Pole trójkąta - wzory z wysokością i z sinusem kąta

Klasa 2 liceum i technikum

Pole trójkąta jest równe połowie iloczynu długości boku i wysokości opuszczonej na ten bok: $P = \frac{1}{2} a h_a$. Gdy zamiast wysokości znamy dwa boki i kąt między nimi, pole wynosi $P = \frac{1}{2} ab\sin\gamma$. Oba wzory działają dla każdego trójkąta - ostrokątnego, prostokątnego i rozwartokątnego.

Skąd się bierze ½ · a · h

Dwa egzemplarze tego samego trójkąta (drugi obrócony o $180^\circ$ wokół środka boku) składają się w równoległobok o podstawie $a$ i wysokości $h_a$. Jego pole to $a \cdot h_a$ (patrz pole równoległoboku), więc trójkąt ma połowę tego pola:

$P = \frac{1}{2} a \cdot h_a.$

W trójkącie rozwartokątnym wysokość opuszczona na krótszy bok przy kącie rozwartym pada poza trójkąt, na przedłużenie boku. Wzór działa bez zmian - liczy się długość wysokości, a nie to, gdzie leży jej spodek. Więcej o wysokościach: wysokości i środkowe w trójkącie.

Każdy bok ma swoją wysokość

Trójkąt ma trzy boki i trzy wysokości, a każda para „bok - wysokość opuszczona na ten bok” daje to samo pole. Stąd ważna umiejętność: z pola wyznaczamy wysokość:

$h_a = \frac{2P}{a}.$

Przykład 1. W trójkącie bok $a = 12$, a wysokość opuszczona na niego $h_a = 5$. Drugi bok ma długość $b = 10$. Oblicz wysokość $h_b$.

Krok 1. Pole: $P = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = 30$.

Krok 2. To samo pole liczone przez bok $b$: $30 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot h_b$, więc $h_b = \frac{60}{10} = 6$.

Odpowiedź: $h_b = 6$. Zauważ: dłuższemu bokowi odpowiada krótsza wysokość, bo iloczyn $a \cdot h_a$ jest stały.

Pole trójkąta z dwóch boków i kąta między nimi

Na rysunku znamy boki $a = |BC|$, $b = |CA|$ i kąt $\gamma$ przy wierzchołku $C$. Wysokość $h$ opuszczona z $A$ na bok $a$ tworzy trójkąt prostokątny, w którym $b$ jest przeciwprostokątną, a $h$ - przyprostokątną leżącą naprzeciw kąta $\gamma$:

$\sin\gamma = \frac{h}{b} \quad\Longrightarrow\quad h = b\sin\gamma \quad\Longrightarrow\quad P = \frac{1}{2} a \cdot h = \frac{1}{2} a b \sin\gamma.$

Gdy $\gamma$ jest rozwarty, spodek wysokości leży na przedłużeniu boku $BC$, a w trójkącie prostokątnym pojawia się kąt $180^\circ - \gamma$. Ponieważ $\sin(180^\circ - \gamma) = \sin\gamma$, wzór zostaje ten sam - dlatego potrzebujemy sinusa kąta dowolnego, a nie tylko ostrego.

Wzór ma trzy równoważne wersje - zawsze dwa boki i kąt leżący między nimi:

$P = \frac{1}{2} ab\sin\gamma = \frac{1}{2} bc\sin\alpha = \frac{1}{2} ac\sin\beta.$

Przykład 2. Oblicz pole trójkąta o bokach $8$ i $6$, między którymi jest kąt $30^\circ$.

$P = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 \cdot \sin 30^\circ = 24 \cdot \frac{1}{2} = 12.$

Odpowiedź: $P = 12$.

Przykład 3 (kąt rozwarty). Boki $5$ i $4$, kąt między nimi $120^\circ$.

$P = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4 \cdot \sin 120^\circ = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}.$

Odpowiedź: $P = 5\sqrt{3} \approx 8{,}66$.

Przykład 4. Boki $7$ i $4\sqrt{2}$, kąt między nimi $45^\circ$.

$P = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{7 \cdot 4 \cdot 2}{4} = 14.$

Odpowiedź: $P = 14$.

Kąt z pola - uwaga na dwa rozwiązania

Przykład 5. Trójkąt ma boki $6$ i $10$ oraz pole $15$. Jaki kąt tworzą te boki?

Krok 1. $15 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 \cdot \sin\gamma = 30\sin\gamma$, więc $\sin\gamma = \frac{1}{2}$.

Krok 2. W przedziale $(0^\circ, 180^\circ)$ sinus równy $\frac{1}{2}$ mają dwa kąty: $30^\circ$ i $150^\circ$. Oba dają prawdziwy trójkąt o tym polu.

Odpowiedź: $\gamma = 30^\circ$ lub $\gamma = 150^\circ$. Jeśli treść mówi, że trójkąt jest ostrokątny, zostaje tylko $30^\circ$. Zgubienie drugiego rozwiązania to bardzo częsty błąd.

Trójkąt prostokątny

Przyprostokątne są do siebie prostopadłe, więc jedna jest wysokością opuszczoną na drugą:

$P = \frac{1}{2} a b \qquad (a, b \text{ - przyprostokątne}).$

To szczególny przypadek wzoru z sinusem: $\sin 90^\circ = 1$. Porównanie z polem liczonym przez przeciwprostokątną $c$ daje wysokość opuszczoną na przeciwprostokątną: $h_c = \frac{ab}{c}$.

Przykład 6. Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne $9$ i $12$. Oblicz pole i wysokość opuszczoną na przeciwprostokątną.

Krok 1. $P = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = 54$.

Krok 2. Przeciwprostokątna z twierdzenia Pitagorasa: $c = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$.

Krok 3. $h_c = \frac{2P}{c} = \frac{108}{15} = 7{,}2$.

Odpowiedź: $P = 54$, $h_c = 7{,}2$.

Trójkąt równoboczny

Wysokość trójkąta równobocznego dzieli go na dwa trójkąty prostokątne o przeciwprostokątnej $a$ i przyprostokątnej $\frac{a}{2}$. Z twierdzenia Pitagorasa:

$h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4} \quad\Longrightarrow\quad h = \frac{a\sqrt{3}}{2}, \qquad P = \frac{1}{2} a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}.$

Ten sam wynik daje wzór z sinusem: $\frac{1}{2} a \cdot a \cdot \sin 60^\circ = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Przykład 7. Trójkąt równoboczny o boku $6$ ma wysokość $h = 3\sqrt{3}$ i pole $P = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$.

Przykład 8 (odwrotnie). Trójkąt równoboczny ma pole $16\sqrt{3}$. Oblicz bok.

$\frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 16\sqrt{3} \quad\Longrightarrow\quad a^2 = 64 \quad\Longrightarrow\quad a = 8.$

Odpowiedź: $a = 8$.

Trójkąty o wspólnej wysokości

Jeśli dwa trójkąty mają wspólny wierzchołek, a ich podstawy leżą na jednej prostej, to mają tę samą wysokość opuszczoną z tego wierzchołka. Wtedy:

Stosunek pól trójkątów o wspólnej wysokości jest równy stosunkowi ich podstaw.

$\frac{P_{ACD}}{P_{DBC}} = \frac{\tfrac{1}{2}|AD| \cdot h}{\tfrac{1}{2}|DB| \cdot h} = \frac{|AD|}{|DB|}.$

Przykład 9. Trójkąt $ABC$ ma pole $40$. Punkt $D$ dzieli bok $AB$ w stosunku $|AD| : |DB| = 2 : 3$. Oblicz pola trójkątów $ACD$ i $DBC$.

Krok 1. Pola mają się jak $2 : 3$, czyli dzielimy $40$ na $5$ równych części po $8$.

Krok 2. $P_{ACD} = 2 \cdot 8 = 16$, $P_{DBC} = 3 \cdot 8 = 24$.

Odpowiedź: $16$ i $24$.

Dwa ważne wnioski:

• Środkowa dzieli trójkąt na dwa trójkąty o równych polach - podstawy są równe, wysokość wspólna (środkowe w trójkącie).
• Trójkąty o wspólnej podstawie, których trzecie wierzchołki leżą na prostej równoległej do tej podstawy, mają równe pola - wszystkie mają tę samą wysokość.

Typowe błędy

• Wysokość nie do tego boku. We wzorze $\frac{1}{2} a h_a$ wysokość musi być opuszczona na bok $a$.
• Kąt nie między bokami. We wzorze $\frac{1}{2} ab\sin\gamma$ kąt $\gamma$ leży między bokami $a$ i $b$. Kąt naprzeciw jednego z nich wymaga najpierw twierdzenia sinusów.
• Zgubione $\frac{1}{2}$ - bez niego liczysz pole równoległoboku.
• Jedno rozwiązanie zamiast dwóch przy wyznaczaniu kąta z sinusa.

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć pole trójkąta? Najprościej: połowa boku razy wysokość opuszczona na ten bok, $P = \frac{1}{2} a h$. Gdy znasz dwa boki i kąt między nimi - $P = \frac{1}{2} ab\sin\gamma$, a gdy trzy boki - wzór Herona.

Jak obliczyć pole trójkąta, mając dwa boki i kąt? Jeśli kąt leży między tymi bokami: $P = \frac{1}{2} ab\sin\gamma$. Dla boków $8$ i $6$ i kąta $30^\circ$ pole wynosi $12$.

Jak obliczyć wysokość trójkąta, mając pole? Podziel podwojone pole przez bok, na który opada wysokość: $h_a = \frac{2P}{a}$. Pole $30$ i bok $10$ dają wysokość $6$.

Jaki jest wzór na pole trójkąta równobocznego?$P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, a wysokość to $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Dla boku $6$: pole $9\sqrt{3}$, wysokość $3\sqrt{3}$.

Czy wzór ½ab sin γ działa dla kąta rozwartego? Tak, bo $\sin(180^\circ - \gamma) = \sin\gamma$. Boki $5$ i $4$ z kątem $120^\circ$ dają pole $5\sqrt{3}$.

Jak obliczyć pole trójkąta prostokątnego? Pomnóż przyprostokątne i podziel przez dwa. Dla $9$ i $12$ pole wynosi $54$.

Przećwicz

• Rozwiązywanie trójkąta prostokątnego → - boki, kąty i pole z funkcji trygonometrycznych.
• Twierdzenie Pitagorasa → - m.in. wysokość trójkąta równobocznego.
• Równoległobok i romb → - pole z sinusa kąta, ten sam wzór co dla trójkąta, tylko bez $\frac{1}{2}$.

Podsumowanie

• $P = \frac{1}{2} a h_a$ dla każdego boku i jego wysokości; stąd $h_a = \frac{2P}{a}$.
• $P = \frac{1}{2} ab\sin\gamma$ - dwa boki i kąt między nimi; działa też dla kąta rozwartego.
• Kąt wyznaczony z pola może mieć dwie wartości: $\gamma$ i $180^\circ - \gamma$.
• Trójkąt prostokątny: $P = \frac{1}{2} ab$, $h_c = \frac{ab}{c}$; równoboczny: $P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
• Trójkąty o wspólnej wysokości: stosunek pól = stosunek podstaw; środkowa dzieli pole na połowy.
• Dalej: wzór Herona i pole z promieniem okręgu.