Wzór Eulera dla wielościanów

Co mówi wzór

Weźmy sześcian: ma $8$ wierzchołków, $12$ krawędzi i $6$ ścian. Sprawdzamy:

$8 - 12 + 6 = 2.$

Weźmy czworościan: $4 - 6 + 4 = 2$. Ośmiościan: $6 - 12 + 8 = 2$. Piramida o podstawie pięciokątnej: $6 - 10 + 6 = 2$. Za każdym razem wychodzi dwójka - niezależnie od tego, jak skomplikowana jest bryła, jak długie są jej krawędzie i czy ściany są trójkątami, czy dwudziestokątami.

To jeden z pierwszych wyników topologicznych w historii: mówi o czymś, co nie zmienia się przy dowolnym rozciąganiu i wyginaniu bryły.

Sprawdzenie na wielościanach foremnych

• czworościan: $W = 4$, $K = 6$, $S = 4$ → $4 - 6 + 4 = 2$;
• sześcian: $8 - 12 + 6 = 2$;
• ośmiościan: $6 - 12 + 8 = 2$;
• dwunastościan: $20 - 30 + 12 = 2$;
• dwudziestościan: $12 - 30 + 20 = 2$.

Dowód

Konsekwencja: wielościanów foremnych jest dokładnie pięć

To najpiękniejszy wniosek z tego wzoru - fakt znany Grekom, ale dopiero tutaj naprawdę udowodniony.

Krok 1. Oznaczenia. Niech każda ściana ma $p$ boków, a w każdym wierzchołku schodzi się $q$ krawędzi. Z definicji wielościanu foremnego $p \geq 3$ i $q \geq 3$.

Krok 2. Liczymy krawędzie dwa razy. Każda krawędź należy do dwóch ścian i łączy dwa wierzchołki:

$p \cdot S = 2K, \qquad q \cdot W = 2K.$

Krok 3. Podstawiamy do wzoru Eulera. Z powyższego $S = \tfrac{2K}{p}$ oraz $W = \tfrac{2K}{q}$, więc

$\frac{2K}{q} - K + \frac{2K}{p} = 2.$

Krok 4. Dzielimy przez $2K$ (dodatnie):

$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} - \frac{1}{2} = \frac{1}{K} > 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{p} + \frac{1}{q} > \frac{1}{2}.$

Krok 5. Sprawdzamy, ile par to spełnia. Dla $p, q \geq 3$ nierówność ogranicza możliwości do pięciu par:

• $(p,q) = (3,3)$ - czworościan;
• $(4,3)$ - sześcian;
• $(3,4)$ - ośmiościan;
• $(5,3)$ - dwunastościan;
• $(3,5)$ - dwudziestościan.

Już dla $p = q = 4$ mamy $\tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{4} = \tfrac{1}{2}$, czyli równość - a więc bryła nie istnieje (to „parkiet” z kwadratów na płaszczyźnie). $\blacksquare$

Nie ma znaczenia, jak długo szukać: szóstego wielościanu foremnego nie ma i być nie może.

Kiedy wzór daje inny wynik

Liczba $2$ nie jest magiczna - to charakterystyka Eulera powierzchni, na której leży nasza figura. Dla sfery (a każdy wielościan wypukły da się na nią „napompować”) wynosi ona $2$, ale:

• dla torusa (bryły z jedną dziurą, jak obwarzanek) charakterystyka wynosi $0$: wielościan o kształcie ramki spełnia $W - K + S = 0$;
• ogólnie dla powierzchni o $g$ dziurach: $W - K + S = 2 - 2g$.

To dlatego wzór wymaga wypukłości - a ściślej: braku dziur. Wystarczy przewiercić w bryle tunel, by wynik przestał być dwójką. Charakterystyka Eulera jest niezmiennikiem topologicznym: odróżnia kubek z uchem od piłki, ale nie odróżnia kubka od obwarzanka.

Po co to komu

• Grafy planarne. Ze wzoru Eulera wynika, że w grafie planarnym o $W \geq 3$ wierzchołkach zachodzi $K \leq 3W - 6$. Stąd natychmiast: graf pełny $K_5$ nie jest planarny (miałby $10 > 9$ krawędzi), podobnie jak $K_{3,3}$ - a to punkt wyjścia całej teorii grafów planarnych i projektowania obwodów drukowanych.
• Chemia. Fullereny (cząsteczki węgla zbudowane z pięcio- i sześciokątów) muszą mieć dokładnie 12 pięciokątów - niezależnie od wielkości cząsteczki. To wynik rachunku ze wzoru Eulera, potwierdzony eksperymentalnie dla $C_{60}$ i wszystkich znanych fullerenów. Ta sama zasada rządzi kształtem piłki nożnej.
• Grafika komputerowa. Siatki wielokątów sprawdza się pod kątem poprawności właśnie charakterystyką Eulera - jeśli nie wychodzi $2$, w modelu jest dziura albo błąd topologiczny.

Kto i kiedy

Zależność zauważył jako pierwszy René Descartes około 1630 roku, ale jego notatki odnaleziono dopiero dwa wieki później. Niezależnie odkrył ją i ogłosił Leonhard Euler w 1750 roku, podając dowód dwa lata później - dowód, jak się okazało, niekompletny. Poprawną wersję, opartą na spłaszczaniu do grafu, podał Augustin-Louis Cauchy w 1813 roku.

Wzór stał się zalążkiem topologii. Sto lat po Eulerze Henri Poincaré uogólnił charakterystykę na dowolne wymiary, a dziś jest ona jednym z podstawowych narzędzi tej dziedziny. Ta sama praca Eulera z problemem mostów królewieckich uchodzi za początek teorii grafów - obie idee wyrosły z tego samego pomysłu: liczy się struktura, nie kształt.

Najczęstsze pytania

Czy wzór działa dla wielościanów niewypukłych? Tak, o ile bryła jest topologicznie sferą (bez dziur i bez sklejonych fragmentów). Wypukłość jest warunkiem wygodnym, ale nie koniecznym.

Co się dzieje przy wielościanie z dziurą? Wynik spada do zera (jedna dziura), a ogólnie do $2 - 2g$ przy $g$ dziurach. Wzór wciąż działa - tylko liczy coś innego niż dwójkę.

Dlaczego wielościanów foremnych jest tylko pięć? Bo warunek $\tfrac{1}{p} + \tfrac{1}{q} > \tfrac{1}{2}$ ma dokładnie pięć rozwiązań w liczbach całkowitych $\geq 3$. Cały dowód zajmuje kilka linijek - powyżej.

Skąd wiadomo, że fulleren ma 12 pięciokątów? Z rachunku: przy ścianach pięcio- i sześciokątnych oraz trzech krawędziach w każdym wierzchołku wzór Eulera daje $12$ pięciokątów niezależnie od liczby sześciokątów.

Czym jest charakterystyka Eulera? Liczbą $W - K + S$ traktowaną jako cecha powierzchni, a nie konkretnej bryły. Dwie figury dające się w siebie przekształcić bez rozrywania mają tę samą charakterystykę.

Podsumowanie

• Dla każdego wielościanu wypukłego: $W - K + S = 2$.
• Dowód polega na spłaszczeniu bryły do grafu i pokazaniu, że kolejne uproszczenia nie zmieniają wartości wyrażenia.
• Ze wzoru wynika, że wielościanów foremnych jest dokładnie pięć - warunek $\tfrac{1}{p} + \tfrac{1}{q} > \tfrac{1}{2}$ nie dopuszcza szóstego.
• Liczba $2$ to charakterystyka Eulera sfery; dla torusa wynosi $0$, a przy $g$ dziurach $2 - 2g$.
• Zastosowania: grafy planarne (nieplanarność $K_5$), chemia fullerenów, kontrola siatek w grafice komputerowej.