Pochodna funkcji w punkcie - iloraz różnicowy i nachylenie stycznej

Klasa 3 liceum i technikum

Pochodna funkcji $f$ w punkcie $x_0$ to granica ilorazu różnicowego $\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ przy $h \to 0$, o ile ta granica istnieje i jest skończona. Oznaczamy ją $f'(x_0)$. Geometrycznie jest to współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu w punkcie $(x_0,\ f(x_0))$, czyli liczba mówiąca, jak szybko funkcja rośnie (albo maleje) dokładnie w tym miejscu.

To kolejna lekcja rozdziału elementy analizy matematycznej. W poprzedniej - asymptoty wykresu funkcji - granice opisywały zachowanie wykresu daleko od początku układu. Teraz użyjemy granicy w zupełnie innym celu: do zmierzenia nachylenia wykresu w jednym punkcie. To pierwsza lekcja rachunku różniczkowego - wszystko, co dalej (wzory na pochodne, styczne, ekstrema), opiera się na tej jednej definicji.

Iloraz różnicowy - nachylenie siecznej

Weźmy funkcję $f$ i dwa punkty jej wykresu: $P = (x_0,\ f(x_0))$ i $Q = (x_0 + h,\ f(x_0 + h))$. Liczba $h$ to przyrost argumentu ($\Delta x$), a $f(x_0 + h) - f(x_0)$ to przyrost wartości ($\Delta y$). Prosta $PQ$ to sieczna, a jej współczynnik kierunkowy to

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}.$

Ten iloraz nazywamy ilorazem różnicowym. Mówi, o ile średnio zmienia się wartość funkcji na jednostkę argumentu, gdy przechodzimy od $x_0$ do $x_0 + h$.

Przykład 1. Oblicz iloraz różnicowy funkcji $f(x) = \tfrac{1}{2}x^2$ w punkcie $x_0 = 1$.

Krok 1. Wartości funkcji. $f(1) = \tfrac{1}{2}$ oraz

$f(1 + h) = \frac{(1 + h)^2}{2} = \frac{1 + 2h + h^2}{2}.$

Krok 2. Iloraz. Dla $h \neq 0$:

$\frac{f(1 + h) - f(1)}{h} = \frac{\frac{1 + 2h + h^2}{2} - \frac{1}{2}}{h} = \frac{2h + h^2}{2h} = 1 + \frac{h}{2}.$

Odpowiedź. Iloraz różnicowy wynosi $1 + \frac{h}{2}$. Dla konkretnych przyrostów:

Gdy $h$ zbliża się do zera (z obu stron), nachylenie siecznej zbliża się do $1$. Punkt $Q$ zjeżdża po wykresie do $P$, a sieczna obraca się wokół $P$ i w granicy staje się styczną.

Prędkość średnia i prędkość chwilowa

Ten sam rachunek ma prostą interpretację fizyczną. Jeśli $s(t)$ to droga przebyta do chwili $t$, iloraz różnicowy $\frac{s(t_0 + h) - s(t_0)}{h}$ to prędkość średnia w przedziale czasu od $t_0$ do $t_0 + h$. Prędkościomierz pokazuje jednak prędkość chwilową - granicę prędkości średnich przy coraz krótszym czasie pomiaru.

Przykład 2. Kamień spada swobodnie, a droga po $t$ sekundach wynosi (w przybliżeniu) $s(t) = 5t^2$ metrów. Oblicz prędkość kamienia po $2$ sekundach.

Krok 1. Prędkość średnia w przedziale $\langle 2;\ 2 + h\rangle$. $s(2) = 20$ i $s(2 + h) = 5(4 + 4h + h^2) = 20 + 20h + 5h^2$, więc

$v_{\text{śr}} = \frac{s(2 + h) - s(2)}{h} = \frac{20h + 5h^2}{h} = 20 + 5h.$

Krok 2. Coraz krótsze przedziały.

Krok 3. Granica. $v(2) = \lim\limits_{h \to 0} (20 + 5h) = 20$.

Odpowiedź. Po $2$ sekundach kamień ma prędkość $20$ m/s, czyli $72$ km/h. To jest właśnie $s'(2)$ - prędkość chwilowa to pochodna drogi względem czasu.

Definicja pochodnej funkcji w punkcie

Niech funkcja $f$ będzie określona w pewnym otoczeniu punktu $x_0$. Jeśli istnieje skończona granica

$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h},$

to mówimy, że $f$ jest różniczkowalna w punkcie $x_0$, a liczbę $f'(x_0)$ nazywamy pochodną funkcji $f$ w punkcie $x_0$. Podstawiając $x = x_0 + h$ (wtedy $h = x - x_0$, a $h \to 0$ oznacza $x \to x_0$), dostajemy równoważną postać:

$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}.$

Pierwsza postać jest wygodna przy wzorach z potęgami (rozwijamy $(x_0 + h)^n$), druga - gdy licznik da się łatwo rozłożyć na czynniki z $(x - x_0)$. Obie prowadzą do symbolu $\frac{0}{0}$, który usuwamy metodami z lekcji jak obliczyć granicę funkcji.

Przykład 3 (funkcja liniowa). Oblicz z definicji $f'(x_0)$ dla $f(x) = 3x - 4$.

$\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = \frac{3(x_0 + h) - 4 - (3x_0 - 4)}{h} = \frac{3h}{h} = 3.$

Odpowiedź. $f'(x_0) = 3$ w każdym punkcie. Wykres jest prostą, więc każda sieczna pokrywa się z nim samym - nachylenie jest stałe i równe współczynnikowi kierunkowemu.

Pochodne z definicji: x², x³, 1/x i √x

Zamiast liczyć pochodną osobno w każdym punkcie, liczymy ją w dowolnym punkcie $x_0$ - wynik jest wzorem, do którego wystarczy podstawić liczbę.

Przykład 4: $f(x) = x^2$.

$\frac{(x_0 + h)^2 - x_0^2}{h} = \frac{2x_0 h + h^2}{h} = 2x_0 + h \ \xrightarrow{h \to 0}\ 2x_0.$

Odpowiedź. $f'(x_0) = 2x_0$, np. $f'(3) = 6$, $f'(-1) = -2$, $f'(0) = 0$ (w wierzchołku paraboli styczna jest pozioma).

Przykład 5: $f(x) = x^3$. Korzystamy ze wzoru $(x_0 + h)^3 = x_0^3 + 3x_0^2 h + 3x_0 h^2 + h^3$:

$\frac{(x_0 + h)^3 - x_0^3}{h} = \frac{3x_0^2 h + 3x_0 h^2 + h^3}{h} = 3x_0^2 + 3x_0 h + h^2 \ \xrightarrow{h \to 0}\ 3x_0^2.$

Odpowiedź. $f'(x_0) = 3x_0^2$, np. $f'(2) = 12$. Zauważ, że $f'(0) = 0$, choć $x^3$ jest funkcją rosnącą - styczna w $(0,\ 0)$ jest pozioma, a wykres ją przecina.

Przykład 6: $f(x) = \frac{1}{x}$, $x_0 \neq 0$. Sprowadzamy różnicę ułamków do wspólnego mianownika:

$\frac{\frac{1}{x_0 + h} - \frac{1}{x_0}}{h} = \frac{x_0 - (x_0 + h)}{h \cdot x_0 (x_0 + h)} = \frac{-h}{h \cdot x_0 (x_0 + h)} = \frac{-1}{x_0 (x_0 + h)} \ \xrightarrow{h \to 0}\ -\frac{1}{x_0^2}.$

Odpowiedź. $f'(x_0) = -\frac{1}{x_0^2}$, np. $f'(2) = -\frac{1}{4}$. Pochodna jest ujemna w każdym punkcie - hiperbola maleje na każdym z przedziałów $(-\infty;\ 0)$ i $(0;\ +\infty)$.

Przykład 7: $f(x) = \sqrt{x}$, $x_0 > 0$. Mnożymy przez wyrażenie sprzężone, żeby pozbyć się różnicy pierwiastków:

$\frac{\sqrt{x_0 + h} - \sqrt{x_0}}{h} = \frac{(x_0 + h) - x_0}{h \left(\sqrt{x_0 + h} + \sqrt{x_0}\right)} = \frac{1}{\sqrt{x_0 + h} + \sqrt{x_0}} \ \xrightarrow{h \to 0}\ \frac{1}{2\sqrt{x_0}}.$

Odpowiedź. $f'(x_0) = \frac{1}{2\sqrt{x_0}}$, np. $f'(4) = \frac{1}{4}$. W $x_0 = 0$ iloraz $\frac{\sqrt{h}}{h} = \frac{1}{\sqrt{h}}$ dąży do $+\infty$ - pochodnej nie ma, a styczna w $(0,\ 0)$ jest pionowa.

W następnej lekcji te wyniki uogólnimy do wzorów na pochodną dowolnej potęgi i dowolnego wielomianu - liczenie z definicji za każdym razem nie będzie już potrzebne.

Przykład 8 (druga postać definicji). Oblicz $f'(-1)$ dla $f(x) = x^3 - x$.

Krok 1. $f(-1) = -1 + 1 = 0$, więc iloraz ma postać

$\frac{f(x) - f(-1)}{x - (-1)} = \frac{x^3 - x}{x + 1} = \frac{x(x - 1)(x + 1)}{x + 1} = x(x - 1) \quad \text{dla } x \neq -1.$

Krok 2. $f'(-1) = \lim\limits_{x \to -1} x(x - 1) = (-1)(-2) = 2$.

Odpowiedź. $f'(-1) = 2$. Licznik udało się rozłożyć na czynniki, więc ta postać była szybsza niż rozwijanie $(-1 + h)^3$.

Kiedy pochodna w punkcie nie istnieje

Definicja wymaga, żeby granica ilorazu różnicowego istniała i była skończona. Są trzy typowe sytuacje, w których tak nie jest.

1. Ostrze (załamanie) wykresu. Dla $f(x) = |x|$ w $x_0 = 0$ iloraz różnicowy to $\frac{|h|}{h}$. Liczymy granice jednostronne:

$\lim_{h \to 0^+} \frac{|h|}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = 1, \qquad \lim_{h \to 0^-} \frac{|h|}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} = -1.$

Granice są różne, więc granica ilorazu nie istnieje i $f'(0)$ nie istnieje. Wykres ma w zerze ostry wierzchołek: z prawej nachylenie $1$, z lewej $-1$, a jednej stycznej nie ma.

2. Styczna pionowa. Dla $\sqrt{x}$ w zerze (przykład 7) iloraz dąży do $+\infty$. Granica nieskończona nie jest pochodną - styczna istnieje, ale jest pionowa i nie ma współczynnika kierunkowego.

3. Nieciągłość. Jeśli funkcja ma w $x_0$ skok albo dziurę, pochodnej tam nie ma - wynika to z twierdzenia w sekcji „Różniczkowalność a ciągłość” niżej.

Przykład 9 (funkcja sklejana). Zbadaj, czy funkcje

$f(x) = \begin{cases} x^2, & x \leq 2 \\ 4x - 4, & x > 2 \end{cases} \qquad \text{i} \qquad g(x) = \begin{cases} x^2, & x \leq 2 \\ 3x - 2, & x > 2 \end{cases}$

mają pochodną w punkcie $x_0 = 2$.

Krok 1. Ciągłość. Obie są w $2$ ciągłe: $f(2) = g(2) = 4$, a prawe kawałki w $x = 2$ też dają $4 \cdot 2 - 4 = 4$ i $3 \cdot 2 - 2 = 4$.

Krok 2. Iloraz lewostronny (dla $h < 0$ obie funkcje to $x^2$):

$\lim_{h \to 0^-} \frac{(2 + h)^2 - 4}{h} = \lim_{h \to 0^-} (4 + h) = 4.$

Krok 3. Iloraz prawostronny. Dla $f$: $\frac{4(2 + h) - 4 - 4}{h} = \frac{4h}{h} = 4$. Dla $g$: $\frac{3(2 + h) - 2 - 4}{h} = \frac{3h}{h} = 3$.

Odpowiedź. $f'(2) = 4$ istnieje - obie strony dają to samo nachylenie i prosta $y = 4x - 4$ jest styczną do paraboli w punkcie $(2,\ 4)$. Natomiast $g'(2)$ nie istnieje: nachylenie z lewej to $4$, z prawej $3$, wykres ma załamanie.

Różniczkowalność a ciągłość

Twierdzenie. Jeśli funkcja $f$ ma pochodną w punkcie $x_0$, to jest w tym punkcie ciągła.

Uzasadnienie. Dla $h \neq 0$ zapisujemy przyrost wartości jako iloczyn:

$f(x_0 + h) - f(x_0) = \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \cdot h \ \xrightarrow{h \to 0}\ f'(x_0) \cdot 0 = 0.$

Zatem $f(x_0 + h) \to f(x_0)$, czyli $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$ - to jest dokładnie ciągłość w punkcie.

Twierdzenie odwrotne jest fałszywe. Funkcja $|x|$ jest ciągła w zerze, a pochodnej tam nie ma; tak samo $g$ z przykładu 9 w punkcie $2$. Ciągłość to warunek konieczny różniczkowalności, ale nie wystarczający:

Typowe błędy

• $f(x_0 + h) = f(x_0) + h$. Do wzoru funkcji podstawiamy całe wyrażenie $x_0 + h$ w miejsce $x$: dla $f(x) = x^2 - x$ jest $f(2 + h) = (2 + h)^2 - (2 + h)$, a nie $4 - 2 + h$.
• Podstawienie $h = 0$ przed skróceniem. W ilorazie różnicowym zawsze wychodzi $\frac{0}{0}$ - najpierw upraszczamy i skracamy $h$, dopiero potem przechodzimy do granicy.
• Pomylenie ilorazu różnicowego z pochodną. $1 + \frac{h}{2}$ to nachylenie siecznej (zależy od $h$), a pochodna $f'(1) = 1$ to jedna liczba - granica.
• „Funkcja ciągła ma pochodną”. Nie zawsze - ostrze ($|x|$) albo styczna pionowa ($\sqrt{x}$ w zerze) psują różniczkowalność, choć wykres jest ciągły.
• Zgubione sprzężenie przy pierwiastku. Różnicy $\sqrt{x_0 + h} - \sqrt{x_0}$ nie da się skrócić z $h$ bez pomnożenia przez $\sqrt{x_0 + h} + \sqrt{x_0}$.

Najczęstsze pytania

Co to jest pochodna funkcji w punkcie? To granica ilorazu różnicowego $\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ przy $h \to 0$, jeśli istnieje i jest skończona. Oznaczamy ją $f'(x_0)$. Jest równa współczynnikowi kierunkowemu stycznej do wykresu w punkcie $(x_0,\ f(x_0))$.

Jak obliczyć pochodną z definicji? Oblicz $f(x_0)$ i $f(x_0 + h)$, ułóż iloraz $\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$, uprość licznik tak, żeby dało się skrócić $h$, i dopiero wtedy policz granicę przy $h \to 0$. Przy pierwiastkach pomnóż przez sprzężenie, przy ułamkach sprowadź do wspólnego mianownika.

Co to jest iloraz różnicowy? To iloraz $\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ - przyrost wartości funkcji podzielony przez przyrost argumentu. Geometrycznie jest to współczynnik kierunkowy siecznej przechodzącej przez punkty wykresu o odciętych $x_0$ i $x_0 + h$.

Jaka jest interpretacja geometryczna pochodnej? Pochodna $f'(x_0)$ to współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji w punkcie $(x_0,\ f(x_0))$, czyli tangens kąta, jaki styczna tworzy z dodatnią półosią $x$. Dodatnia pochodna oznacza, że wykres w tym miejscu się wznosi, ujemna - że opada.

Jaka jest interpretacja fizyczna pochodnej? Jeśli $s(t)$ to droga przebyta do chwili $t$, to $s'(t_0)$ jest prędkością chwilową w chwili $t_0$. Iloraz różnicowy to prędkość średnia w krótkim przedziale czasu, a pochodna - jej granica, gdy przedział się kurczy.

Kiedy funkcja nie ma pochodnej w punkcie? Gdy granica ilorazu różnicowego nie istnieje albo jest nieskończona. Dzieje się tak w ostrzu wykresu (np. $|x|$ w zerze), w punkcie ze styczną pionową (np. $\sqrt{x}$ w zerze) i w każdym punkcie nieciągłości.

Czy funkcja ciągła jest różniczkowalna? Nie zawsze. Każda funkcja różniczkowalna w punkcie jest w nim ciągła, ale odwrotnie to nie działa: $|x|$ jest ciągła w zerze, a pochodnej tam nie ma.

Ile wynosi pochodna |x| w zerze? Nie istnieje. Iloraz różnicowy $\frac{|h|}{h}$ jest równy $1$ dla $h > 0$ i $-1$ dla $h < 0$, więc granice jednostronne są różne. Dla $x > 0$ pochodna $|x|$ wynosi $1$, a dla $x < 0$ wynosi $-1$.

Przećwicz

• Pochodna z definicji - zadania → - 7 zadań: prędkość średnia i chwilowa, iloraz różnicowy dla wielomianu, druga postać definicji z rozkładem na czynniki, pochodna funkcji $\frac{a}{x + b}$ i pierwiastka z definicji, parametry sklejenia funkcji różniczkowalnej i pochodna $|x^2 - 4|$.
• Obliczanie pochodnych - zadania → - wzory i reguły, do następnej lekcji.
• Cały zestaw: granica i pochodna funkcji - zadania →

Podsumowanie

• Iloraz różnicowy $\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ to nachylenie siecznej (albo prędkość średnia).
• $f'(x_0) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ - o ile granica istnieje i jest skończona.
• $f'(x_0)$ to współczynnik kierunkowy stycznej w $(x_0,\ f(x_0))$, a dla drogi - prędkość chwilowa.
• Z definicji: $(x^2)' = 2x_0$, $(x^3)' = 3x_0^2$, $\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x_0^2}$, $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x_0}}$.
• Pochodnej nie ma w ostrzu ($|x|$ w zerze), przy stycznej pionowej i w punkcie nieciągłości.
• Różniczkowalna ⇒ ciągła, ale nie odwrotnie.

Zobacz też

• Asymptoty wykresu funkcji - poprzednia lekcja: pionowa, pozioma i ukośna.
• Funkcja pochodna - wzory i reguły - następna lekcja: pochodna sumy, iloczynu i ilorazu bez liczenia z definicji.
• Styczna do wykresu funkcji - jak z pochodnej zbudować równanie stycznej.
• Pochodna funkcji - definicja i zastosowania - zwięzłe zestawienie: definicja, styczna, monotoniczność, ekstrema.
• Tablica pochodnych - pochodne funkcji elementarnych w jednej tabeli.