Szkicowanie wykresu funkcji kwadratowej i odczytywanie własności

Q: Jak odczytać zbiór wartości, gdy ramiona idą w dół?

To przedział (-∞;\ qrangle - od minus nieskończoności do wartości w wierzchołku włącznie. Wierzchołek jest wtedy najwyższym punktem wykresu.

Q: Czy parabola może przeciąć oś OY w więcej niż jednym punkcie?

Nie. Oś OY przecina wykres każdej funkcji co najwyżej raz - to bezpośredni wniosek z definicji funkcji (jednemu argumentowi x = 0 odpowiada jedna wartość).

Klasa 2 liceum i technikum

Szkic paraboli w czterech krokach

Ramiona: $a > 0$ - w górę, $a < 0$ - w dół.
Wierzchołek: $W = (p, q)$ , gdzie $p = \dfrac{-b}{2a}$ , $q = f(p)$ .
Miejsca zerowe (gdy $\Delta \ge 0$ ): punkty przecięcia z osią $OX$ .
Przecięcie z osią $OY$ : punkt $(0, c)$ oraz jego odbicie względem osi symetrii.

Cztery kroki, jeden szkic

Do naszkicowania paraboli nie trzeba liczyć dziesiątek punktów. Wystarczą cztery informacje, które umiemy już wyznaczyć: kierunek ramion, wierzchołek, miejsca zerowe i przecięcie z osią $OY$ . Prześledźmy to na funkcji

$f(x) = x^2 + 2x - 3.$

Krok 1. Ramiona. Współczynnik $a = 1 > 0$ , więc ramiona idą w górę, a wierzchołek będzie najniższym punktem wykresu.

Krok 2. Wierzchołek.

$p = \frac{-b}{2a} = \frac{-2}{2} = -1, \qquad q = f(-1) = 1 - 2 - 3 = -4.$

Wierzchołek to $W = (-1, -4)$ , a oś symetrii - prosta $x = -1$ .

Krok 3. Miejsca zerowe.

$\Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 16, \qquad \sqrt{\Delta} = 4,$

$x_1 = \frac{-2 - 4}{2} = -3, \qquad x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1.$

Krok 4. Przecięcie z osią $OY$ . Podstawiamy $x = 0$ : $f(0) = -3$ , czyli punkt $(0, -3)$ . Z symetrii wiemy od razu, że wykres przechodzi też przez punkt $(-2, -3)$ - odbicie punktu $(0,-3)$ względem osi $x = -1$ .

Teraz wystarczy zaznaczyć te punkty i połączyć je gładką krzywą:

Szkic paraboli f(x) = x² + 2x − 3: wierzchołek (−1, −4), miejsca zerowe −3 i 1, przecięcie z osią OY w punkcie (0, −3). Linia przerywana to oś symetrii x = −1.

Co odczytujemy z gotowego szkicu

Mając wykres, wypisujemy własności funkcji dokładnie tak, jak przy odczytywaniu własności z wykresu:

dziedzina: $\mathbb{R}$ - funkcja kwadratowa jest określona dla każdej liczby;
zbiór wartości: $\langle -4;\ +\infty)$ - od wartości w wierzchołku w górę (bo ramiona w górę);
miejsca zerowe: $x = -3$ oraz $x = 1$ ;
monotoniczność: funkcja maleje w przedziale $(-\infty;\ -1\rangle$ i rośnie w przedziale $\langle -1;\ +\infty)$ - zwrot następuje w wierzchołku;
wartość najmniejsza: $-4$ dla $x = -1$ ; wartości największej nie ma;
znak funkcji: $f(x) > 0$ dla $x \in (-\infty;\ -3) \cup (1;\ +\infty)$ oraz $f(x) < 0$ dla $x \in (-3;\ 1)$ .

Ostatni punkt to w istocie rozwiązanie nierówności kwadratowej - wrócimy do niego w lekcji o nierównościach.

Zbiór wartości - skąd się bierze

To najczęściej mylona własność, więc zapamiętajmy regułę:

$a > 0: \quad ZW = \langle q;\ +\infty) \qquad\qquad a < 0: \quad ZW = (-\infty;\ q\rangle$

gdzie $q$ to druga współrzędna wierzchołka. Przy ramionach w górę funkcja schodzi najniżej w wierzchołku i dalej rośnie bez ograniczeń; przy ramionach w dół jest odwrotnie.

Gdy miejsc zerowych nie ma

Szkic robimy tak samo, tylko bez kroku trzeciego. Dla $f(x) = x^2 - 4x + 7$ mamy $\Delta = 16 - 28 = -12 < 0$ , więc parabola nie dotyka osi $OX$ . Wystarczą wierzchołek i przecięcie z osią $OY$ :

$p = \frac{4}{2} = 2, \qquad q = f(2) = 4 - 8 + 7 = 3, \qquad f(0) = 7.$

Parabola ma wierzchołek $(2, 3)$ , ramiona w górę i leży w całości nad osią $OX$ - czyli $f(x) > 0$ dla każdego $x$ . Zbiór wartości to $\langle 3;\ +\infty)$ .

Trzy punkty i symetria - najszybsza metoda

W praktyce najwygodniej rysuje się parabolę tak: zaznaczamy wierzchołek, potem punkt $(0, c)$ i jego lustrzane odbicie względem osi symetrii. Trzy punkty w zupełności wystarczą, by narysować krzywą o właściwym „rozwarciu”.

Dla naszej funkcji odbiciem punktu $(0, -3)$ względem prostej $x = -1$ jest punkt $(-2, -3)$ . Sprawdźmy: $f(-2) = 4 - 4 - 3 = -3$ . Zgadza się.

Skąd biorą się odbicia. Punkt symetryczny do $x$ względem osi $x = p$ ma odciętą $2p - x$ . Dla $p = -1$ i $x = 0$ dostajemy $2 \cdot (-1) - 0 = -2$ .

Najczęstsze pytania

Czy do naszkicowania paraboli trzeba liczyć tabelkę wartości? Nie. Wystarczą wierzchołek, kierunek ramion i dwa symetryczne punkty (np. przecięcia z osiami). Tabelka bywa pomocna dopiero wtedy, gdy potrzebny jest bardzo dokładny rysunek.

Jak odczytać zbiór wartości, gdy ramiona idą w dół? To przedział $(-\infty;\ q\rangle$ - od minus nieskończoności do wartości w wierzchołku włącznie. Wierzchołek jest wtedy najwyższym punktem wykresu.

Czym różni się „funkcja rośnie” od „wartości są dodatnie”? To dwie różne rzeczy. Monotoniczność opisuje, czy wykres idzie w górę czy w dół (czytamy od lewej do prawej), a znak - czy leży nad osią $OX$ , czy pod nią. Funkcja może maleć, mając wartości dodatnie.

Czy parabola może przeciąć oś $OY$ w więcej niż jednym punkcie? Nie. Oś $OY$ przecina wykres każdej funkcji co najwyżej raz - to bezpośredni wniosek z definicji funkcji (jednemu argumentowi $x = 0$ odpowiada jedna wartość).

Po co zaznaczać oś symetrii, skoro nie pyta o nią zadanie? Bo dzięki niej rysunek wychodzi symetryczny, a każdy policzony punkt daje drugi za darmo. To także najprostszy sposób na znalezienie drugiego miejsca zerowego, gdy jedno już znamy.

Przećwicz

Postać kanoniczna i wierzchołek → - punkt wyjścia do każdego szkicu.
Delta, miejsca zerowe i postać iloczynowa → - przecięcia z osią $OX$ .
Wykres na żywo: interaktywny rysownik funkcji
- przesuwaj suwaki i obserwuj, jak zmienia się parabola.

Podsumowanie

Szkic paraboli wyznaczają: kierunek ramion, wierzchołek, miejsca zerowe i punkt $(0, c)$ .
Zbiór wartości: $\langle q;\ +\infty)$ dla $a > 0$ , $(-\infty;\ q\rangle$ dla $a < 0$ .
Funkcja zmienia monotoniczność dokładnie w wierzchołku.
Znak funkcji odczytujemy z położenia wykresu względem osi $OX$ - to gotowe rozwiązanie nierówności kwadratowej.
Punkt symetryczny do $x$ względem osi $x = p$ ma odciętą $2p - x$ .