Potęga o wykładniku wymiernym

Klasa 1 liceum i technikum

Co znaczy potęga z ułamkiem w wykładniku

Wiemy już, ile to $a^3$ czy $a^{-2}$. A ile miałoby wynosić $a^{\frac{1}{2}}$ albo $a^{\frac{2}{3}}$? Znów chcemy, żeby prawa potęg działały dalej, i to wyznaczy nam definicję.

Załóżmy, że $a > 0$ i sprawdźmy, czym musi być $a^{\frac{1}{n}}$. Podnieśmy je do potęgi $n$, korzystając z reguły $(a^x)^n = a^{x \cdot n}$:

$\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^n = a^{\frac{1}{n} \cdot n} = a^1 = a.$

Otrzymaliśmy liczbę, której $n$-ta potęga daje $a$ - a to jest dokładnie pierwiastek stopnia $n$ z $a$. Stąd:

$a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}.$

Definicja ogólna

Dla liczby $a > 0$, naturalnego $n \ge 2$ i całkowitego $m$ przyjmujemy:

$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m.$

Zakładamy $a > 0$ - dla podstawy ujemnej takie potęgi prowadziłyby do sprzeczności (np. zapis $(-8)^{\frac{1}{3}}$ bywa niejednoznaczny), więc ograniczamy się do liczb dodatnich.

Wniosek: potęga o wykładniku wymiernym to inny sposób zapisania pierwiastka. Dzięki temu do pierwiastków możemy stosować wszystkie prawa potęg.

Przykłady

$9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3, \qquad 8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2.$

$8^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 2^2 = 4, \qquad 16^{\frac{3}{4}} = \left(\sqrt[4]{16}\right)^3 = 2^3 = 8.$

Wykładnik wymierny może być też ujemny - łączymy wtedy dwie poznane reguły:

$4^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{4^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}.$

Po co to wszystko

Zapis potęgowy ujednolica rachunki. Na przykład iloczyn pierwiastków różnych stopni łatwo policzyć, zamieniając je na potęgi:

$\sqrt{a} \cdot \sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}} = a^{\frac{5}{6}} = \sqrt[6]{a^5}.$

Bez wykładników wymiernych takie działanie byłoby znacznie trudniejsze.

Najczęstsze pytania

Co dokładnie oznacza $a^{1/2}$? Pierwiastek kwadratowy: $a^{1/2} = \sqrt{a}$. Ogólnie mianownik wykładnika to stopień pierwiastka, a licznik - potęga: $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$.

Czy najpierw potęgować, czy pierwiastkować? Wynik jest ten sam, ale rachunki bywają dużo łatwiejsze przy jednej kolejności. Dla $8^{2/3}$ wygodniej najpierw pierwiastkować: $\sqrt[3]{8} = 2$, a potem podnieść do kwadratu - wychodzi $4$, bez liczenia $8^2 = 64$.

Dlaczego podstawa musi być dodatnia? Bo ten sam ułamek można zapisać na wiele sposobów, a dla podstaw ujemnych prowadziłoby to do sprzeczności - $(-8)^{2/6}$ musiałoby dać jednocześnie wynik dodatni i pierwiastek parzysty z liczby ujemnej. Dlatego definicję ograniczamy do $a > 0$.

Po co w ogóle zapisywać pierwiastki jako potęgi? Żeby móc korzystać z praw działań na potęgach. Wyrażenie $\sqrt{a} \cdot \sqrt[3]{a}$ zapisane jako $a^{1/2} \cdot a^{1/3} = a^{5/6}$ upraszcza się w jednym kroku - z pierwiastkami byłoby to znacznie bardziej żmudne.

Przećwicz

Potęgi o wykładniku wymiernym najlepiej utrwalić na zadaniach. Zobaczmy typowy przykład krok po kroku.

Zadanie. Oblicz $125^{\frac{2}{3}}$.

Krok 1. Wykładnik $\tfrac{2}{3}$ oznacza pierwiastek sześcienny podniesiony do kwadratu: $125^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{125}\right)^2$.

Krok 2. Liczymy: $\sqrt[3]{125} = 5$, a następnie $5^2 = 25$.

Odpowiedź. $125^{\frac{2}{3}} = 25.$

Chcesz więcej? Zadania z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku, pogrupowane według rodzaju:

• Obliczanie potęg o wykładniku 1/n → - potęga jako pierwiastek (np. $32^{1/5}$).
• Obliczanie potęg o wykładniku m/n → - pierwiastek i potęga (np. $81^{3/4}$).
• Działania na potęgach o wykładniku wymiernym → - dodawanie i odejmowanie ułamkowych wykładników.
• Zapis pierwiastków jedną potęgą → - iloczyny i pierwiastki zagnieżdżone (np. $\sqrt{5\sqrt{5}}$).
• Wyznaczanie przybliżeń → - z praw potęg i znanego przybliżenia.

Albo zobacz wszystkie zadania z potęg o wykładniku wymiernym →.