Nierówności wielomianowe - metoda wężyka krok po kroku

Q: Na czym polega metoda wężyka?

Zaznaczamy pierwiastki wielomianu na osi i rysujemy od prawej linię falistą, która zaczyna nad osią (gdy współczynnik wiodący jest dodatni) lub pod nią (gdy ujemny), przechodzi na drugą stronę w pierwiastkach o krotności nieparzystej i odbija się w pierwiastkach o krotności parzystej. Fragmenty nad osią to wartości dodatnie, pod osią - ujemne.

Q: Od której strony zaczynać wężyk?

Od prawej, bo tam znak wielomianu zależy tylko od współczynnika przy najwyższej potędze. Zaczynanie od lewej też jest możliwe, ale trzeba dodatkowo uwzględnić parzystość stopnia.

Q: Co zrobić z pierwiastkiem podwójnym w nierówności?

W wężyku odbić się od osi - znak się nie zmienia. W odpowiedzi: przy nierówności ostrej wyrzucić go z przedziału, przy nieostrej dołączyć, nawet jako pojedynczy punkt.

Q: Co zrobić z czynnikiem kwadratowym, który nie ma pierwiastków?

Sprawdzić jego znak (taki jak współczynnik przy x²) i pominąć go w wężyku. Jeśli jest zawsze ujemny, odwróć zwrot nierówności albo uwzględnij minus w znaku a_n.

Q: Czy można podzielić nierówność wielomianową przez x?

Nie. Znak x jest nieznany, więc nie wiadomo, czy zmienić zwrot nierówności, a dla x = 0 dzielenie jest niewykonalne. Zawsze przenosimy wszystko na jedną stronę i wyłączamy x przed nawias.

Q: Kiedy przedział w odpowiedzi jest domknięty?

Przy nierówności nieostrej (≥, ≤) - wtedy pierwiastki wielomianu spełniają nierówność. Przy nieskończoności nawias jest zawsze okrągły.

Klasa 2 liceum i technikum

Nierówność wielomianowa - metoda wężyka

Przenieś wszystko na jedną stronę: $W(x) > 0$ (albo $\ge$ , $<$ , $\le$ ). Nie dziel przez wyrażenie z $x$ .
Rozłóż $W(x)$ na czynniki liniowe i kwadratowe bez pierwiastków.
Zaznacz pierwiastki na osi i odczytaj znak współczynnika przy najwyższej potędze $a_n$ .
Rysuj wężyk od prawej: nad osią, gdy $a_n > 0$ , pod osią, gdy $a_n < 0$ . W pierwiastku o krotności nieparzystej przejdź na drugą stronę osi, o parzystej - odbij się.
Odczytaj przedziały: przy $\le$ i $\ge$ pierwiastki należą do rozwiązania, przy $<$ i $>$ - nie.

Nierówność wielomianowa to nierówność postaci $W(x) > 0$ , $W(x) \ge 0$ , $W(x) < 0$ lub $W(x) \le 0$ , gdzie $W$ jest wielomianem. Rozwiązujemy ją, rozkładając wielomian na czynniki i ustalając jego znak między kolejnymi pierwiastkami - najwygodniej metodą „wężyka”, czyli uproszczonego szkicu wykresu.

Dlaczego wężyk działa

Wielomian może zmienić znak tylko w swoim pierwiastku - jego wykres jest ciągły, więc żeby przejść spod osi nad oś, musi ją przeciąć. Między dwoma kolejnymi pierwiastkami znak jest więc stały. Wystarczy wiedzieć:

gdzie są pierwiastki (z rozkładu na czynniki),
jaki znak ma wielomian na prawo od największego pierwiastka (tam decyduje $a_n$ ),
w których pierwiastkach znak się zmienia (krotność nieparzysta), a w których nie (parzysta).

To ta sama idea co w nierównościach kwadratowych, gdzie zamiast wężyka rysowaliśmy parabolę. Wężyk to po prostu bardzo uproszczony wykres wielomianu - liczy się tylko to, czy jest nad osią, czy pod nią.

Przykład 1 - trzy pierwiastki pojedyncze

Zadanie. Rozwiąż nierówność $(x + 3)(x - 1)(x - 4) > 0$ .

Krok 1. Wielomian jest już rozłożony. Pierwiastki: $-3$ , $1$ , $4$ - wszystkie pojedyncze.

Krok 2. Najwyższa potęga: $x \cdot x \cdot x = x^3$ , więc $a_n = 1 > 0$ - wężyk zaczyna po prawej nad osią.

Krok 3. Idąc w lewo, w każdym pierwiastku przechodzimy na drugą stronę osi.

Wężyk dla W(x) = (x + 3)(x − 1)(x − 4): od prawej strony nad osią, w każdym pojedynczym pierwiastku przejście na drugą stronę. Znaki: + dla x > 4, − między 1 a 4, + między −3 a 1, − dla x < −3.

Krok 4. Szukamy wartości dodatnich - fragmentów nad osią. Nierówność jest ostra, więc pierwiastki odrzucamy.

Odpowiedź. $x \in (-3;\ 1) \cup (4;\ +\infty)$ .

Z tego samego wężyka odczytamy od razu nierówność przeciwną: $(x + 3)(x - 1)(x - 4) \le 0$ dla $x \in (-\infty;\ -3\rangle \cup \langle 1;\ 4\rangle$ .

Przykład 2 - pierwiastek podwójny i ujemny współczynnik

Zadanie. Rozwiąż nierówności dla $W(x) = (x + 1)(x - 2)^2(3 - x)$ : a) $W(x) \ge 0$ , b) $W(x) > 0$ , c) $W(x) \le 0$ .

Krok 1. Pierwiastki. $-1$ (pojedynczy), $2$ (podwójny), $3$ (pojedynczy).

Krok 2. Znak $a_n$ . Wyraz najwyższego stopnia: $x \cdot x^2 \cdot (-x) = -x^4$ . Czynnik $(3 - x)$ wnosi minus, więc $a_n = -1 < 0$ - wężyk zaczyna po prawej pod osią.

Krok 3. Wężyk. W $3$ przechodzi nad oś, w $2$ się odbija (zostaje nad osią), w $-1$ przechodzi pod oś.

Wężyk dla W(x) = (x + 1)(x − 2)²(3 − x): start od prawej pod osią (współczynnik wiodący −1), przejście w 3, odbicie w pierwiastku podwójnym 2, przejście w −1. W(x) jest dodatni między −1 a 3 z wyjątkiem punktu 2, w którym jest zerem.

Krok 4. Odczyt. Wielomian jest dodatni na $(-1;\ 2)$ i na $(2;\ 3)$ , ujemny na $(-\infty;\ -1)$ i na $(3;\ +\infty)$ , a zeruje się w $-1$ , $2$ i $3$ .

Nierówność	Zbiór rozwiązań	Co z punktem 2
W(x) ≥ 0	⟨−1; 3⟩	należy (W(2) = 0)
W(x) > 0	(−1; 2) ∪ (2; 3)	wyrzucony
W(x) ≤ 0	(−∞; −1⟩ ∪ {2} ∪ ⟨3; +∞)	punkt izolowany
W(x) < 0	(−∞; −1) ∪ (3; +∞)	nie należy

Pierwiastek podwójny zachowuje się podstępnie: przy $W(x) > 0$ trzeba go wyciąć ze środka przedziału, a przy $W(x) \le 0$ dopisać jako pojedynczy punkt $\{2\}$ , choć wężyk w nim nie schodzi pod oś.

Przykład 3 - najpierw uporządkuj i rozłóż

Zadanie. Rozwiąż nierówność $x^3 + 2x^2 > 9x + 18$ .

Krok 1. Jedna strona. $x^3 + 2x^2 - 9x - 18 > 0$ .

Krok 2. Rozkład przez grupowanie.

$x^2(x + 2) - 9(x + 2) = (x + 2)(x^2 - 9) = (x + 2)(x - 3)(x + 3).$

Krok 3. Wężyk. Pierwiastki $-3$ , $-2$ , $3$ (pojedyncze), $a_n = 1 > 0$ . Znaki od prawej: $+$ dla $x > 3$ , $-$ na $(-2;\ 3)$ , $+$ na $(-3;\ -2)$ , $-$ dla $x < -3$ .

Odpowiedź. $x \in (-3;\ -2) \cup (3;\ +\infty)$ .

Przykład 4 - pierwiastek z twierdzenia Bézouta

Zadanie. Rozwiąż nierówność $x^3 - 2x^2 - 5x + 6 < 0$ .

Grupowanie tu nie działa, więc szukamy pierwiastka wśród dzielników liczby $6$ : $W(1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0$ . Dzielimy schematem Hornera:

$x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = (x - 1)(x^2 - x - 6) = (x - 1)(x - 3)(x + 2).$

Pierwiastki $-2$ , $1$ , $3$ , $a_n = 1 > 0$ . Wartości ujemne są na $(1;\ 3)$ i dla $x < -2$ .

Odpowiedź. $x \in (-\infty;\ -2) \cup (1;\ 3)$ .

Czynnik kwadratowy bez pierwiastków

Trójmian kwadratowy z $\Delta < 0$ ma stały znak - taki jak jego współczynnik przy $x^2$ . Nie wnosi pierwiastków, więc można go pominąć w wężyku, pamiętając tylko o jego znaku.

Zadanie a). Rozwiąż nierówność $(x^2 + x + 3)(x - 2)(x + 1)^2 \ge 0$ .

Dla $x^2 + x + 3$ : $\Delta = 1 - 12 = -11 < 0$ i współczynnik przy $x^2$ dodatni, więc trójmian jest zawsze dodatni i nie zmienia znaku całego iloczynu. Wystarczy rozwiązać

$(x - 2)(x + 1)^2 \ge 0.$

Czynnik $(x + 1)^2$ jest nieujemny i zeruje się tylko dla $x = -1$ . Iloczyn jest więc nieujemny, gdy $x - 2 \ge 0$ albo gdy $x = -1$ .

Odpowiedź. $x \in \{-1\} \cup \langle 2;\ +\infty)$ .

Zadanie b). Rozwiąż nierówność $(-x^2 + 2x - 5)(x - 3) > 0$ .

Dla $-x^2 + 2x - 5$ : $\Delta = 4 - 20 = -16 < 0$ , współczynnik przy $x^2$ ujemny - trójmian jest zawsze ujemny. Iloczyn ujemnego czynnika i $(x - 3)$ jest dodatni, gdy $x - 3 < 0$ - zwrot nierówności się odwraca.

Odpowiedź. $x \in (-\infty;\ 3)$ .

Nierówność W(x) ≥ V(x) - nie dziel przez x

Zadanie. Rozwiąż nierówność $x^3 \ge 4x$ .

Błędnie: „dzielimy przez $x$ ” i dostajemy $x^2 \ge 4$ , czyli $x \in (-\infty;\ -2\rangle \cup \langle 2;\ +\infty)$ . Sprawdzenie obala ten wynik: dla $x = -3$ mamy $-27 \ge -12$ - fałsz, a $x = -1$ , dla którego $-1 \ge -4$ jest prawdą, zgubiliśmy. Przyczyna: dla ujemnego $x$ dzielenie odwraca zwrot nierówności, a dla $x = 0$ jest niewykonalne.

Poprawnie: przenosimy na jedną stronę i rozkładamy.

$x^3 - 4x \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad x(x - 2)(x + 2) \ge 0.$

Pierwiastki $-2$ , $0$ , $2$ , $a_n = 1 > 0$ . Znaki od prawej: $+$ , $-$ , $+$ , $-$ .

Odpowiedź. $x \in \langle -2;\ 0\rangle \cup \langle 2;\ +\infty)$ .

Tę samą zasadę stosujemy przy każdej nierówności typu $W(x) \ge V(x)$ : najpierw $W(x) - V(x) \ge 0$ , potem rozkład na czynniki. Wolno dzielić tylko przez liczbę albo przez wyrażenie o znanym, stałym znaku (jak trójmian z $\Delta < 0$ ).

Zapis odpowiedzi

Nierówność	Pierwiastki	Nawiasy przy pierwiastkach
> lub < (ostra)	nie należą do rozwiązania	okrągłe ( )
≥ lub ≤ (nieostra)	należą do rozwiązania	ostre ⟨ ⟩, a pojedynczy pierwiastek poza przedziałami - w klamrach { }
dowolna	±∞	zawsze okrągłe

Kawałki rozwiązania łączymy znakiem sumy $\cup$ . Więcej o zapisie w lekcji przedziały liczbowe.

Najczęstsze błędy

Start wężyka nad osią przy ujemnym $a_n$ . Czynniki typu $(3 - x)$ wnoszą minus - licz znak wyrazu najwyższego stopnia, zanim zaczniesz rysować.
Przejście przez oś w pierwiastku parzystej krotności. Wtedy wszystkie dalsze znaki są odwrócone.
Zgubiony punkt izolowany. Przy $\ge$ lub $\le$ pierwiastek podwójny może być rozwiązaniem, choć wokół niego wężyk ma zły znak.
Dzielenie przez $x$ lub przez czynnik z $x$ - zmienia zwrot dla ujemnych wartości i gubi pierwiastki.
Rozwiązywanie samego równania. Pierwiastki to dopiero granice przedziałów, a nie odpowiedź.

Najczęstsze pytania

Na czym polega metoda wężyka? Zaznaczamy pierwiastki wielomianu na osi i rysujemy od prawej linię falistą, która zaczyna nad osią (gdy współczynnik wiodący jest dodatni) lub pod nią (gdy ujemny), przechodzi na drugą stronę w pierwiastkach o krotności nieparzystej i odbija się w pierwiastkach o krotności parzystej. Fragmenty nad osią to wartości dodatnie, pod osią - ujemne.

Od której strony zaczynać wężyk? Od prawej, bo tam znak wielomianu zależy tylko od współczynnika przy najwyższej potędze. Zaczynanie od lewej też jest możliwe, ale trzeba dodatkowo uwzględnić parzystość stopnia.

Co zrobić z pierwiastkiem podwójnym w nierówności? W wężyku odbić się od osi - znak się nie zmienia. W odpowiedzi: przy nierówności ostrej wyrzucić go z przedziału, przy nieostrej dołączyć, nawet jako pojedynczy punkt.

Co zrobić z czynnikiem kwadratowym, który nie ma pierwiastków? Sprawdzić jego znak (taki jak współczynnik przy $x^2$ ) i pominąć go w wężyku. Jeśli jest zawsze ujemny, odwróć zwrot nierówności albo uwzględnij minus w znaku $a_n$ .

Czy można podzielić nierówność wielomianową przez x? Nie. Znak $x$ jest nieznany, więc nie wiadomo, czy zmienić zwrot nierówności, a dla $x = 0$ dzielenie jest niewykonalne. Zawsze przenosimy wszystko na jedną stronę i wyłączamy $x$ przed nawias.

Kiedy przedział w odpowiedzi jest domknięty? Przy nierówności nieostrej ( $\ge$ , $\le$ ) - wtedy pierwiastki wielomianu spełniają nierówność. Przy nieskończoności nawias jest zawsze okrągły.

Przećwicz

Nierówności wielomianowe → - wężyk z pierwiastkami wielokrotnymi, ujemnym współczynnikiem, rozkładem przez grupowanie i schemat Hornera oraz liczby całkowite w zbiorze rozwiązań.
Wykres wielomianu → - te same znaki odczytane z pełnego wykresu funkcji.

Podsumowanie

Nierówność porządkujemy do postaci $W(x) \square 0$ i rozkładamy $W(x)$ na czynniki.
Wężyk rysujemy od prawej; start nad osią dla $a_n > 0$ , pod osią dla $a_n < 0$ .
Krotność nieparzysta - przejście przez oś, parzysta - odbicie.
Trójmian z $\Delta < 0$ ma stały znak - pomijamy go, pamiętając o tym znaku.
Nie dzielimy przez wyrażenia z $x$ ; pierwiastki parzystej krotności mogą dać punkt izolowany.

Zobacz też: nierówności kwadratowe, nierówności kwadratowe - zadania, rozkładanie wielomianów na czynniki, równania wielomianowe, wielomiany - wzory i twierdzenia.