Dziedzina funkcji - jak ją wyznaczyć krok po kroku

Klasa 1 liceum i technikum

Czym jest dziedzina

Dziedzina funkcji to zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja jest określona - czyli wszystkich liczb, które wolno „wrzucić do maszyny”. Oznaczamy ją $D$ lub $D_f$.

Czasem dziedzinę podaje się wprost, np. „funkcja $f(x) = 2x$ określona na zbiorze $\langle 0; 10 \rangle$”. Częściej jednak dostajemy sam wzór i musimy sami ustalić, dla jakich liczb ma on sens.

Dziedzina naturalna

Dziedziną naturalną funkcji danej wzorem nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, dla których wzór da się obliczyć (ma sens liczbowy).

Innymi słowy: bierzemy wszystkie liczby rzeczywiste i wyrzucamy te, które psują wzór. Są dokładnie trzy sytuacje, w których wzór się „psuje”. Przejdźmy je po kolei.

Warunek 1: nie dzielimy przez zero

Jeśli we wzorze jest ułamek z niewiadomą w mianowniku, to mianownik nie może być równy zero - przez zero dzielić nie wolno.

Przykład. Wyznacz dziedzinę funkcji $f(x) = \dfrac{1}{x - 3}$.

Mianownik to $x - 3$. Żądamy, aby był różny od zera:

$x - 3 \ne 0 \quad\Longrightarrow\quad x \ne 3.$

Dziedziną są więc wszystkie liczby rzeczywiste poza $3$:

$D = \mathbb{R} \setminus \{3\}.$

Warunek 2: pod pierwiastkiem parzystego stopnia liczba nieujemna

Pierwiastek kwadratowy (i każdy parzystego stopnia) istnieje tylko z liczby nieujemnej - nie ma liczby rzeczywistej, której kwadrat byłby ujemny. Dlatego wyrażenie pod takim pierwiastkiem musi być większe lub równe zero.

Przykład. Wyznacz dziedzinę funkcji $f(x) = \sqrt{x - 5}$.

Wyrażenie pod pierwiastkiem to $x - 5$. Żądamy, aby było nieujemne:

$x - 5 \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad x \ge 5.$

Stąd dziedzina to przedział:

$D = \langle 5; +\infty).$

(Pierwiastek nieparzystego stopnia, np. $\sqrt[3]{x}$, istnieje dla każdej liczby - z niego ograniczeń nie ma.)

Warunek 3: logarytm

W logarytmie $\log_a b$ liczba logarytmowana $b$ musi być dodatnia, a podstawa $a$ dodatnia i różna od $1$. W typowych zadaniach niewiadoma siedzi w liczbie logarytmowanej, więc pilnujemy warunku $b > 0$.

Przykład. Wyznacz dziedzinę funkcji $f(x) = \log_2 (x + 4)$.

Liczba logarytmowana to $x + 4$. Musi być dodatnia:

$x + 4 > 0 \quad\Longrightarrow\quad x > -4.$

Zatem:

$D = (-4; +\infty).$

Gdy warunków jest kilka naraz

Jeżeli we wzorze pojawia się więcej niż jeden „kłopotliwy” element, każdy z nich daje osobny warunek, a dziedziną jest część wspólna wszystkich uzyskanych zbiorów - liczba musi spełniać wszystkie warunki jednocześnie.

Przykład. Wyznacz dziedzinę funkcji $f(x) = \dfrac{\sqrt{x + 2}}{x - 1}$.

Krok 1. Pierwiastek parzystego stopnia - wyrażenie pod nim nieujemne:

$x + 2 \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad x \ge -2.$

Krok 2. Ułamek - mianownik różny od zera:

$x - 1 \ne 0 \quad\Longrightarrow\quad x \ne 1.$

Krok 3. Bierzemy część wspólną: liczby spełniające $x \ge -2$, ale z wyłączeniem $x = 1$:

$D = \langle -2; 1) \cup (1; +\infty).$

Dlaczego dziedzina jest ważna

Bez ustalonej dziedziny nie da się sensownie mówić o pozostałych własnościach funkcji - zbiorze wartości, miejscach zerowych czy monotoniczności. Dlatego wyznaczenie dziedziny to zwykle pierwszy krok w badaniu funkcji. Przyda się tu sprawne rozwiązywanie nierówności oraz zapis wyniku w postaci przedziałów.

Najczęstsze pytania

Czym różni się dziedzina od dziedziny naturalnej? Dziedzina to zbiór argumentów, dla których funkcja została określona - może ją narzucić treść zadania (np. „$x$ to liczba uczniów”). Dziedzina naturalna to największy zbiór, dla którego sam wzór ma sens. Gdy zadanie nic nie mówi, przyjmujemy naturalną.

Jaka jest dziedzina funkcji liniowej, kwadratowej i wykładniczej? Cały zbiór liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$. We wzorach $ax + b$, $ax^2 + bx + c$ i $a^x$ nie ma dzielenia przez wyrażenie z $x$, pierwiastka parzystego stopnia ani logarytmu - żaden z trzech warunków nie wyklucza żadnej liczby.

Jaka jest dziedzina funkcji logarytmicznej? Dla $f(x) = \log_a x$ dziedziną jest przedział $(0, +\infty)$, bo logarytmować można tylko liczby dodatnie. Gdy pod logarytmem stoi wyrażenie, np. $\log(x - 2)$, warunkiem jest $x - 2 > 0$, czyli dziedzina $(2, +\infty)$ - szerzej w lekcji o funkcji logarytmicznej.

Czy pierwiastek trzeciego stopnia też ogranicza dziedzinę? Nie. Ograniczenie dotyczy pierwiastków stopnia parzystego. Pierwiastek nieparzysty istnieje dla każdej liczby rzeczywistej, bo $\sqrt[3]{-8} = -2$.

Co, gdy warunki się wykluczają? Dziedziną jest wtedy zbiór pusty - funkcja nie jest określona dla żadnej liczby. Tak dzieje się np. dla $f(x) = \sqrt{x-5} + \sqrt{1-x}$: pierwszy warunek daje $x \ge 5$, drugi $x \le 1$, a te przedziały nie mają części wspólnej.

Dlaczego przy kilku warunkach bierzemy część wspólną, a nie sumę? Bo wzór musi mieć sens jednocześnie w każdym miejscu, gdzie występuje. Argument, który psuje choćby jeden fragment wzoru, nie należy do dziedziny - stąd iloczyn zbiorów, nie suma.

Czy zmiana wzoru może zmienić dziedzinę? Tak, i trzeba na to uważać przy skracaniu. Funkcja $f(x) = \dfrac{x^2-4}{x-2}$ ma dziedzinę $\mathbb{R} \setminus \{2\}$, mimo że po skróceniu wzór wygląda jak $x + 2$. Dziedzinę ustalamy przed przekształceniami.

Przećwicz

• Dziedzina funkcji → - ułamek, pierwiastek i oba warunki naraz.

Podsumowanie

• Dziedzina to zbiór dozwolonych argumentów; dziedzina naturalna to wszystkie liczby, dla których wzór ma sens.
• Trzy warunki do sprawdzenia: mianownik $\ne 0$, wyrażenie pod pierwiastkiem parzystym $\ge 0$, liczba logarytmowana $> 0$ (oraz podstawa logarytmu $> 0$ i $\ne 1$).
• Gdy warunków jest kilka, dziedziną jest ich część wspólna.