Schemat Hornera - dzielenie wielomianu przez dwumian

Q: Na czym polega schemat Hornera?

Na dzieleniu wielomianu przez dwumian x - a wyłącznie na współczynnikach: pierwszy współczynnik przepisujemy, a każdy następny wynik to współczynnik dzielnej plus a razy poprzedni wynik. Ostatnia liczba to reszta, pozostałe - współczynniki ilorazu.

Q: Kiedy można stosować schemat Hornera?

Tylko przy dzieleniu przez dwumian stopnia pierwszego: x - a, x + a, a po wyłączeniu współczynnika także 2x - 1 czy 3x + 2. Przez wielomian stopnia 2 dzielimy pisemnie.

Q: Co oznacza ostatnia liczba w schemacie Hornera?

To reszta z dzielenia przez x - a, równa wartości W(a). Jeśli wynosi zero, liczba a jest pierwiastkiem wielomianu, a wielomian jest podzielny przez x - a.

Q: Jak zrobić schemat Hornera, gdy brakuje jakiejś potęgi?

W miejsce brakującej potęgi wpisujemy współczynnik 0. Wielomian x^4 - 3x³ + 5x - 7 ma w schemacie współczynniki 1,\ -3,\ 0,\ 5,\ -7.

Q: Jak podzielić wielomian przez x + 3 schematem Hornera?

Zapisujemy x + 3 = x - (-3) i liczymy schemat z a = -3.

Klasa 2 liceum i technikum

Schemat Hornera: W(x) podzielone przez (x − a)

$W(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0$

$b_{n-1} = a_n, \qquad b_{k-1} = a_k + a \cdot b_k$

$W(x) = (x - a)\left(b_{n-1} x^{n-1} + \ldots + b_1 x + b_0\right) + r, \qquad r = W(a)$

Ostatnia liczba w schemacie to reszta, czyli $W(a)$ . Pozostałe liczby to współczynniki ilorazu - o jeden stopień niższego niż $W$ .

Schemat Hornera to skrócony sposób dzielenia wielomianu przez dwumian $x - a$ : zamiast dzielić pisemnie, pracujemy na samych współczynnikach - każdy kolejny wynik mnożymy przez $a$ i dodajemy do następnego współczynnika. Ostatnia otrzymana liczba to reszta z dzielenia, równa $W(a)$ .

Skąd się bierze schemat Hornera

Przy dzieleniu pisemnym przez $x - a$ ciągle powtarzamy te same czynności, a potęgi $x$ tylko zajmują miejsce - wiadomo, w której kolumnie co stoi. Wystarczy więc zapisać same współczynniki dzielnej i wykonywać jedną operację: pomnóż przez $a$ , dodaj do następnego współczynnika. Wynik jest taki sam jak przy dzieleniu pisemnym, tylko rachunek mieści się w jednej tabelce.

Schemat działa tylko dla dzielnika $x - a$ (dwumianu stopnia pierwszego). Przez wielomian stopnia $2$ dzielimy pisemnie.

Jak zrobić schemat Hornera - krok po kroku

Zadanie. Podziel $W(x) = 2x^3 - 3x^2 - 11x + 6$ przez $x - 3$ .

Dzielnik to $x - 3$ , więc $a = 3$ . W pierwszym wierszu wpisujemy współczynniki $W$ , w ostatnim liczymy wyniki. Środkowy wiersz pokazuje, co dodajemy w każdym kroku:

	x³	x²	x	wyraz wolny
W(x)	2	−3	−11	6
dodajemy		6	9	−6
a = 3	2	3	−2	0

Krok 1. Pierwszy współczynnik przepisujemy: $2$ .

Krok 2. Mnożymy $3 \cdot 2 = 6$ i dodajemy do kolejnego współczynnika: $-3 + 6 = 3$ .

Krok 3. $3 \cdot 3 = 9$ , a $-11 + 9 = -2$ .

Krok 4. $3 \cdot (-2) = -6$ , a $6 + (-6) = 0$ - to reszta.

Liczby $2,\ 3,\ -2$ to współczynniki ilorazu. Dzielna miała stopień $3$ , więc iloraz ma stopień $2$ : $Q(x) = 2x^2 + 3x - 2$ .

Odpowiedź. $2x^3 - 3x^2 - 11x + 6 = (x - 3)(2x^2 + 3x - 2)$ , reszta $0$ .

W praktyce środkowego wiersza nie piszemy - mnożenie i dodawanie robimy w pamięci, a cała praca wygląda tak:

	x³	x²	x	wyraz wolny
W(x)	2	−3	−11	6
a = 3	2	3	−2	0

Przykład z brakującą potęgą i resztą różną od zera

Zadanie. Podziel $W(x) = x^4 - 3x^3 + 5x - 7$ przez $x - 2$ .

W wielomianie nie ma $x^2$ - w tabeli musi pojawić się w tym miejscu zero. Liczymy z $a = 2$ :

	x⁴	x³	x²	x	wyraz wolny
W(x)	1	−3	0	5	−7
a = 2	1	−1	−2	1	−5

Kolejno: $1$ ; $\ -3 + 2 \cdot 1 = -1$ ; $\ 0 + 2 \cdot (-1) = -2$ ; $\ 5 + 2 \cdot (-2) = 1$ ; $\ -7 + 2 \cdot 1 = -5$ .

Odpowiedź. $Q(x) = x^3 - x^2 - 2x + 1$ , reszta $r = -5$ :

$x^4 - 3x^3 + 5x - 7 = (x - 2)(x^3 - x^2 - 2x + 1) - 5.$

Gdyby pominąć zero, schemat liczyłby wielomian $x^3 - 3x^2 + 5x - 7$ - zupełnie inny.

Dzielenie przez x + a

Dwumian $x + 2$ zapisujemy jako $x - (-2)$ , więc w schemacie bierzemy $a = -2$ . To najczęstsze miejsce pomyłki: znak $a$ jest przeciwny do znaku w dwumianie.

Zadanie. Podziel $W(x) = x^3 + 4x^2 - x - 10$ przez $x + 2$ .

	x³	x²	x	wyraz wolny
W(x)	1	4	−1	−10
a = −2	1	2	−5	0

Kolejno: $1$ ; $\ 4 + (-2) \cdot 1 = 2$ ; $\ -1 + (-2) \cdot 2 = -5$ ; $\ -10 + (-2) \cdot (-5) = 0$ .

Odpowiedź. $x^3 + 4x^2 - x - 10 = (x + 2)(x^2 + 2x - 5)$ , reszta $0$ .

Obliczanie wartości wielomianu schematem Hornera

Ostatnia liczba w schemacie to reszta z dzielenia przez $x - a$ , a ta reszta jest równa $W(a)$ (dlaczego - wyjaśnia twierdzenie o reszcie). Schemat Hornera jest więc także szybkim sposobem liczenia wartości wielomianu.

Zadanie. Oblicz $W(3)$ dla $W(x) = 2x^4 - 5x^3 + x^2 - 7x + 3$ .

	x⁴	x³	x²	x	wyraz wolny
W(x)	2	−5	1	−7	3
a = 3	2	1	4	5	18

Odpowiedź. $W(3) = 18$ .

Dla porównania, „wprost”: $2 \cdot 81 - 5 \cdot 27 + 9 - 21 + 3 = 162 - 135 + 9 - 21 + 3 = 18$ . Schemat robi to samo, ale bez liczenia potęg - bo zapisuje wielomian w postaci zagnieżdżonej:

$W(x) = \Big(\big((2x - 5)x + 1\big)x - 7\Big)x + 3.$

Kolejne nawiasy dla $x = 3$ to dokładnie liczby z tabeli: $2 \cdot 3 - 5 = 1$ , potem $1 \cdot 3 + 1 = 4$ , $4 \cdot 3 - 7 = 5$ , $5 \cdot 3 + 3 = 18$ . Licząc każdą potęgę od nowa, wykonalibyśmy dziesięć mnożeń, a schemat potrzebuje czterech - dlatego tak liczą wielomiany także komputery.

Sprawdzanie, czy liczba jest pierwiastkiem

Liczba $a$ jest pierwiastkiem wielomianu, gdy $W(a) = 0$ , czyli gdy w schemacie Hornera ostatnia liczba wynosi zero. Kilku kandydatów można sprawdzić w jednej tabeli - każdy w osobnym wierszu.

Zadanie. Sprawdź, czy liczby $-1$ i $1$ są pierwiastkami $W(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ .

	x³	x²	x	wyraz wolny
W(x)	1	−2	−5	6
a = −1	1	−3	−2	8
a = 1	1	−1	−6	0

Dla $a = -1$ reszta wynosi $8$ , więc $W(-1) = 8 \neq 0$ - to nie jest pierwiastek. Dla $a = 1$ reszta wynosi $0$ , więc $1$ jest pierwiastkiem, a przy okazji dostajemy rozkład:

$x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = (x - 1)(x^2 - x - 6) = (x - 1)(x - 3)(x + 2).$

Odpowiedź. $-1$ nie jest pierwiastkiem, $1$ jest; wszystkie pierwiastki to $-2$ , $1$ i $3$ .

Skąd brać kandydatów na pierwiastki, mówi lekcja o pierwiastkach wymiernych wielomianu.

Dzielenie przez 2x − 1

Schemat Hornera wymaga dzielnika postaci $x - a$ , ze współczynnikiem $1$ przy $x$ . Dwumian $2x - 1$ zapisujemy więc jako

$2x - 1 = 2\left(x - \tfrac{1}{2}\right),$

dzielimy przez $x - \frac{1}{2}$ , a otrzymany iloraz dzielimy jeszcze przez 2.

Zadanie. Podziel $W(x) = 4x^3 - 4x^2 + 5x - 2$ przez $2x - 1$ .

Krok 1. Horner z $a = \frac{1}{2}$ :

	x³	x²	x	wyraz wolny
W(x)	4	−4	5	−2
a = ½	4	−2	4	0

Kolejno: $4$ ; $\ -4 + \frac{1}{2} \cdot 4 = -2$ ; $\ 5 + \frac{1}{2} \cdot (-2) = 4$ ; $\ -2 + \frac{1}{2} \cdot 4 = 0$ . Zatem $W(x) = \left(x - \frac{1}{2}\right)(4x^2 - 2x + 4)$ .

Krok 2. Przenosimy dwójkę. $4x^2 - 2x + 4 = 2(2x^2 - x + 2)$ , więc

$W(x) = \left(x - \tfrac{1}{2}\right) \cdot 2\,(2x^2 - x + 2) = (2x - 1)(2x^2 - x + 2).$

Odpowiedź. Iloraz $2x^2 - x + 2$ , reszta $0$ .

Gdy reszta nie jest zerem, zostaje bez zmian - dzielimy przez $2$ tylko iloraz. Dla $4x^3 - 4x^2 + 5x + 1$ ten sam schemat kończy się liczbą $3$ , więc $4x^3 - 4x^2 + 5x + 1 = (2x - 1)(2x^2 - x + 2) + 3$ .

Typowe błędy

Zły znak $a$ . Dla $x + 5$ bierzemy $a = -5$ , dla $x - 5$ bierzemy $a = 5$ .
Pominięte zero za brakującą potęgę - schemat liczy wtedy inny wielomian.
Iloraz tego samego stopnia co dzielna. Iloraz ma o jeden stopień mniej: z czterech liczb przed resztą (dla wielomianu stopnia $4$ ) powstaje wielomian stopnia $3$ .
Dzielnik $2x - 1$ potraktowany jak $x - 1$ albo zapomniane dzielenie ilorazu przez $2$ .
Schemat dla dzielnika stopnia 2. Przez $x^2 + 1$ czy $x^2 - 4$ schemat Hornera nie dzieli (dzielnik $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$ można co najwyżej rozbić na dwa kolejne schematy).

Najczęstsze pytania

Na czym polega schemat Hornera? Na dzieleniu wielomianu przez dwumian $x - a$ wyłącznie na współczynnikach: pierwszy współczynnik przepisujemy, a każdy następny wynik to współczynnik dzielnej plus $a$ razy poprzedni wynik. Ostatnia liczba to reszta, pozostałe - współczynniki ilorazu.

Kiedy można stosować schemat Hornera? Tylko przy dzieleniu przez dwumian stopnia pierwszego: $x - a$ , $x + a$ , a po wyłączeniu współczynnika także $2x - 1$ czy $3x + 2$ . Przez wielomian stopnia $2$ dzielimy pisemnie.

Co oznacza ostatnia liczba w schemacie Hornera? To reszta z dzielenia przez $x - a$ , równa wartości $W(a)$ . Jeśli wynosi zero, liczba $a$ jest pierwiastkiem wielomianu, a wielomian jest podzielny przez $x - a$ .

Jak zrobić schemat Hornera, gdy brakuje jakiejś potęgi? W miejsce brakującej potęgi wpisujemy współczynnik $0$ . Wielomian $x^4 - 3x^3 + 5x - 7$ ma w schemacie współczynniki $1,\ -3,\ 0,\ 5,\ -7$ .

Jak podzielić wielomian przez x + 3 schematem Hornera? Zapisujemy $x + 3 = x - (-3)$ i liczymy schemat z $a = -3$ .

Kto wymyślił schemat Hornera? Nazwa pochodzi od angielskiego matematyka Williama George’a Hornera, który opisał metodę w 1819 roku. Wcześniej, w 1804 roku, tę samą regułę podał Włoch Paolo Ruffini - stąd w wielu krajach nazwa „reguła Ruffiniego” (ten sam Ruffini jest współautorem twierdzenia Abela-Ruffiniego). Samą ideę znali jeszcze wcześniej matematycy chińscy, m.in. Qin Jiushao w XIII wieku.

Przećwicz

Schemat Hornera i twierdzenie Bézouta → - dzielenie przez $x - a$ , $x + a$ i $2x - 1$ , brakujące potęgi, reszta bez dzielenia i parametry.
Pierwiastki wymierne → - schemat Hornera jako sposób sprawdzania kandydatów i dokańczania rozkładu.
Pierwiastek wielokrotny → - kolejne dzielenia tym samym schematem, aż reszta przestanie być zerem.

Podsumowanie

Schemat Hornera dzieli wielomian przez dwumian $x - a$ , operując tylko na współczynnikach.
Reguła: przepisz pierwszy współczynnik, potem pomnóż przez $a$ i dodaj do następnego.
Ostatnia liczba to reszta = $W(a)$ , pozostałe to współczynniki ilorazu (stopień niższy o $1$ ).
Brakujące potęgi zastępujemy zerami; dla $x + a$ bierzemy $-a$ .
Przy dzieleniu przez $2x - 1$ liczymy schemat dla $\frac{1}{2}$ i dzielimy iloraz przez $2$ .

Zobacz też

Dzielenie wielomianów - dzielenie pisemne, także przez wielomian stopnia $2$ .
Twierdzenie Bézouta - dlaczego reszta to $W(a)$ .
Pierwiastki wymierne wielomianu i rozkład wielomianu na czynniki - gdzie schemat Hornera pracuje najczęściej.
Wielomiany - wzory i twierdzenia.