Wykres sinusa i cosinusa - sinusoida, tangensoida i przekształcenia

Klasa 2 liceum i technikum

Sinusoida to wykres funkcji $y = \sin x$ - fala, która co $2\pi$ powtarza ten sam kształt i mieści się w pasie między prostymi $y = -1$ i $y = 1$. Wykres cosinusa (cosinusoida) to ta sama fala przesunięta o $\frac{\pi}{2}$ w lewo, a wykresy tangensa i cotangensa (tangensoida i cotangensoida) składają się z osobnych gałęzi rozdzielonych asymptotami pionowymi.

Jak narysować sinusoidę

Z poprzedniej lekcji wiemy, że sinus ma okres $2\pi$. Wystarczy więc narysować jeden okres - na przykład w przedziale $\langle 0;\ 2\pi\rangle$ - a potem go powielać w lewo i w prawo.

Krok 1. Zaznacz na osi $OX$ punkty $0$, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi}{2}$, $2\pi$ (przyjmij np. $\pi \approx 3{,}14$ - dwie kratki na $\frac{\pi}{2}$ wystarczą).

Krok 2. Zaznacz pięć punktów kluczowych:

$(0, 0), \quad \left(\tfrac{\pi}{2}, 1\right), \quad (\pi, 0), \quad \left(\tfrac{3\pi}{2}, -1\right), \quad (2\pi, 0).$

Krok 3. Połącz je gładką krzywą: przy osi $OX$ wykres jest najbardziej stromy, a przy szczytach $y = 1$ i $y = -1$ - płaski. Nie rysuj „zygzaka” z odcinków ani półokręgów.

Krok 4. Powtórz ten kształt co $2\pi$ w obie strony.

Cosinusoidę rysujemy tak samo, z punktami $(0, 1)$, $\left(\frac{\pi}{2}, 0\right)$, $(\pi, -1)$, $\left(\frac{3\pi}{2}, 0\right)$, $(2\pi, 1)$. Na rysunku widać, że to sinusoida przesunięta wzdłuż osi OX o $\frac{\pi}{2}$ w lewo, stąd wzór $\cos x = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$. Widać też parzystość: cosinusoida jest symetryczna względem osi $OY$, a sinusoida - względem punktu $(0, 0)$.

Odczyt własności z wykresu sinusa i cosinusa

Z rysunku odczytujemy wszystko, czego potrzeba na sprawdzianie. Najpierw dla jednego okresu $\langle 0;\ 2\pi\rangle$:

• sinus rośnie w $\left\langle 0;\ \frac{\pi}{2}\right\rangle$ i $\left\langle \frac{3\pi}{2};\ 2\pi\right\rangle$, maleje w $\left\langle \frac{\pi}{2};\ \frac{3\pi}{2}\right\rangle$;
• cosinus maleje w $\langle 0;\ \pi\rangle$ i rośnie w $\langle \pi;\ 2\pi\rangle$;
• największa wartość obu funkcji to $1$, najmniejsza to $-1$.

Ogólnie (po dodaniu okresu, $k$ - liczba całkowita):

Uwaga: sinus nie jest rosnący „w całej dziedzinie” - rośnie w każdym z tych przedziałów osobno. Dlatego w odpowiedzi wypisujemy je oddzielnie, a nie łączymy znakiem $\cup$: na zbiorze $\left\langle 0;\ \frac{\pi}{2}\right\rangle \cup \left\langle \frac{3\pi}{2};\ 2\pi\right\rangle$ sinus nie jest rosnący, bo $\frac{\pi}{2} < 2\pi$, a $\sin \frac{\pi}{2} = 1 > \sin 2\pi = 0$ (definicję przypomina lekcja monotoniczność funkcji).

Tangensoida i cotangensoida

Tangens nie istnieje dla $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$. Gdy $x$ zbliża się do $\frac{\pi}{2}$ z lewej strony, $\cos x$ maleje do zera, a $\sin x$ zbliża się do $1$, więc iloraz rośnie nieograniczenie. Wykres „ucieka” wzdłuż prostej $x = \frac{\pi}{2}$ - to asymptota pionowa.

Jedną gałąź rysujemy w przedziale $\left(-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right)$ przez punkty $\left(-\frac{\pi}{4}, -1\right)$, $(0, 0)$, $\left(\frac{\pi}{4}, 1\right)$, a potem powielamy ją co $\pi$ (to okres tangensa).

Odczyt z wykresu:

• dziedzina: $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$, zbiór wartości: $\mathbb{R}$;
• asymptoty pionowe: proste $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$;
• tangens jest rosnący w każdym przedziale $\left(-\frac{\pi}{2} + k\pi;\ \frac{\pi}{2} + k\pi\right)$, ale nie w całej dziedzinie: $\operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = 1$, a $\operatorname{tg} \frac{3\pi}{4} = -1$, choć $\frac{3\pi}{4} > \frac{\pi}{4}$;
• brak wartości największej i najmniejszej; miejsca zerowe $x = k\pi$.

Cotangensoida wygląda podobnie, ale jej gałęzie opadają, a asymptoty leżą tam, gdzie $\sin x = 0$, czyli w $x = k\pi$ - jedną z nich jest sama oś $OY$.

Cotangens jest malejący w każdym przedziale $(k\pi;\ \pi + k\pi)$, ma miejsca zerowe $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ i okres $\pi$.

Przekształcenia wykresu sinusa

Wszystkie przekształcenia z działu przekształcenia wykresów funkcji działają na sinusoidzie tak samo jak na paraboli. Najczęstsze:

Szczegóły każdego ruchu: przesunięcie wzdłuż osi OY, przesunięcie wzdłuż osi OX, symetria względem osi, wykres y = |f(x)| oraz wykres y = k·f(x) i y = f(kx).

Ciekawostka: $y = -\sin x$ i $y = \sin(-x)$ to ten sam wykres, bo sinus jest nieparzysty. Z kolei $y = |\sin x|$ ma okres $\pi$, a nie $2\pi$ - po odbiciu „dolnych garbów” wszystkie garby są jednakowe.

Przykład 1 - jak narysować wykres y = 2 sin x

Krok 1. Bierzemy pięć punktów kluczowych sinusoidy i mnożymy drugą współrzędną przez 2 (argumenty się nie zmieniają):

$(0, 0), \quad \left(\tfrac{\pi}{2}, 2\right), \quad (\pi, 0), \quad \left(\tfrac{3\pi}{2}, -2\right), \quad (2\pi, 0).$

Krok 2. Łączymy je gładką falą i powtarzamy co $2\pi$.

Odpowiedź: wykres $y = 2\sin x$ to sinusoida rozciągnięta dwukrotnie w pionie. Miejsca zerowe i okres $2\pi$ zostają, zmienia się zbiór wartości: $\langle -2;\ 2\rangle$. Liczbę $|a|$ we wzorze $y = a \sin x$ nazywamy amplitudą - to wysokość „garbu” fali.

Przykład 2 - wykres y = sin 2x i zmiana okresu

Mnożenie argumentu działa w poziomie i odwrotnie, niż podpowiada intuicja: $y = \sin 2x$ przechodzi pełny cykl, gdy $2x$ przebiegnie od $0$ do $2\pi$, czyli gdy $x$ przebiegnie od $0$ do $\pi$. Wykres jest ściśnięty dwukrotnie, a okres wynosi

$T = \frac{2\pi}{2} = \pi.$

Ogólnie funkcje $y = \sin(kx)$ i $y = \cos(kx)$ mają okres $\frac{2\pi}{|k|}$, a $y = \operatorname{tg}(kx)$ - okres $\frac{\pi}{|k|}$. Na przykład $y = \cos\frac{x}{2}$ ma okres $4\pi$ (wykres rozciągnięty), a $y = \operatorname{tg} 3x$ - okres $\frac{\pi}{3}$.

Przykład 3 - wykres y = sin(x − π/3) + 1

Krok 1. Rozpoznajemy dwa przesunięcia: o $\frac{\pi}{3}$ w prawo i o $1$ w górę, czyli przesunięcie o wektor $\left[\frac{\pi}{3},\ 1\right]$.

Krok 2. Przesuwamy punkty kluczowe: $(0, 0) \to \left(\frac{\pi}{3}, 1\right)$, $\left(\frac{\pi}{2}, 1\right) \to \left(\frac{5\pi}{6}, 2\right)$, $\left(\frac{3\pi}{2}, -1\right) \to \left(\frac{11\pi}{6}, 0\right)$.

Krok 3. Odczytujemy własności: zbiór wartości $\langle 0;\ 2\rangle$, okres $2\pi$, wartość największa $2$ dla $x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$, najmniejsza $0$ dla $x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi$ - i to są zarazem jedyne miejsca zerowe (wykres tylko dotyka osi $OX$).

Równania i nierówności odczytane z wykresu

Równanie $f(x) = c$ rozwiązujemy jak w lekcji zastosowanie wykresów do równań i nierówności: rysujemy wykres funkcji i prostą poziomą $y = c$, a rozwiązania to pierwsze współrzędne punktów wspólnych.

Przykład 4 - sin x = 1/2 w przedziale ⟨0; 2π⟩

Krok 1. Rysujemy sinusoidę w przedziale $\langle 0;\ 2\pi\rangle$ i prostą $y = \frac{1}{2}$.

Krok 2. Prosta przecina wykres w dwóch punktach. Pierwszy znamy z tabeli wartości: $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$. Drugi leży symetrycznie względem szczytu $x = \frac{\pi}{2}$, czyli w $x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Odpowiedź: $x = \frac{\pi}{6}$ lub $x = \frac{5\pi}{6}$.

Z tego samego rysunku czytamy nierówność: $\sin x > \frac{1}{2}$ tam, gdzie fala leży nad prostą, czyli dla $x \in \left(\frac{\pi}{6};\ \frac{5\pi}{6}\right)$ (pogrubiony odcinek na osi). Dla $\sin x \le \frac{1}{2}$ zostaje reszta przedziału: $\left\langle 0;\ \frac{\pi}{6}\right\rangle \cup \left\langle \frac{5\pi}{6};\ 2\pi\right\rangle$.

Bez ograniczenia do przedziału rozwiązań jest nieskończenie wiele - dodajemy okres:

$\sin x = \frac{1}{2} \quad \Longleftrightarrow \quad x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \ \ \text{lub} \ \ x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.$

Przykład 5 - cos x = −1/2 i tg x = 1

Zadanie. Rozwiąż w przedziale $\langle 0;\ 2\pi\rangle$: a) $\cos x = -\frac{1}{2}$, b) $\cos x \le -\frac{1}{2}$, c) $\operatorname{tg} x = 1$.

a) Prosta $y = -\frac{1}{2}$ przecina cosinusoidę w „dolinie” wokół $x = \pi$, symetrycznie. Ponieważ $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$, punkty przecięcia leżą w odległości $\frac{\pi}{3}$ od $\pi$: $x = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ oraz $x = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$.

b) Cosinusoida leży pod prostą (lub na niej) między tymi punktami: $x \in \left\langle \frac{2\pi}{3};\ \frac{4\pi}{3}\right\rangle$.

c) Każda gałąź tangensoidy przecina prostą $y = 1$ dokładnie raz. Pierwszy punkt to $x = \frac{\pi}{4}$, kolejne leżą co okres $\pi$, więc w przedziale $\langle 0;\ 2\pi\rangle$ mieści się jeszcze tylko $x = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$.

Odpowiedź: a) $x \in \left\{\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}\right\}$; b) $\left\langle \frac{2\pi}{3};\ \frac{4\pi}{3}\right\rangle$; c) $x \in \left\{\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\right\}$.

Wzory na wszystkie cztery funkcje - także na sumy argumentów i wielokrotności - zebrane są na stronie funkcje trygonometryczne liczby rzeczywistej, a wartości do odczytu w tablicy wartości funkcji trygonometrycznych.

Najczęstsze pytania

Co to jest sinusoida? To wykres funkcji $y = \sin x$: gładka fala o okresie $2\pi$, mieszcząca się między prostymi $y = -1$ i $y = 1$, przechodząca przez $(0, 0)$, $\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)$, $(\pi, 0)$, $\left(\frac{3\pi}{2}, -1\right)$ i $(2\pi, 0)$.

Jak narysować wykres y = 2sin x? Narysuj sinusoidę i pomnóż każdą wartość przez 2: szczyty trafiają do $y = 2$ i $y = -2$, miejsca zerowe ($0$, $\pi$, $2\pi$) się nie ruszają. Zbiór wartości to $\langle -2;\ 2\rangle$, okres zostaje $2\pi$.

Jaki jest okres funkcji y = sin 2x?$\pi$. Funkcja $y = \sin(kx)$ ma okres $\frac{2\pi}{|k|}$, więc dla $k = 2$ wychodzi $\frac{2\pi}{2} = \pi$ - wykres jest ściśnięty dwukrotnie w poziomie.

Czym się różni wykres sinusa od wykresu cosinusa? Tylko położeniem: cosinusoida to sinusoida przesunięta o $\frac{\pi}{2}$ w lewo. Sinusoida przechodzi przez $(0, 0)$, a cosinusoida przez $(0, 1)$.

W jakich przedziałach funkcja sinus jest rosnąca? W przedziałach $\left\langle -\frac{\pi}{2} + 2k\pi;\ \frac{\pi}{2} + 2k\pi\right\rangle$; w przedziale $\langle 0;\ 2\pi\rangle$ to $\left\langle 0;\ \frac{\pi}{2}\right\rangle$ i $\left\langle \frac{3\pi}{2};\ 2\pi\right\rangle$.

Czy tangens jest funkcją rosnącą? Tangens jest rosnący w każdym przedziale $\left(-\frac{\pi}{2} + k\pi;\ \frac{\pi}{2} + k\pi\right)$ osobno, ale nie w całej dziedzinie - na przykład $\operatorname{tg} \frac{\pi}{4} > \operatorname{tg} \frac{3\pi}{4}$.

Jakie asymptoty ma wykres tangensa? Pionowe: proste $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$. Wykres cotangensa ma asymptoty $x = k\pi$. Żadna z tych funkcji nie ma asymptoty poziomej.

Jaki okres ma funkcja y = |sin x|?$\pi$, bo po odbiciu ujemnej części nad oś $OX$ każdy „garb” jest taki sam. Zbiór wartości to $\langle 0;\ 1\rangle$.

Ile rozwiązań ma równanie sin x = 1/2 w przedziale ⟨0; 2π⟩? Dwa: $x = \frac{\pi}{6}$ i $x = \frac{5\pi}{6}$. Prosta $y = \frac{1}{2}$ przecina jeden okres sinusoidy dokładnie dwa razy.

Przećwicz

• Trygonometria - zadania z rozwiązaniami → - wartości funkcji trygonometrycznych, kąty szczególne i związki między funkcjami.

Podsumowanie

• Sinusoidę rysujemy z pięciu punktów kluczowych w $\langle 0;\ 2\pi\rangle$ i powielamy co $2\pi$.
• Cosinusoida to sinusoida przesunięta o $\frac{\pi}{2}$ w lewo: $\cos x = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$.
• Sinus rośnie w $\left\langle -\frac{\pi}{2} + 2k\pi;\ \frac{\pi}{2} + 2k\pi\right\rangle$, cosinus maleje w $\langle 2k\pi;\ \pi + 2k\pi\rangle$.
• Tangensoida ma asymptoty $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ i rośnie w każdym przedziale między nimi; cotangensoida - asymptoty $x = k\pi$ i maleje.
• $y = a\sin x$ zmienia zbiór wartości na $\langle -|a|;\ |a|\rangle$, $y = \sin(kx)$ zmienia okres na $\frac{2\pi}{|k|}$, $y = |\sin x|$ ma okres $\pi$.
• Równanie $\sin x = c$ rozwiązujemy, przecinając wykres prostą $y = c$; w $\langle 0;\ 2\pi\rangle$ rozwiązania $\sin x = \frac{1}{2}$ to $\frac{\pi}{6}$ i $\frac{5\pi}{6}$.