Wykres funkcji y = A sin(Bx + C) + D - amplituda, okres i przesunięcie

Klasa 3 liceum i technikum

Wykres funkcji $y = A\sin(Bx + C) + D$ to sinusoida o amplitudzie $|A|$ (połowa różnicy między największą a najmniejszą wartością), okresie $T = \frac{2\pi}{|B|}$, przesunięta w poziomie o $p = -\frac{C}{B}$ i w pionie o $D$. Prosta $y = D$ jest osią fali: wykres oscyluje wokół niej między $D - |A|$ a $D + |A|$.

Co pamiętasz z klasy 2

W drugiej klasie poznaliśmy sinus i cosinus jako funkcje zmiennej rzeczywistej. Z tamtej lekcji potrzebujemy czterech faktów:

• $\sin x$ i $\cos x$ są określone dla każdej liczby rzeczywistej i przyjmują wartości z przedziału $\langle -1;\ 1\rangle$;
• obie mają okres $2\pi$, a $\operatorname{tg} x$ i $\operatorname{ctg} x$ - okres $\pi$;
• sinus jest funkcją nieparzystą ($\sin(-x) = -\sin x$), cosinus parzystą ($\cos(-x) = \cos x$);
• wartości dla $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{3}$ i $\frac{\pi}{2}$ odczytujemy z tablicy wartości funkcji trygonometrycznych.

W lekcji wykresy funkcji trygonometrycznych każde przekształcenie sinusoidy oglądaliśmy osobno: $y = \sin x + q$, $y = \sin(x - p)$, $y = 2\sin x$, $y = \sin 2x$. Teraz złożymy je w jeden wzór i nauczymy się odczytywać ten wzór z wykresu. Jeśli chcesz najpierw odświeżyć klasę 2, przerób zestaw trygonometria dowolnego kąta - zadania z rozwiązaniami.

Cztery parametry - co robi każdy z nich

Każda litera we wzorze $y = A\sin(Bx + C) + D$ odpowiada za jedno przekształcenie wykresu:

Okres, amplituda i oś fali to trzy liczby, które opisują kształt fali. Przesunięcie $p$ mówi tylko, gdzie fala się zaczyna.

Amplituda i zbiór wartości

Skoro $-1 \le \sin(Bx + C) \le 1$, to po pomnożeniu przez $|A|$ i dodaniu $D$:

$D - |A| \le A\sin(Bx + C) + D \le D + |A|.$

Obie granice są osiągane, więc zbiór wartości to $\left\langle D - |A|;\ D + |A| \right\rangle$. Parametry $B$ i $C$ nie mają na niego wpływu - fala może być gęstsza albo przesunięta, ale sięga tak samo wysoko.

Przykład 1. Funkcja $f(x) = -4\sin 3x + 1$ ma amplitudę $|-4| = 4$, więc jej zbiór wartości to $\langle 1 - 4;\ 1 + 4\rangle = \langle -3;\ 5\rangle$. Znak minus przed czwórką nie zmienia zbioru wartości - odbija tylko wykres względem osi fali $y = 1$.

Okres funkcji y = sin(Bx)

Sinus powtarza się, gdy jego argument wzrośnie o $2\pi$. Szukamy więc takiego $T > 0$, żeby argument $Bx$ wzrósł o $2\pi$, gdy $x$ wzrośnie o $T$:

$B(x + T) = Bx + 2\pi \quad\Longrightarrow\quad BT = 2\pi \quad\Longrightarrow\quad T = \frac{2\pi}{B}.$

Dla ujemnego $B$ wystarczy wziąć $|B|$ (sinus jest nieparzysty, cosinus parzysty, więc znak $B$ da się „wyciągnąć” przed funkcję). Im większe $|B|$, tym gęstsza fala.

• $y = \sin 3x$: $T = \frac{2\pi}{3}$ - trzy pełne fale na odcinku $2\pi$;
• $y = \cos\frac{x}{2}$: $T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$ - fala dwa razy rzadsza;
• $y = 5\sin(\pi x)$: $T = \frac{2\pi}{\pi} = 2$ - okres jest liczbą całkowitą, wygodne w modelach fizycznych.

Przesunięcie poziome - najczęstsza pułapka

Wykres $y = \sin(2x - \frac{\pi}{3})$ nie jest przesunięty o $\frac{\pi}{3}$. Żeby odczytać przesunięcie, trzeba wyłączyć współczynnik przy $x$ przed nawias:

$\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{6}\right)\right).$

Teraz widać: to wykres $y = \sin 2x$ przesunięty o $\frac{\pi}{6}$ w prawo. Ogólnie $Bx + C = B\left(x + \frac{C}{B}\right)$, więc przesunięcie wynosi $p = -\frac{C}{B}$.

Sprawdzenie bez rysunku: sinusoida $y = \sin 2x$ ma miejsce zerowe w $x = 0$ (tam argument jest zerem). Dla $y = \sin(2x - \frac{\pi}{3})$ argument zeruje się, gdy $2x = \frac{\pi}{3}$, czyli w $x = \frac{\pi}{6}$. Miejsce zerowe przesunęło się o $\frac{\pi}{6}$ - i tyle wynosi przesunięcie całego wykresu.

Ta sama zasada działa dla wektora przesunięcia: wykres $y = \sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) + 1$ powstaje z $y = \sin 2x$ przez przesunięcie o wektor $\vec{v} = \left[\frac{\pi}{6},\ 1\right]$.

Rysowanie wykresu krok po kroku - pięć punktów kluczowych

Jeden okres sinusoidy wyznacza pięć punktów: start na osi fali, maksimum, powrót na oś, minimum, koniec na osi. Wystarczy znaleźć te $x$, dla których argument $Bx + C$ przyjmuje wartości $0$, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi}{2}$, $2\pi$.

Przykład 2. Naszkicuj jeden okres wykresu $f(x) = 2\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) + 1$.

Krok 1. Parametry. $A = 2$, $B = 2$, $D = 1$, więc amplituda $2$, okres $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$, oś fali $y = 1$, zbiór wartości $\langle -1;\ 3\rangle$.

Krok 2. Początek okresu. Argument jest zerem, gdy $2x - \frac{\pi}{3} = 0$, czyli $x = \frac{\pi}{6}$. Okres ma długość $\pi$, więc kończy się w $\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6}$. Dzielimy go na cztery równe części po $\frac{\pi}{4}$.

Krok 3. Tabela punktów.

Krok 4. Wykres. Zaznaczamy punkty i łączymy je łagodną falą.

Odpowiedź. Funkcja osiąga maksimum $3$ dla $x = \frac{5\pi}{12} + k\pi$ i minimum $-1$ dla $x = \frac{11\pi}{12} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

Kolejność przekształceń ma znaczenie: najpierw ściskamy wykres w poziomie ($\sin x \to \sin 2x$), potem przesuwamy go o $\frac{\pi}{6}$, rozciągamy w pionie i podnosimy o $1$. Metoda pięciu punktów omija ten problem - liczy wszystko od razu z argumentu.

Cosinus i tangens

Dla $y = A\cos(Bx + C) + D$ wszystkie wzory są takie same, zmienia się tylko kształt jednego okresu: zaczyna się w maksimum (argument $0$), a nie na osi fali. Pięć punktów kluczowych to: maksimum, oś, minimum, oś, maksimum.

Tangens nie ma amplitudy - przyjmuje wszystkie wartości rzeczywiste - i ma okres $\pi$, więc dla $y = A\operatorname{tg}(Bx + C) + D$ okres wynosi $T = \frac{\pi}{|B|}$. Asymptoty pionowe leżą tam, gdzie argument jest równy $\frac{\pi}{2} + k\pi$.

Przykład 3. Dla $y = \operatorname{tg} 2x$ okres to $\frac{\pi}{2}$, a asymptoty spełniają $2x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, czyli $x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$. Miejsca zerowe: $2x = k\pi$, czyli $x = \frac{k\pi}{2}$.

Odczyt wzoru z wykresu

Odwrotne zadanie - mamy wykres, szukamy $A$, $B$, $p$ i $D$ - rozwiązujemy w stałej kolejności: oś fali i amplituda z wartości skrajnych, okres z odległości między ekstremami, przesunięcie z położenia jednego charakterystycznego punktu.

Przykład 4. Wykres na rysunku przedstawia funkcję $f(x) = A\sin(Bx + C) + D$, gdzie $A > 0$, $B > 0$. Największa wartość $3$ jest osiągana w $x = \frac{\pi}{8}$, najmniejsza $-1$ - w $x = \frac{5\pi}{8}$. Wyznacz wzór funkcji.

Krok 1. Oś fali i amplituda. Oś fali leży w połowie między wartościami skrajnymi: $D = \frac{3 + (-1)}{2} = 1$. Amplituda to połowa rozpiętości: $A = \frac{3 - (-1)}{2} = 2$.

Krok 2. Okres. Od maksimum do najbliższego minimum mija pół okresu: $\frac{T}{2} = \frac{5\pi}{8} - \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{2}$, więc $T = \pi$ i $B = \frac{2\pi}{T} = 2$.

Krok 3. Przesunięcie. Sinus osiąga maksimum, gdy argument jest równy $\frac{\pi}{2}$. W $x = \frac{\pi}{8}$ musi więc zachodzić

$2 \cdot \frac{\pi}{8} + C = \frac{\pi}{2} \quad\Longrightarrow\quad C = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}.$

Krok 4. Sprawdzenie. $f(0) = 2\sin\frac{\pi}{4} + 1 = \sqrt{2} + 1 \approx 2{,}41$ - zgadza się z rysunkiem (wykres przecina oś $OY$ między $2$ a $3$).

Odpowiedź. $f(x) = 2\sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) + 1$.

Wzór nie jest jedyny: ten sam wykres opisuje $f(x) = 2\cos\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) + 1$ (cosinus ma maksimum przy argumencie $0$, więc $2 \cdot \frac{\pi}{8} - \frac{\pi}{4} = 0$), a także każdy wzór z $C$ zwiększonym o $2k\pi$. Gdy zadanie podaje warunki na znaki i zakres $C$, odpowiedź staje się jednoznaczna.

Zastosowanie - temperatura w ciągu doby

Zjawiska powtarzające się regularnie - dzień i noc, pływy, drgania sprężyny, prąd przemienny - opisujemy właśnie funkcjami sinusoidalnymi. Okres to czas jednego cyklu, amplituda - zasięg wahań, oś fali - wartość średnia.

Przykład 5. W pewien letni dzień temperatura powietrza (w °C) zmieniała się według wzoru $T(t) = 6\sin\left(\frac{\pi}{12}(t - 9)\right) + 14$, gdzie $t$ to godzina od $0$ do $24$. Podaj najwyższą i najniższą temperaturę oraz godziny, w których termometr pokazywał $17^\circ$C.

Krok 1. Parametry. Okres $\frac{2\pi}{\pi/12} = 24$ h - jedna doba. Średnia (oś fali) to $14^\circ$C, amplituda $6^\circ$C, więc temperatura waha się od $8^\circ$C do $20^\circ$C.

Krok 2. Kiedy maksimum i minimum. Maksimum: $\frac{\pi}{12}(t - 9) = \frac{\pi}{2}$, czyli $t = 15$. Minimum: $\frac{\pi}{12}(t - 9) = -\frac{\pi}{2}$, czyli $t = 3$.

Krok 3. Temperatura 17°C. $6\sin\left(\frac{\pi}{12}(t - 9)\right) + 14 = 17$, czyli $\sin\left(\frac{\pi}{12}(t - 9)\right) = \frac{1}{2}$. W przedziale argumentów od $-\frac{3\pi}{4}$ do $\frac{5\pi}{4}$ (bo $t \in \langle 0;\ 24\rangle$) sinus jest równy $\frac{1}{2}$ dla $\frac{\pi}{6}$ i $\frac{5\pi}{6}$:

$\frac{\pi}{12}(t - 9) = \frac{\pi}{6} \ \Rightarrow\ t = 11, \qquad \frac{\pi}{12}(t - 9) = \frac{5\pi}{6} \ \Rightarrow\ t = 19.$

Odpowiedź. Najwyższa temperatura $20^\circ$C o 15:00, najniższa $8^\circ$C o 3:00; $17^\circ$C termometr pokazywał o 11:00 i o 19:00.

Krok 3 to już równanie trygonometryczne - jak je rozwiązywać systematycznie, pokazuje następna lekcja: równania trygonometryczne elementarne.

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć okres funkcji y = sin 3x? Podziel $2\pi$ przez wartość bezwzględną współczynnika przy $x$: $T = \frac{2\pi}{3}$. Dla tangensa i cotangensa dzielisz $\pi$, np. $y = \operatorname{tg} 3x$ ma okres $\frac{\pi}{3}$.

Co to jest amplituda funkcji sinus? Amplituda to połowa różnicy między największą a najmniejszą wartością funkcji, czyli $|A|$ we wzorze $y = A\sin(Bx + C) + D$. Mówi, jak daleko fala odchyla się od osi $y = D$.

O ile jest przesunięty wykres y = sin(2x − π/3)? O $\frac{\pi}{6}$ w prawo, a nie o $\frac{\pi}{3}$. Trzeba wyłączyć dwójkę przed nawias: $\sin(2x - \frac{\pi}{3}) = \sin\left(2(x - \frac{\pi}{6})\right)$. Przesunięcie to zawsze $-\frac{C}{B}$.

Jak wyznaczyć zbiór wartości funkcji y = A sin x + D? Zbiór wartości to $\langle D - |A|;\ D + |A|\rangle$. Na przykład $y = 3\sin x - 2$ przyjmuje wartości od $-5$ do $1$. Współczynnik przy $x$ i przesunięcie poziome na to nie wpływają.

Jak odczytać wzór funkcji trygonometrycznej z wykresu? Z wartości największej $M$ i najmniejszej $m$ liczysz $D = \frac{M + m}{2}$ i $|A| = \frac{M - m}{2}$, z odległości między sąsiednimi maksimami - okres $T$ i $B = \frac{2\pi}{T}$, a na koniec $C$ z warunku, że w maksimum argument sinusa jest równy $\frac{\pi}{2}$.

Czy wykres y = −sin x to to samo co y = sin(x + π)? Tak, bo $\sin(x + \pi) = -\sin x$. Odbicie sinusoidy względem osi $OX$ daje ten sam wykres co przesunięcie o pół okresu - dlatego jeden wykres ma wiele różnych wzorów.

Czym różni się wykres y = sin 2x od y = 2sin x?$y = \sin 2x$ ma okres $\pi$ (fala gęstsza), ale wartości od $-1$ do $1$. $y = 2\sin x$ ma okres $2\pi$, ale wartości od $-2$ do $2$ (fala wyższa). Liczba przy $x$ zmienia okres, liczba przed funkcją - amplitudę.

Przećwicz

• Przekształcenia wykresów funkcji trygonometrycznych - zadania → - amplituda, okres i zbiór wartości, wektor przesunięcia, szkicowanie przez pięć punktów, odczyt wzoru z wykresu, tangens z asymptotami i model diabelskiego młyna.
• Na początek: amplituda, okres i zbiór wartości dwóch funkcji oraz odczyt wzoru a sin(bx) + d z wykresu.
• Cały zestaw: wzory i równania trygonometryczne - zadania z rozwiązaniami.
• Dalej: równania trygonometryczne elementarne.

Podsumowanie

• $y = A\sin(Bx + C) + D$: amplituda $|A|$, okres $\frac{2\pi}{|B|}$, oś fali $y = D$, zbiór wartości $\langle D - |A|;\ D + |A|\rangle$.
• Przesunięcie poziome to $-\frac{C}{B}$ - najpierw wyłącz $B$ przed nawias.
• Jeden okres rysujemy z pięciu punktów, w których argument wynosi $0$, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi}{2}$, $2\pi$.
• Cosinus ma te same parametry; tangens nie ma amplitudy i ma okres $\frac{\pi}{|B|}$.
• Wzór z wykresu: $D$ i $A$ z wartości skrajnych, $B$ z okresu, $C$ z położenia maksimum.
• Funkcje sinusoidalne modelują zjawiska okresowe - temperaturę w ciągu doby, drgania, pływy.