Zmienna losowa i wartość oczekiwana - wzór, rozkład, gra sprawiedliwa

Klasa 4 liceum i technikum

Zmienna losowa to reguła, która każdemu wynikowi doświadczenia losowego przypisuje liczbę - na przykład liczbę orłów w trzech rzutach monetą albo kwotę wygranej w grze. Wartość oczekiwana$E(X)$ to średnia ważona możliwych wartości zmiennej, gdzie wagami są ich prawdopodobieństwa: $E(X) = x_1 p_1 + \ldots + x_n p_n$. Mówi, ile średnio wynosi $X$ przy wielokrotnym powtarzaniu doświadczenia - dlatego służy do oceny, czy gra albo zakład się opłaca.

Zmienna losowa i jej rozkład

Przykład 1. Rzucamy trzy razy monetą, $X$ - liczba orłów. $\Omega$ ma $8$ wyników i każdemu przypisujemy liczbę: $X(OOO) = 3$, $X(OOR) = 2$, …, $X(RRR) = 0$. Zliczając wyniki dla każdej wartości, dostajemy rozkład zmiennej $X$:

Prawdopodobieństwa sumują się do $1$ - to warunek konieczny każdego rozkładu. Wartość oczekiwana:

$E(X) = 0 \cdot \frac{1}{8} + 1 \cdot \frac{3}{8} + 2 \cdot \frac{3}{8} + 3 \cdot \frac{1}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}.$

Średnio wypadają półtora orła na trzy rzuty. Wartość oczekiwana nie musi być jedną z wartości zmiennej - nikt nie wyrzuci „półtora orła”. To średnia z wielu serii.

Co oznacza wartość oczekiwana

Jeśli powtórzymy doświadczenie bardzo wiele razy, średnia arytmetyczna otrzymanych wartości $X$ będzie bliska $E(X)$. To kolejna postać prawa wielkich liczb: po $1000$ seriach po trzy rzuty łączna liczba orłów wyniesie zwykle około $1500$. Dlatego kasyna i ubezpieczyciele mogą planować zyski, choć każdy pojedynczy zakład jest losowy.

Gra w kości i gra sprawiedliwa

Przykład 2. Rzucamy kostką. Za szóstkę dostajemy $10$ zł, za piątkę $4$ zł, a przy każdym innym wyniku płacimy $3$ zł. Czy gra opłaca się graczowi?

Krok 1. Rozkład wygranej $X$ (w zł):

Krok 2. $E(X) = 10 \cdot \tfrac{1}{6} + 4 \cdot \tfrac{1}{6} - 3 \cdot \tfrac{4}{6} = \tfrac{10 + 4 - 12}{6} = \tfrac{1}{3}$.

Odpowiedź: gracz zyskuje średnio $\tfrac{1}{3}$ zł $\approx 33$ gr na grę - gra jest korzystna dla gracza. Gra jest sprawiedliwa, gdy $E(X) = 0$, a niekorzystna, gdy $E(X) < 0$.

Jak ustalić uczciwą stawkę. Załóżmy, że za szóstkę wygrywamy $10$ zł, a przy pozostałych pięciu wynikach płacimy $x$ zł. Gra jest sprawiedliwa, gdy $10 \cdot \tfrac{1}{6} - x \cdot \tfrac{5}{6} = 0$, czyli $x = 2$ zł.

Ruletka i loteria

Przykład 3 (ruletka europejska). Koło ma $37$ pól: $18$ czerwonych, $18$ czarnych i zero. Stawiamy $1$ zł na czerwone: przy czerwonym zyskujemy $1$ zł, w przeciwnym razie tracimy $1$ zł.

$E(X) = 1 \cdot \frac{18}{37} + (-1) \cdot \frac{19}{37} = -\frac{1}{37} \approx -0{,}027 \text{ zł}.$

Każda złotówka postawiona na kolor przynosi średnio $2{,}7$ grosza straty. To zero zapewnia kasynu przewagę - bez niego gra byłaby sprawiedliwa.

Przykład 4 (loteria fantowa). Wydrukowano $100$ losów po $5$ zł. Jeden los wygrywa $100$ zł, pięć losów po $20$ zł, dziesięć losów po $10$ zł, pozostałe są puste. Ile średnio wygrywa kupujący?

$E(\text{wygranej}) = 100 \cdot \frac{1}{100} + 20 \cdot \frac{5}{100} + 10 \cdot \frac{10}{100} = 1 + 1 + 1 = 3 \text{ zł}.$

Po odjęciu ceny losu wartość oczekiwana zysku wynosi $3 - 5 = -2$ zł. Organizator zarabia średnio $2$ zł na każdym sprzedanym losie, czyli $200$ zł na całej loterii.

Maksimum z dwóch kostek

Przykład 5. Rzucamy dwiema kostkami, $X$ - większa z liczb oczek (przy równych - ta liczba).

Krok 1. $X \le k$ oznacza, że obie kostki pokazują co najwyżej $k$: $k^2$ par. Zatem $X = k$ dla $k^2 - (k-1)^2 = 2k - 1$ par.

Krok 2.

$E(X) = \frac{1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot 11}{36} = \frac{161}{36} \approx 4{,}47.$

Dla jednej kostki średnia to $3{,}5$; wybierając lepszy z dwóch rzutów, podnosimy ją prawie o jedno oczko.

Wartość oczekiwana sumy i schemat Bernoulliego

Wartość oczekiwana sumy zmiennych losowych to suma ich wartości oczekiwanych:

$E(X + Y) = E(X) + E(Y).$

Wzór działa zawsze - także dla zmiennych zależnych. Daje on błyskawiczny wynik dla schematu Bernoulliego. Liczba sukcesów $S_n$ to suma $n$ zmiennych $X_1 + \ldots + X_n$, gdzie $X_i = 1$, gdy $i$-ta próba jest sukcesem, i $0$ w przeciwnym razie. Każda ma $E(X_i) = 1 \cdot p + 0 \cdot q = p$, więc

$E(S_n) = np.$

Sprawdzenie z definicji. Liczba szóstek w $5$ rzutach kostką ma rozkład z poprzedniej lekcji (liczniki $3125, 3125, 1250, 250, 25, 1$ przy mianowniku $7776$):

$E(S_5) = \frac{0 \cdot 3125 + 1 \cdot 3125 + 2 \cdot 1250 + 3 \cdot 250 + 4 \cdot 25 + 5 \cdot 1}{7776} = \frac{6480}{7776} = \frac{5}{6} = 5 \cdot \frac{1}{6}.$

Ten sam wynik w dwóch linijkach zamiast w tabeli. Podobnie dla liczby orłów z przykładu 1: $E(X) = 3 \cdot \tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{2}$.

Jak obliczyć wartość oczekiwaną - schemat

1. Ustal wartości $x_1, \ldots, x_n$, jakie może przyjąć zmienna (z uwzględnieniem opłaty - jako ujemną wartość).
2. Policz prawdopodobieństwa $p_i$ - definicją klasyczną, drzewkiem albo wzorem Bernoulliego.
3. Sprawdź, że $p_1 + \ldots + p_n = 1$.
4. Oblicz $E(X) = \sum x_i p_i$ i zinterpretuj: znak mówi, czy gra jest korzystna.

Typowe błędy

• Średnia arytmetyczna wartości zamiast ważonej - np. $\tfrac{10 + 4 - 3}{3}$ w grze w kości.
• Rozkład, który nie sumuje się do $1$ - zwykle zapomniany przypadek (np. puste losy).
• Pominięcie opłaty za udział - wygrana „brutto” i zysk „netto” to różne zmienne.
• Oczekiwanie, że $E(X)$ wypadnie w pojedynczej próbie - to średnia z wielu prób.

Najczęstsze pytania

Co to jest zmienna losowa? Funkcja, która każdemu wynikowi doświadczenia losowego przypisuje liczbę, np. liczbę orłów w trzech rzutach albo wygraną w grze.

Jaki jest wzór na wartość oczekiwaną?$E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \ldots + x_n p_n$, gdzie $x_i$ to wartości zmiennej, a $p_i = P(X = x_i)$.

Co oznacza wartość oczekiwana? Średnią wartość zmiennej losowej przy bardzo wielu powtórzeniach doświadczenia. Dodatnia wartość oczekiwana wygranej oznacza grę korzystną dla gracza, ujemna - niekorzystną.

Kiedy gra jest sprawiedliwa? Gdy wartość oczekiwana wygranej gracza (po odjęciu opłaty) wynosi $0$ - ani gracz, ani organizator nie zarabia średnio na jednej grze.

Ile wynosi wartość oczekiwana rzutu kostką?$E(X) = \tfrac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = 3{,}5$.

Ile wynosi wartość oczekiwana w schemacie Bernoulliego?$E(S_n) = np$. Na przykład w $60$ rzutach kostką średnio $60 \cdot \tfrac{1}{6} = 10$ szóstek.

Przećwicz

• Zmienna losowa i wartość oczekiwana - zadania → - rozkład w tabeli, gra sprawiedliwa, loteria fantowa, ubezpieczenie, ruletka, brakujące prawdopodobieństwa i E(X) = np (zadania z pełnym rozwiązaniem krok po kroku).
• Cały zestaw: rachunek prawdopodobieństwa - zadania z rozwiązaniami →

Podsumowanie

• Zmienna losowa przypisuje wynikom liczby; jej rozkład zapisujemy w tabeli $x_i$, $p_i$.
• $E(X) = \sum x_i p_i$ - średnia ważona prawdopodobieństwami; rozkład musi sumować się do $1$.
• Gra jest sprawiedliwa, gdy $E(\text{wygranej}) = 0$; ruletka ma $E = -\tfrac{1}{37}$ na złotówkę.
• $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$, stąd $E(S_n) = np$ w schemacie Bernoulliego.
• Wartość oczekiwana to średnia z wielu prób (prawo wielkich liczb), nie wynik pojedynczej próby.