Matura maj 2024 matematyka podstawowa - odpowiedzi i rozwiązania

$|x - 1|$ to odległość liczby $x$ od $1$ na osi liczbowej. Nierówność $|x - 1| \ge 3$ mówi, że ta odległość wynosi co najmniej $3$, więc $x$ leży daleko od $1$ - w lewo albo w prawo:

$x - 1 \le -3 \quad\text{lub}\quad x - 1 \ge 3 \quad\Longleftrightarrow\quad x \le -2 \quad\text{lub}\quad x \ge 4.$

Zbiór rozwiązań to dwie półproste $(-\infty, -2] \cup [4, +\infty)$. Znak $\ge$ oznacza, że liczby $-2$ i $4$ też spełniają nierówność (dla nich $|x - 1| = 3$), więc końce są zamalowane. Odpowiedź A to zbiór rozwiązań nierówności przeciwnej $|x - 1| \le 3$, a D - nierówności ostrej $|x - 1| > 3$.

Odpowiedź: B. Zobacz: proste nierówności z wartością bezwzględną.

Zapisujemy obie liczby jako potęgi dwójki: $\frac{1}{16} = 2^{-4}$ oraz $8 = 2^3$. Wtedy

$\left(2^{-4}\right)^8 \cdot \left(2^3\right)^{16} = 2^{-32} \cdot 2^{48} = 2^{-32 + 48} = 2^{16}.$

Potęgę potęgi liczymy, mnożąc wykładniki, a iloczyn potęg o tej samej podstawie - dodając je.

Odpowiedź: B. Zobacz: potęga o wykładniku całkowitym ujemnym oraz zadania z potęg.

Krok 1. Rozwijamy kwadraty i porządkujemy.

$n^2 + (n + 1)^2 + (n + 2)^2 = n^2 + (n^2 + 2n + 1) + (n^2 + 4n + 4) = 3n^2 + 6n + 5.$

Krok 2. Wydzielamy wielokrotność trójki. Liczbę $5$ zapisujemy jako $3 + 2$:

$3n^2 + 6n + 5 = 3n^2 + 6n + 3 + 2 = 3\left(n^2 + 2n + 1\right) + 2.$

Krok 3. Wniosek. Dla naturalnego $n$ liczba $k = n^2 + 2n + 1 = (n + 1)^2$ jest naturalna, więc nasza suma ma postać $3k + 2$ - przy dzieleniu przez $3$ daje resztę $2$. To kończy dowód.

(Sprawdzenie na przykładzie: dla $n = 1$ mamy $1 + 4 + 9 = 14 = 3 \cdot 4 + 2$.)

Odpowiedź: suma jest równa $3(n + 1)^2 + 2$, więc daje resztę $2$ z dzielenia przez $3$. Zobacz: definicja, twierdzenie, dowód.

Szukamy wykładnika, do którego trzeba podnieść $\sqrt{3}$, żeby dostać $9$. Ponieważ $\sqrt{3} = 3^{1/2}$ oraz $9 = 3^2$:

$\left(3^{1/2}\right)^x = 3^2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x}{2} = 2 \quad\Longrightarrow\quad x = 4.$

Sprawdzenie: $\left(\sqrt{3}\right)^4 = \left(\sqrt{3}^{\,2}\right)^2 = 3^2 = 9$. Odpowiedź A ($2$) to $\log_3 9$ - wynik przy pominięciu pierwiastka w podstawie.

Odpowiedź: C. Zobacz: określenie logarytmu.

Rozwijamy oba kwadraty:

$(4a^2 + 4ab + b^2) - (4a^2 - 4ab + b^2) = 8ab.$

Szybciej - ze wzoru na różnicę kwadratów $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:

$\big((2a + b) - (2a - b)\big)\big((2a + b) + (2a - b)\big) = 2b \cdot 4a = 8ab.$

Odpowiedź: B. Zobacz: wzory skróconego mnożenia.

Mnożymy obie strony przez $6$ (liczba dodatnia - znak nierówności się nie zmienia):

$6 - 9x < 4 - 6x.$

Przenosimy wyrazy z $x$ na prawą stronę, a liczby na lewą:

$6 - 4 < 9x - 6x \quad\Longrightarrow\quad 2 < 3x \quad\Longrightarrow\quad x > \frac{2}{3}.$

Sprawdzenie dla $x = 1$: lewa strona $1 - 1{,}5 = -0{,}5$, prawa $\frac{2}{3} - 1 = -\frac{1}{3}$, a $-0{,}5 < -\frac{1}{3}$ - zgadza się.

Odpowiedź: D. Zobacz: nierówności z jedną niewiadomą.

Dziedzina. Mianownik nie może być zerem, więc $x \ne -2$ i $x \ne 3$.

Rozwiązanie. Ułamek jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy zerem jest licznik (przy niezerowym mianowniku): $x + 1 = 0$, czyli $x = -1$. Ta liczba należy do dziedziny.

Liczby $-2$ i $3$ to miejsca zerowe mianownika - dla nich wyrażenie w ogóle nie jest określone, więc nie mogą być rozwiązaniami (to pułapka w odpowiedziach C i D).

Odpowiedź: B. Zobacz: funkcja wymierna.

1. Mnożymy: $3x \cdot (x^2 + 2x + 3) = 3x^3 + 6x^2 + 9x = W(x)$. Prawda.

2. Podstawiamy: $W(-1) = 3 \cdot (-1) + 6 \cdot 1 + 9 \cdot (-1) = -3 + 6 - 9 = -6 \ne 0$. Fałsz. (Zresztą trójmian $x^2 + 2x + 3$ ma wyróżnik $\Delta = 4 - 12 < 0$, więc jedynym pierwiastkiem $W$ jest $0$.)

Odpowiedź: P, F. Zobacz: wielomiany.

Krok 1. Grupujemy wyrazy parami i z każdej pary wyłączamy wspólny czynnik:

$x^3 - 2x^2 - 3x + 6 = x^2(x - 2) - 3(x - 2).$

Krok 2. Wyłączamy wspólny nawias $(x - 2)$:

$x^2(x - 2) - 3(x - 2) = (x - 2)\left(x^2 - 3\right) = (x - 2)\left(x - \sqrt{3}\right)\left(x + \sqrt{3}\right).$

Krok 3. Iloczyn jest zerem, gdy zerem jest któryś czynnik:

$x - 2 = 0 \quad\text{lub}\quad x^2 = 3 \quad\Longrightarrow\quad x = 2 \quad\text{lub}\quad x = -\sqrt{3} \quad\text{lub}\quad x = \sqrt{3}.$

Sprawdzenie dla $x = 2$: $8 - 8 - 6 + 6 = 0$. Częsty błąd to zgubienie rozwiązania ujemnego przy $x^2 = 3$.

Odpowiedź: $x = 2$, $x = -\sqrt{3}$, $x = \sqrt{3}$. Zobacz: wielomiany.

Pierwsze równanie to łączna liczba posadzonych drzew: $x + y = 1960$.

Ile drzew zostało. W pierwszym sadzie uschło $5\%$, więc zostało $95\%$, czyli $0{,}95x$. W drugim uschło $10\%$, zostało $0{,}9y$.

Drugie równanie. Drzew w drugim sadzie zostało $60\%$ tego, co w pierwszym:

$0{,}9y = 0{,}6 \cdot 0{,}95x.$

Tak wygląda układ A. Rozwiązanie: $x = 1200$, $y = 760$ (wtedy $0{,}95 \cdot 1200 = 1140$ oraz $0{,}9 \cdot 760 = 684 = 0{,}6 \cdot 1140$). Pułapki: w B procent odniesiono do złej wielkości, w C porównano drzewa uschnięte zamiast pozostałych, w D użyto $40\%$ zamiast $60\%$.

Odpowiedź: A. Zobacz: zastosowanie układów równań oraz procenty.

Równoległość. Proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy, więc od razu odpadają B i D (różne współczynniki - proste by się przecinały).

Kierunek. Obie proste na rysunku są malejące, więc współczynnik kierunkowy jest ujemny. To wyklucza C ($a = \frac{3}{2} > 0$).

Kontrola z rysunku. Górna prosta przecina oś $Oy$ w punkcie $(0, 3)$, a dolna w $(0, -1)$ - tak jak w układzie A. Górna przecina też oś $Ox$ w punkcie $(2, 0)$: $-\frac{3}{2} \cdot 2 + 3 = 0$.

Odpowiedź: A. Zobacz: graficzne rozwiązywanie układów równań.

Funkcja liniowa jest malejąca, gdy jej współczynnik kierunkowy jest ujemny. Wyraz wolny $k - 1$ nie ma tu znaczenia.

$-2k + 3 < 0 \quad\Longrightarrow\quad -2k < -3 \quad\Longrightarrow\quad k > \frac{3}{2}.$

Przy dzieleniu przez $-2$ zmieniamy zwrot nierówności - pominięcie tego kroku daje odpowiedź $k < \frac{3}{2}$, której zresztą wśród odpowiedzi nie ma.

Odpowiedź: D. Zobacz: współczynnik kierunkowy.

Miejsce zerowe $f$: $3x + 6 = 0$, więc $x = -2$. Ta sama liczba ma być miejscem zerowym $g$:

$g(-2) = -2a + 7 = 0 \quad\Longrightarrow\quad a = \frac{7}{2}.$

Sprawdzenie: $g(x) = \frac{7}{2}x + 7$, a $\frac{7}{2} \cdot (-2) + 7 = 0$.

Odpowiedź: D. Zobacz: wykres i miejsce zerowe funkcji liniowej.

14.1. Odczytujemy z wykresu: parabola leży nad osią $Ox$ lub na niej między miejscami zerowymi $-2$ i $4$. Nierówność jest nieostra, więc miejsca zerowe należą do zbioru rozwiązań. Odpowiedź: $[-2, 4]$. Zobacz: nierówności kwadratowe.

14.2. Wierzchołek ma współrzędne $(p, q) = (1, 9)$, więc w postaci kanonicznej $f(x) = a(x - 1)^2 + 9$. Współczynnik $a$ wyznaczamy z punktu $(0, 8)$:

$a(0 - 1)^2 + 9 = 8 \quad\Longrightarrow\quad a = -1.$

Stąd $f(x) = -(x - 1)^2 + 9$ (sprawdzenie: $f(4) = -9 + 9 = 0$). Pułapka w odpowiedziach A i D to znak przy $p$: wierzchołek $(1, 9)$ daje nawias $(x - 1)$, nie $(x + 1)$. Wzór D jest podstępny, bo też przechodzi przez punkt $(0, 8)$ - ale jego wierzchołek to $(-1, 9)$, więc samo podstawienie punktu przecięcia z osią $Oy$ nie wystarcza. Odpowiedź: B. Zobacz: postać kanoniczna.

14.3. Wykres jest symetryczny względem prostej $x = 1$. Liczba $-4$ leży $5$ jednostek na lewo od osi symetrii, więc tę samą wartość funkcja przyjmuje $5$ jednostek na prawo, czyli w $6$:

$f(-4) = -(-5)^2 + 9 = -16, \qquad f(6) = -(5)^2 + 9 = -16.$

Odpowiedź: A. Zobacz: szkicowanie wykresu funkcji kwadratowej.

14.4. Funkcja $g(x) = f(x + 3)$ to wykres $f$ przesunięty o $3$ w lewo: wierzchołek $(1, 9) \to (-2, 9)$, miejsca zerowe $-2, 4 \to -5, 1$. Taki wykres jest na rysunku A.

Funkcja $h(x) = f(-x)$ to wykres $f$ w symetrii względem osi $Oy$: wierzchołek $(1, 9) \to (-1, 9)$, miejsca zerowe $-2, 4 \to 2, -4$, a punkt $(0, 8)$ zostaje na miejscu. To rysunek E.

Pozostałe rysunki to: B - przesunięcie o $2$ w prawo, czyli $f(x - 2)$ (typowy błąd kierunku przy $f(x + 3)$); C - przesunięcie o $3$ w dół, $f(x) - 3$; D - symetria względem osi $Ox$, $-f(x)$; F - symetria względem początku układu, $-f(-x)$.

Odpowiedź: $g$ - A, $h$ - E. Zobacz: przesunięcie wzdłuż osi Ox i symetria osiowa wykresu.

1. Obliczamy: $a_1 = (-1)^1 \cdot (1 - 5) = 4$ oraz $a_3 = (-1)^3 \cdot (3 - 5) = 2$. Rzeczywiście $4 = 2 \cdot 2$. Prawda.

2. Wystarczy jeden kontrprzykład: $a_5 = (-1)^5 \cdot 0 = 0$, a zero nie jest liczbą dodatnią. Także $a_6 = 1 \cdot 1 = 1 > 0$, ale $a_7 = -1 \cdot 2 = -2 < 0$. Fałsz.

Odpowiedź: P, F. Zobacz: ciągi.

Iloraz ciągu to $q = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$, więc trzeci wyraz jest równy $6 \cdot \frac{1}{2} = 3$:

$2m - 1 = 3 \quad\Longrightarrow\quad m = 2.$

Ciąg $(12, 6, 3)$ ma dodatnie wyrazy i iloraz z przedziału $(0, 1)$, więc jest malejący. (To samo daje warunek $6^2 = 12 \cdot (2m - 1)$, czyli $36 = 24m - 12$.)

Odpowiedź: B2. Zobacz: ciąg geometryczny.

Krok 1. Zapisujemy oba warunki przez $a_1$ i $r$.

$a_3 = a_1 + 2r = -1, \qquad S_{15} = \frac{2a_1 + 14r}{2} \cdot 15 = 15\left(a_1 + 7r\right) = -165.$

Z drugiego równania: $a_1 + 7r = -11$.

Krok 2. Odejmujemy równania stronami.

$(a_1 + 7r) - (a_1 + 2r) = -11 - (-1) \quad\Longrightarrow\quad 5r = -10 \quad\Longrightarrow\quad r = -2.$

Krok 3. Sprawdzenie. $a_1 = -1 - 2r = 3$, a wtedy $S_{15} = \frac{2 \cdot 3 + 14 \cdot (-2)}{2} \cdot 15 = -11 \cdot 15 = -165$.

(Krócej: $S_{15} = 15 \cdot a_8$, bo ósmy wyraz jest średnią piętnastu pierwszych, więc $a_8 = -11$ i $a_8 - a_3 = 5r = -10$.)

Odpowiedź: $r = -2$. Zobacz: ciąg arytmetyczny.

Znaki. Kąt leży w II ćwiartce: punkt $(-1, 3)$ na drugim ramieniu ma $x < 0$ i $y > 0$. Stąd $\sin \alpha > 0$ i $\cos \alpha < 0$ - odpadają A i D, a iloczyn $\sin \alpha \cdot \cos \alpha$ jest ujemny, więc prawdziwe jest B, fałszywe C.

Związek sinusa z cosinusem. Z definicji tangensa:

$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = -3 \quad\Longrightarrow\quad \sin \alpha = -3\cos \alpha.$

To zależność F. Odpowiedź E powstaje po odwróceniu ułamka. Konkretne wartości: $\sin \alpha = \frac{3}{\sqrt{10}}$, $\cos \alpha = -\frac{1}{\sqrt{10}}$ (bo $r = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$).

Odpowiedź: B oraz F. Zobacz: funkcje trygonometryczne.

Wyłączamy wspólny czynnik $\sin 20°$ i korzystamy z jedynki trygonometrycznej:

$\sin 20° \left(\sin^2 20° + \cos^2 20°\right) = \sin 20° \cdot 1 = \sin 20°.$

Odpowiedź: B. Zobacz: zadania na związki między funkcjami trygonometrycznymi.

Z twierdzenia o dwusiecznej: dwusieczna kąta trójkąta dzieli przeciwległy bok w stosunku długości boków przyległych do tego kąta. Odcinek $c$ przylega do boku $a$, a odcinek $d$ - do boku $b$:

$\frac{c}{d} = \frac{a}{b} \quad\Longrightarrow\quad a \cdot d = b \cdot c.$

Łatwo tu pomylić przyporządkowanie (odpowiedź C to $\frac{c}{d} = \frac{b}{a}$). Pomaga zdrowy rozsądek: dłuższy bok $b$ „ciągnie” do siebie dłuższy odcinek $d$. Skąd to twierdzenie się bierze, pokazujemy przy zadaniu z dwusieczną z matury 2026.

Odpowiedź: B.

Pole równoległoboku to iloczyn dwóch boków i sinusa kąta między nimi:

$P = 3 \cdot 4 \cdot \sin 120° = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}.$

Korzystamy z $\sin 120° = \sin(180° - 60°) = \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Odpowiedź B to wynik po pominięciu dzielenia przez $2$, a A - po zapomnieniu o sinusie.

Odpowiedź: D. Zobacz: zadania z równoległoboku i rombu.

Krok 1. Kąt środkowy. Kąt wpisany $ACB$ i kąt środkowy $ASB$ są oparte na tym samym łuku $AB$, więc kąt środkowy jest dwa razy większy: $|\angle ASB| = 2 \cdot 42° = 84°$.

Krok 2. Trójkąt równoramienny. Odcinki $SA$ i $SB$ to promienie, więc trójkąt $ABS$ jest równoramienny i kąty przy podstawie $AB$ są równe:

$|\angle BAS| = \frac{180° - 84°}{2} = 48°.$

Odpowiedź D ($69°$) wychodzi, gdy do trójkąta równoramiennego wstawi się $42°$ zamiast $84°$.

Odpowiedź: C. Zobacz: koła i kąty.

Proste $y = a_1x + b_1$ i $y = a_2x + b_2$ są prostopadłe, gdy $a_1 \cdot a_2 = -1$:

$(m + 1) \cdot (-2) = -1 \quad\Longrightarrow\quad m + 1 = \frac{1}{2} \quad\Longrightarrow\quad m = -\frac{1}{2}.$

Pułapka: odpowiedź B to współczynnik kierunkowy prostej $k$ ($m + 1 = \frac{1}{2}$), a nie liczba $m$. Odpowiedź C daje proste równoległe ($m + 1 = -2$).

Odpowiedź: A. Zobacz: zadania z prostych prostopadłych.

Krok 1. Wierzchołek $C$. Przekątne równoległoboku dzielą się na połowy, więc $P$ jest środkiem odcinka $AC$:

$\frac{-2 + x_C}{2} = 6, \quad \frac{6 + y_C}{2} = 7 \quad\Longrightarrow\quad C = (14, 8).$

Krok 2. Długość $BC$.

$|BC| = \sqrt{(14 - 10)^2 + (8 - 2)^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}.$

(Kontrola: $D = 2P - B = (2, 12)$ i rzeczywiście $|AD| = \sqrt{4^2 + 6^2} = 2\sqrt{13}$ - przeciwległe boki są równe.)

Odpowiedź: $|BC| = 2\sqrt{13}$. Zobacz: zadania z długości i środka odcinka.

25.1. Podstawa to sześciokąt foremny, czyli sześć trójkątów równobocznych o boku $a$:

$6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 15\sqrt{3} \quad\Longrightarrow\quad a^2 = 10 \quad\Longrightarrow\quad a = \sqrt{10}.$

Ściana boczna to prostokąt o bokach $a$ i $H = 6$: $P = 6\sqrt{10}$. Odpowiedź A to pole ściany pomnożone przez $6$, czyli pole całej powierzchni bocznej. Odpowiedź: C.

25.2. Najdłuższa przekątna graniastosłupa łączy wierzchołki leżące naprzeciw siebie (przechodzi przez środek bryły). Jej rzut na podstawę to najdłuższa przekątna sześciokąta, więc kąt nachylenia tworzy przekątna graniastosłupa z odcinkiem łączącym jej koniec w dolnej podstawie z wierzchołkiem dolnej podstawy leżącym dokładnie pod jej górnym końcem. Tak jest tylko na rysunku D.

Na rysunkach A i C przekątna jest najdłuższa, ale zaznaczony kąt tworzy ona z odcinkiem, który nie jest jej rzutem (A - krótsza przekątna podstawy, C - krawędź podstawy). Na rysunku B przekątna łączy wierzchołki, które nie leżą naprzeciw siebie - jej rzut to krótsza przekątna sześciokąta, więc ta przekątna graniastosłupa nie jest najdłuższa. Odpowiedź: D.

Zobacz: graniastosłupy.

Dla brył podobnych w skali $k$ stosunek objętości wynosi $k^3$, a stosunek pól powierzchni $k^2$:

$k^3 = \frac{512}{64} = 8 \quad\Longrightarrow\quad k = 2 \quad\Longrightarrow\quad k^2 = 4.$

Częstym błędem jest wpisanie od razu $8$ - to stosunek objętości, nie pól.

Odpowiedź: $4$. Zobacz: podobieństwo figur.

Każdy kod to ustawienie czterech różnych cyfr w kolejności, czyli permutacja zbioru czteroelementowego. Na pierwszą pozycję mamy $4$ możliwości, na drugą $3$, na trzecią $2$, na ostatnią $1$:

$4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24.$

Odpowiedź D ($4^2 = 16$) nie ma tu żadnego uzasadnienia, a przy dowolnym powtarzaniu cyfr kodów byłoby $4^4 = 256$.

Odpowiedź: C. Zobacz: zadania z permutacji.

Z pierwszej średniej: $a + b + c = 27$. Wtedy

$\frac{a + a + b + b + c + c}{6} = \frac{2(a + b + c)}{6} = \frac{2 \cdot 27}{6} = 9.$

Powtórzenie każdej liczby tyle samo razy nie zmienia średniej. Pułapki: C (podzielenie przez $6$ bez podwojenia sumy) i D (podwojenie sumy bez zmiany mianownika).

Odpowiedź: A. Zobacz: zadania ze średniej arytmetycznej.

Krok 1. Liczba uczniów. $2 + 7 + 4 + 3 + 6 + 4 = 26$ - liczba parzysta, więc mediana to średnia $13.$ i $14.$ oceny w uporządkowanym ciągu.

Krok 2. Liczymy narastająco. Oceny $1$ zajmują miejsca $1$-$2$, oceny $2$ - miejsca $3$-$9$, oceny $3$ - miejsca $10$-$13$, oceny $4$ - miejsca $14$-$16$. Zatem $13.$ ocena to $3$, a $14.$ to $4$:

$\text{mediana} = \frac{3 + 4}{2} = 3{,}5.$

Pułapka B ($4$) to mediana samych liczebności $2, 3, 4, 4, 6, 7$ odczytanych z wysokości słupków, a D ($3$) - wzięcie tylko $13.$ oceny bez uśrednienia jej ze $14.$ Dla porównania średnia arytmetyczna wszystkich ocen wynosi $\frac{94}{26} \approx 3{,}62$.

Odpowiedź: C. Zobacz: zadania z mediany i dominanty.

Krok 1. Wszystkie wyniki. Losujemy ze zwracaniem i liczy się kolejność, więc zdarzenia elementarne to pary uporządkowane: $|\Omega| = 5 \cdot 5 = 25$.

Krok 2. Zdarzenie $A$. Suma dwóch liczb jest parzysta, gdy obie są tej samej parzystości:

• obie nieparzyste (z $\{5, 7, 9\}$): $3 \cdot 3 = 9$ par,
• obie parzyste (z $\{6, 8\}$): $2 \cdot 2 = 4$ pary.