Prawa logarytmów i wzór na zamianę podstawy logarytmu

Klasa 1 liceum i technikum

Logarytmy mają jedną wyjątkową zaletę: zamieniają mnożenie na dodawanie, a potęgowanie na mnożenie. Dzięki temu upraszczają rachunki i są podstawą wielu skal pomiarowych. Wszystkie poniższe prawa zakładają $a > 0$, $a \ne 1$ oraz $x > 0$, $y > 0$.

Logarytm iloczynu

$\log_a (x \cdot y) = \log_a x + \log_a y.$

Wyprowadzenie. Oznaczmy $\log_a x = m$ oraz $\log_a y = n$. Z definicji logarytmu znaczy to, że $a^m = x$ i $a^n = y$. Pomnóżmy te równości stronami i skorzystajmy z prawa potęg:

$x \cdot y = a^m \cdot a^n = a^{m+n}.$

Skoro $x \cdot y = a^{m+n}$, to z definicji logarytmu $\log_a (xy) = m + n = \log_a x + \log_a y$.

Logarytm ilorazu

$\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y.$

Wyprowadzenie jest takie samo, tylko równości $a^m = x$ i $a^n = y$ dzielimy stronami: $\dfrac{x}{y} = \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, więc $\log_a \dfrac{x}{y} = m - n$.

Przykład. $\log_2 48 - \log_2 3 = \log_2 \dfrac{48}{3} = \log_2 16 = 4.$ Pojedynczo $\log_2 48$ jest „brzydki”, ale po połączeniu w logarytm ilorazu wszystko się upraszcza.

Logarytm potęgi

$\log_a \left(x^p\right) = p \cdot \log_a x.$

Wyprowadzenie. Niech $\log_a x = m$, czyli $x = a^m$. Wtedy $x^p = \left(a^m\right)^p = a^{m \cdot p}$, a stąd $\log_a (x^p) = m \cdot p = p \cdot \log_a x$.

Przykład. $\log_2 (8 \cdot 4) = \log_2 8 + \log_2 4 = 3 + 2 = 5$ (zgadza się, bo $8 \cdot 4 = 32 = 2^5$). Podobnie $\log_3 81 = \log_3 3^4 = 4 \cdot \log_3 3 = 4.$

Wzór na zamianę podstawy logarytmu

Czasem trzeba policzyć logarytm o niewygodnej podstawie - np. kalkulator zna tylko $\log$ i $\ln$. Pomaga wzór na zmianę podstawy (dla $c > 0$, $c \ne 1$):

$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}.$

Przykład 1 (kalkulator). $\log_2 5 = \dfrac{\log 5}{\log 2} \approx \dfrac{0{,}699}{0{,}301} \approx 2{,}32.$

Przykład 2 (wspólna podstawa). Oblicz $\log_4 8$. Obie liczby są potęgami dwójki, więc przechodzimy na podstawę $2$:

$\log_4 8 = \frac{\log_2 8}{\log_2 4} = \frac{3}{2}.$

Sprawdzenie: $4^{3/2} = \left(\sqrt{4}\right)^3 = 2^3 = 8$.

Przypadek szczególny. Gdy za nową podstawę weźmiemy $c = b$, dostajemy $\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}$ - zamiana miejscami podstawy i liczby logarytmowanej daje odwrotność, np. $\log_8 2 = \dfrac{1}{\log_2 8} = \dfrac{1}{3}$.

Skąd ten wzór? Oznaczmy $\log_a b = m$, czyli $a^m = b$. Zlogarytmujmy obie strony przy podstawie $c$ i skorzystajmy z prawa logarytmu potęgi: $m \cdot \log_c a = \log_c b$, a stąd $m = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}$ (dzielenie jest dozwolone, bo $a \ne 1$, więc $\log_c a \ne 0$).

Gdzie się to przydaje

Ponieważ logarytm „spłaszcza” wielkości zmieniające się o rzędy wielkości, używa się go w skalach logarytmicznych:

• pH w chemii (kwasowość roztworu),
• decybele (natężenie dźwięku),
• skala Richtera (siła trzęsień ziemi).

W każdej z nich wzrost o $1$ jednostkę oznacza zmianę mierzonej wielkości dziesięciokrotną - to właśnie zasługa logarytmu o podstawie $10$.

Najczęstsze pytania

Czy $\log(a + b) = \log a + \log b$? Nie - to najczęstszy błąd przy logarytmach. Prawa logarytmów zamieniają mnożenie na dodawanie: $\log(a \cdot b) = \log a + \log b$. Dla sumy nie ma żadnego wzoru upraszczającego.

Czy $\dfrac{\log a}{\log b} = \log \dfrac{a}{b}$? Nie. Iloraz logarytmów to wzór na zamianę podstawy: $\dfrac{\log a}{\log b} = \log_b a$. Logarytm ilorazu to co innego: $\log \dfrac{a}{b} = \log a - \log b$.

Po co zamieniać podstawę logarytmu? Bo kalkulator liczy zwykle tylko $\log$ (o podstawie $10$) i $\ln$. Chcąc obliczyć $\log_5 20$, zapisujemy go jako $\dfrac{\log 20}{\log 5}$. Zamiana podstawy przydaje się też, gdy w jednym zadaniu występują logarytmy o różnych podstawach - sprowadzamy je do wspólnej.

Jak korzystać z praw logarytmów w drugą stronę? Czytając wzory od prawej do lewej, „zwijamy” sumę logarytmów w logarytm iloczynu - to standardowy krok przy rozwiązywaniu równań logarytmicznych, np. $\log_2 x + \log_2 3 = \log_2 (3x)$.

Skąd wziął się wzór $\log a^n = n \log a$? Z prawa logarytmu iloczynu: potęga to powtórzone mnożenie, więc $\log a^3 = \log(a \cdot a \cdot a) = \log a + \log a + \log a = 3\log a$. Wzór działa też dla wykładników ujemnych i ułamkowych.

Przećwicz

Prawa logarytmów najszybciej opanujesz na zadaniach z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku:

• Prawa logarytmów → - logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi (np. $\log_2 48 - \log_2 3$, $\log_6 4 + \log_6 9$).
• Zamiana podstawy logarytmu → - np. $\log_4 8$, $\log_8 32$.
• Równania logarytmiczne → - z definicji, z sumą logarytmów, z podstawieniem; zawsze z dziedziną.

Podstawy liczenia ćwiczy obliczanie logarytmów z definicji; zobacz też wszystkie zadania z logarytmów →.