżą w tym samym miejscu.

Czy dwa wektory leżące w różnych miejscach mogą być równe? Tak, i to jest sedno pojęcia wektora swobodnego. Liczy się wyłącznie kierunek, zwrot i długość - położenie początku nie ma znaczenia.

Czym różni się kierunek od zwrotu? Kierunek wyznacza prosta (np. „poziomy”), a zwrot mówi, w którą stronę tej prostej idziemy (w prawo albo w lewo). Wektor przeciwny ma ten sam kierunek i przeciwny zwrot.

Czy wektor zerowy ma kierunek? Nie określamy go - początek pokrywa się z końcem, więc nie ma prostej, którą można by wskazać. Umawiamy się jednak, że wektor zerowy jest równoległy do każdego wektora.

Do czego wektory przydają się poza matematyką? Do opisu wszystkiego, co ma wartość i kierunek: prędkości, siły, przyspieszenia. W fizyce mówi się „siła $10$ N skierowana w prawo” - to dokładnie wektor.

Przećwicz

• Wektory w układzie współrzędnych → - współrzędne wektora, długość, działania i wektory równe.

Podsumowanie

• Wektor to odcinek skierowany: kierunek, zwrot i długość.
• Wektory równe mają te trzy cechy identyczne - położenie początku nie ma znaczenia (wektor swobodny).
• Wektor przeciwny ma odwrócony zwrot: $-\vec{AB} = \vec{BA}$.
• Wektor zerowy ma długość $0$; przesunięcie o niego niczego nie zmienia.
• Sumę wektorów wyznaczamy metodą trójkąta: $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.