Równania wielomianowe z parametrem - liczba rozwiązań

Q: Jak określić liczbę rozwiązań równania wielomianowego z parametrem?

Rozłóż wielomian na czynniki tak, żeby parametr został w jednym czynniku kwadratowym. Liczba rozwiązań zależy od jego delty i od tego, czy jego pierwiastki pokrywają się z pierwiastkami pozostałych czynników.

Q: Ile rozwiązań może mieć równanie dwukwadratowe?

Od zera do czterech. Cztery - gdy oba pierwiastki t są dodatnie, trzy - gdy jeden jest zerem, a drugi dodatni, dwa - gdy dokładnie jeden t jest dodatni (albo jest jeden podwójny dodatni), jedno - gdy jedynym nieujemnym t jest zero.

Q: Kiedy równanie dwukwadratowe ma dokładnie trzy rozwiązania?

Tylko wtedy, gdy jednym z pierwiastków t jest zero, a drugi jest dodatni. Wyraz wolny musi być wtedy równy zeru - jedno z rozwiązań to x = 0.

Q: Dlaczego przy podstawieniu t = x² potrzebne są wzory Viète'a?

Bo liczba rozwiązań x zależy od znaków pierwiastków t, a nie od ich wartości. Wzory Viète'a podają znak iloczynu i sumy bez liczenia pierwiastków, które przy parametrze zawierają niewygodne pierwiastki kwadratowe.

Q: Czy pierwiastek podwójny liczy się jako dwa rozwiązania?

Nie. Rozwiązanie to liczba spełniająca równanie, a x = 1 jest jedną liczbą, niezależnie od tego, ile razy czynnik (x - 1) występuje w rozkładzie.

Q: Jak sprawdzić, czy liczba jest pierwiastkiem trójmianu z parametrem?

Podstaw ją za x i rozwiąż otrzymane równanie względem parametru. Dla trójmianu x² - 2x + m i liczby 2 dostajemy m = 0.

Klasa 2 liceum i technikum

Liczba rozwiązań równania z parametrem

Równanie $(x - a)(x^2 + bx + c) = 0$ ma zawsze rozwiązanie $x = a$ . Trójmian dokłada $0$ , $1$ lub $2$ rozwiązania zależnie od znaku $\Delta$ - chyba że $a$ jest jego pierwiastkiem (wtedy rozwiązania się pokrywają):

$a \text{ jest pierwiastkiem trójmianu} \iff a^2 + ab + c = 0$

Równanie dwukwadratowe $x^4 + px^2 + q = 0$ - podstawiamy $t = x^2$ , gdzie $t \ge 0$ :

$t > 0 \ \Rightarrow\ x = \pm\sqrt{t} \ \ (2), \qquad t = 0 \ \Rightarrow\ x = 0 \ \ (1), \qquad t < 0 \ \Rightarrow\ \text{brak}$

$\text{4 rozwiązania} \iff \Delta_t > 0, \quad t_1 + t_2 > 0, \quad t_1 \cdot t_2 > 0$

Równanie wielomianowe z parametrem to równanie, którego współczynniki zależą od litery (najczęściej $m$ ). Zadanie polega na ustaleniu, dla jakich wartości parametru równanie ma określoną liczbę rozwiązań - i po rozłożeniu wielomianu na czynniki sprowadza się prawie zawsze do analizy jednego czynnika kwadratowego.

Co znaczy „równanie ma trzy rozwiązania”

W zadaniach z parametrem liczymy różne liczby, które spełniają równanie. Pierwiastek podwójny to jedno rozwiązanie, a nie dwa: równanie $(x - 1)^2(x + 3) = 0$ ma dwa rozwiązania, $1$ i $-3$ , choć jest stopnia trzeciego.

Stąd biorą się dwie pułapki, które wracają w każdym przykładzie poniżej:

trójmian może mieć pierwiastek podwójny ( $\Delta = 0$ ) - liczy się raz;
pierwiastek trójmianu może pokryć się z pierwiastkiem czynnika liniowego - wtedy też liczy się raz.

Narzędzia z funkcji kwadratowej zostają te same: znak delty i wzory Viète’a. Jeśli warunki na parametr w równaniu kwadratowym są jeszcze świeże, warto zajrzeć do lekcji równania kwadratowe z parametrem.

Typ 1: parametr w czynniku kwadratowym

Zadanie. Określ liczbę rozwiązań równania $(x - 2)(x^2 - 2x + m) = 0$ w zależności od parametru $m$ .

Krok 1. Rozwiązanie pewne. Czynnik $(x - 2)$ daje $x = 2$ dla każdego $m$ .

Krok 2. Delta trójmianu. $\Delta = 4 - 4m$ . Trójmian ma dwa pierwiastki dla $m < 1$ , jeden (podwójny, $x = 1$ ) dla $m = 1$ i żadnego dla $m > 1$ . Dla $m \le 1$ pierwiastki to $x = 1 \pm \sqrt{1 - m}$ .

Krok 3. Czy $2$ jest pierwiastkiem trójmianu? Podstawiamy: $4 - 4 + m = m$ . To zero tylko dla $m = 0$ - wtedy trójmian to $x^2 - 2x = x(x - 2)$ i jego pierwiastek $2$ dubluje się z czynnikiem liniowym.

Krok 4. Zestawienie.

Parametr m	Pierwiastki trójmianu	Zbiór rozwiązań	Liczba rozwiązań
m > 1	brak (Δ < 0)	{2}	1
m = 1	1 (podwójny)	{1, 2}	2
m = 0	0 i 2	{0, 2}	2
m < 1, m ≠ 0	1 − √(1 − m) i 1 + √(1 − m)	trzy liczby	3

Odpowiedź. Jedno rozwiązanie dla $m \in (1;\ +\infty)$ , dwa dla $m \in \{0, 1\}$ , trzy dla $m \in (-\infty;\ 0) \cup (0;\ 1)$ .

Najłatwiej przeoczyć wartość $m = 0$ : delta jest wtedy dodatnia, a mimo to rozwiązania są tylko dwa.

Typ 2: najpierw trzeba znaleźć rozkład

Zadanie. Dla jakich $m$ równanie $x^3 - 3x^2 + (m + 2)x - m = 0$ ma dokładnie jedno rozwiązanie?

Krok 1. Pierwiastek niezależny od $m$ . Suma współczynników wynosi $1 - 3 + (m + 2) - m = 0$ , więc $x = 1$ jest pierwiastkiem dla każdego $m$ (to wniosek z twierdzenia Bézouta: $W(1)$ to właśnie suma współczynników). Schemat Hornera daje

$x^3 - 3x^2 + (m + 2)x - m = (x - 1)(x^2 - 2x + m).$

Krok 2. Trójmian. $\Delta = 4 - 4m$ ; liczba $1$ jest pierwiastkiem trójmianu, gdy $1 - 2 + m = 0$ , czyli $m = 1$ . Obie „pułapki” wypadają tym razem dla tej samej wartości: dla $m = 1$ równanie to $(x - 1)^3 = 0$ , a $x = 1$ jest pierwiastkiem potrójnym.

Krok 3. Przypadki.

$m > 1$ : trójmian nie ma pierwiastków - jedno rozwiązanie, $x = 1$ ;
$m = 1$ : jedno rozwiązanie, $x = 1$ (potrójne);
$m < 1$ : trójmian ma dwa pierwiastki $1 \pm \sqrt{1 - m}$ , różne od $1$ - trzy rozwiązania.

Odpowiedź. $m \in \langle 1;\ +\infty)$ .

Ciekawostka: to równanie nigdy nie ma dokładnie dwóch rozwiązań.

Typ 3: parametr w czynniku liniowym

Zadanie. Dla jakich $m$ równanie $(x - m)(x^2 - 5x + 6) = 0$ ma trzy rozwiązania?

Trójmian ma stałe pierwiastki $2$ i $3$ , czynnik liniowy daje $x = m$ . Trzy różne rozwiązania są wtedy, gdy $m$ nie pokrywa się z żadnym z nich.

Odpowiedź. $m \in \mathbb{R} \setminus \{2, 3\}$ . Dla $m = 2$ i $m = 3$ rozwiązania są dwa.

Równania dwukwadratowe z parametrem

Równanie $x^4 + px^2 + q = 0$ zawiera tylko parzyste potęgi, więc podstawiamy $t = x^2$ i dostajemy równanie kwadratowe $t^2 + pt + q = 0$ . Każdy pierwiastek $t$ „rozmnaża się” na rozwiązania $x$ według reguły:

Pierwiastek t	Rozwiązania x	Ile
t > 0	x = −√t, x = √t	2
t = 0	x = 0	1
t < 0	brak (kwadrat nie jest ujemny)	0

Znaki pierwiastków $t$ odczytujemy bez ich liczenia, ze wzorów Viète’a: iloczyn $t_1 t_2$ mówi, czy są tego samego znaku, a suma $t_1 + t_2$ - jakiego.

Przykład: x⁴ − 4x² + m = 0

Zadanie. Określ liczbę rozwiązań równania $x^4 - 4x^2 + m = 0$ w zależności od $m$ .

Po podstawieniu: $t^2 - 4t + m = 0$ , gdzie $\Delta_t = 16 - 4m$ , $t_1 + t_2 = 4$ , $t_1 t_2 = m$ .

$m > 4$ : $\Delta_t < 0$ , brak $t$ - 0 rozwiązań.
$m = 4$ : $t = 2$ (podwójny), więc $x = \pm\sqrt{2}$ - 2 rozwiązania.
$0 < m < 4$ : $\Delta_t > 0$ , iloczyn i suma dodatnie, więc oba $t$ dodatnie - 4 rozwiązania.
$m = 0$ : $t(t - 4) = 0$ , czyli $t = 0$ lub $t = 4$ , stąd $x = 0$ lub $x = \pm 2$ - 3 rozwiązania.
$m < 0$ : iloczyn $t_1 t_2 < 0$ , więc jeden pierwiastek $t$ jest ujemny, a drugi dodatni - 2 rozwiązania.

Wynik dobrze widać na rysunku. Równanie można zapisać jako $x^4 - 4x^2 = -m$ : rozwiązania to punkty wspólne wykresu $y = x^4 - 4x^2$ z poziomą prostą $y = -m$ .

Rozwiązania równania x⁴ − 4x² + m = 0 to punkty wspólne wykresu y = x⁴ − 4x² z prostą y = −m. Dla m = 2 są cztery (zaznaczone), dla m = 0 trzy, dla m = 4 i m = −2 po dwa, a dla m = 5 brak.

Parametr m	Liczba rozwiązań
m > 4	0
m = 4	2
0 < m < 4	4
m = 0	3
m < 0	2

Przykład: cztery rozwiązania - układ warunków z Viète’a

Zadanie. Dla jakich $m$ równanie $x^4 - 2mx^2 + m + 2 = 0$ ma cztery różne rozwiązania?

Po podstawieniu $t = x^2$ : $t^2 - 2mt + m + 2 = 0$ . Cztery rozwiązania $x$ dostaniemy tylko z dwóch różnych dodatnich pierwiastków $t$ :

$\begin{cases} \Delta_t > 0 \\ t_1 + t_2 > 0 \\ t_1 \cdot t_2 > 0 \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} 4m^2 - 4(m + 2) > 0 \\ 2m > 0 \\ m + 2 > 0 \end{cases}$

Pierwszy warunek: $m^2 - m - 2 > 0$ , czyli $(m - 2)(m + 1) > 0$ , skąd $m \in (-\infty;\ -1) \cup (2;\ +\infty)$ . Drugi: $m > 0$ . Trzeci: $m > -2$ . Część wspólna:

Odpowiedź. $m \in (2;\ +\infty)$ .

Przykład: dokładnie dwa rozwiązania

Zadanie. Dla jakich $m$ to samo równanie $x^4 - 2mx^2 + m + 2 = 0$ ma dokładnie dwa rozwiązania?

Dwa rozwiązania $x$ powstają z dokładnie jednego dodatniego $t$ . Możliwe są trzy scenariusze:

Jeden pierwiastek podwójny $t_0 > 0$ . $\Delta_t = 0$ dla $m = 2$ lub $m = -1$ , a wtedy $t_0 = m$ . Dla $m = 2$ : $t_0 = 2 > 0$ - pasuje. Dla $m = -1$ : $t_0 = -1 < 0$ - brak rozwiązań, odpada.
Pierwiastki różnych znaków. $t_1 t_2 < 0$ , czyli $m + 2 < 0$ , skąd $m < -2$ (delta jest wtedy automatycznie dodatnia).
Jeden pierwiastek $t = 0$ , drugi dodatni. $t = 0$ jest pierwiastkiem, gdy $m + 2 = 0$ , czyli $m = -2$ . Wtedy $t^2 + 4t = 0$ , więc $t = 0$ lub $t = -4$ - zostaje tylko $x = 0$ , jedno rozwiązanie. Odpada.

Odpowiedź. $m \in (-\infty;\ -2) \cup \{2\}$ .

Schemat postępowania

Rozłóż wielomian na czynniki - poszukaj pierwiastka niezależnego od parametru (często $1$ lub $-1$ : suma współczynników albo suma ze zmienionymi znakami). Przy równaniu dwukwadratowym podstaw $t = x^2$ .
Dla czynnika kwadratowego wyznacz $\Delta$ i rozpatrz przypadki $\Delta > 0$ , $\Delta = 0$ , $\Delta < 0$ .
Sprawdź, dla jakich $m$ pierwiastki się pokrywają (pierwiastek czynnika liniowego jest pierwiastkiem trójmianu albo $t = 0$ ).
Przy podstawieniu $t = x^2$ ustal znaki $t$ ze wzorów Viète’a i przelicz je na liczbę $x$ .
Zbierz wyniki w tabeli: przedziały parametru i liczba rozwiązań. Wartości graniczne ( $\Delta = 0$ , pokrycia) zawsze sprawdź osobno.

Najczęstsze pułapki

Liczenie pierwiastka podwójnego dwa razy. Dla $\Delta = 0$ trójmian daje jedno rozwiązanie.
Przeoczone pokrycie. Dla $m = 0$ w typie 1 delta jest dodatnia, a rozwiązania są tylko dwa.
Zapomniany warunek $t \ge 0$ . Ujemne $t$ nie daje żadnego $x$ ; $t = 0$ daje jedno $x$ , a nie dwa.
Parametr przy najwyższej potędze. Jeśli współczynnik przy $x^4$ lub $x^3$ zależy od $m$ , osobno rozpatrz wartość $m$ , która go zeruje - stopień równania wtedy spada.

Najczęstsze pytania

Jak określić liczbę rozwiązań równania wielomianowego z parametrem? Rozłóż wielomian na czynniki tak, żeby parametr został w jednym czynniku kwadratowym. Liczba rozwiązań zależy od jego delty i od tego, czy jego pierwiastki pokrywają się z pierwiastkami pozostałych czynników.

Ile rozwiązań może mieć równanie dwukwadratowe? Od zera do czterech. Cztery - gdy oba pierwiastki $t$ są dodatnie, trzy - gdy jeden jest zerem, a drugi dodatni, dwa - gdy dokładnie jeden $t$ jest dodatni (albo jest jeden podwójny dodatni), jedno - gdy jedynym nieujemnym $t$ jest zero.

Kiedy równanie dwukwadratowe ma dokładnie trzy rozwiązania? Tylko wtedy, gdy jednym z pierwiastków $t$ jest zero, a drugi jest dodatni. Wyraz wolny musi być wtedy równy zeru - jedno z rozwiązań to $x = 0$ .

Dlaczego przy podstawieniu t = x² potrzebne są wzory Viète’a? Bo liczba rozwiązań $x$ zależy od znaków pierwiastków $t$ , a nie od ich wartości. Wzory Viète’a podają znak iloczynu i sumy bez liczenia pierwiastków, które przy parametrze zawierają niewygodne pierwiastki kwadratowe.

Czy pierwiastek podwójny liczy się jako dwa rozwiązania? Nie. Rozwiązanie to liczba spełniająca równanie, a $x = 1$ jest jedną liczbą, niezależnie od tego, ile razy czynnik $(x - 1)$ występuje w rozkładzie.

Jak sprawdzić, czy liczba jest pierwiastkiem trójmianu z parametrem? Podstaw ją za $x$ i rozwiąż otrzymane równanie względem parametru. Dla trójmianu $x^2 - 2x + m$ i liczby $2$ dostajemy $m = 0$ .

Przećwicz

Równania z parametrem → - trzy różne rozwiązania, pierwiastek podwójny, pierwiastek niezależny od $m$ , równania dwukwadratowe i metoda graficzna z prostą $y = m$ .

Podsumowanie

Liczymy różne rozwiązania: pierwiastek wielokrotny i pierwiastki, które się pokrywają, liczą się raz.
Po rozkładzie $(x - a)(x^2 + bx + c) = 0$ analizujemy deltę trójmianu i sprawdzamy, czy $a$ jest jego pierwiastkiem.
Pierwiastek niezależny od parametru często zdradza suma współczynników.
Równanie dwukwadratowe: $t = x^2 \ge 0$ ; dodatnie $t$ daje dwa $x$ , zero - jedno, ujemne - żadnego.
Znaki pierwiastków $t$ odczytujemy ze wzorów Viète’a; cztery rozwiązania wymagają $\Delta_t > 0$ , $t_1 + t_2 > 0$ i $t_1 t_2 > 0$ .

Zobacz też: równania wielomianowe, pierwiastek wielokrotny, równania kwadratowe z parametrem, zadania z parametrem dla funkcji kwadratowej, wzory Viète’a - zadania.