Potęga o wykładniku rzeczywistym

Klasa 1 liceum i technikum

Wykładnik niewymierny

Umiemy już obliczać potęgi o wykładniku wymiernym, czyli takim, który da się zapisać ułamkiem. A co z wykładnikiem niewymiernym, na przykład $2^{\sqrt{2}}$ albo $2^{\pi}$? Tutaj nie ma już „tylu a tylu czynników” ani pierwiastka - potrzebujemy nowego pomysłu.

Pomysł jest taki: liczbę niewymierną przybliżamy coraz dokładniejszymi liczbami wymiernymi, a potęgi o tych wymiernych wykładnikach (które już umiemy liczyć) dają wyniki coraz bliższe pewnej jednej liczbie. Dla $\sqrt{2} = 1{,}4142\ldots$ rozważamy:

$2^{1{,}4}, \quad 2^{1{,}41}, \quad 2^{1{,}414}, \quad 2^{1{,}4142}, \ \ldots$

Te wartości „skupiają się” wokół jednej liczby - i właśnie ją nazywamy $2^{\sqrt{2}}$.

Określenie i własności

Dla podstawy dodatniej $a > 0$ i dowolnego wykładnika rzeczywistego $x$ potęga $a^x$ jest dobrze określona. Co ważne, jest ona zawsze dodatnia:

$a^x > 0 \quad \text{dla każdego } a > 0 \text{ i każdego } x \in \mathbb{R}.$

Zachowane są też znane przypadki szczególne: $a^0 = 1$ oraz $a^1 = a$.

Najważniejsze: wszystkie prawa działań na potęgach (mnożenie, dzielenie, potęga potęgi, potęga iloczynu i ilorazu) obowiązują teraz dla dowolnych wykładników rzeczywistych:

$a^x \cdot a^y = a^{x+y}, \qquad \left(a^x\right)^y = a^{x \cdot y}, \qquad (a \cdot b)^x = a^x \cdot b^x.$

Szacowanie

Skoro $3 < \pi < 4$, to wartość $2^{\pi}$ leży między $2^3$ a $2^4$:

$2^3 < 2^{\pi} < 2^4, \qquad \text{czyli} \qquad 8 < 2^{\pi} < 16.$

(Dokładniej $2^{\pi} \approx 8{,}82$.) Widać, że mimo „dziwnego” wykładnika potęga zachowuje się przewidywalnie.

Związek z funkcją wykładniczą

Dzięki potędze o wykładniku rzeczywistym możemy potraktować wykładnik jako zmienną: dla ustalonej podstawy $a > 0$ wyrażenie $a^x$ określa funkcję wykładniczą. To ona opisuje m.in. wzrost wykładniczy (procent składany, rozpad promieniotwórczy) - rozwiniemy ją w dziale o funkcjach.

Najczęstsze pytania

Jak w ogóle rozumieć potęgę z wykładnikiem niewymiernym, np. $2^{\sqrt{2}}$? Jako liczbę, do której zbliżają się potęgi o wykładnikach wymiernych coraz lepiej przybliżających $\sqrt{2}$: $2^{1{,}4}$, $2^{1{,}41}$, $2^{1{,}414}$… Ciąg tych wartości ma granicę i to ona jest wartością potęgi.

Dlaczego podstawa musi być dodatnia? Bo dla podstawy ujemnej nie da się sensownie zdefiniować potęg z wykładnikami ułamkowymi - $(-4)^{1/2}$ musiałoby być pierwiastkiem z liczby ujemnej. Żeby definicja działała dla wszystkich wykładników rzeczywistych, ograniczamy się do $a > 0$.

Czy potęga o dodatniej podstawie może wyjść ujemna? Nie, nigdy. Dla $a > 0$ wartość $a^x$ jest zawsze dodatnia, niezależnie od wykładnika. Wykładnik ujemny daje liczbę małą, ale wciąż dodatnią.

Czy prawa działań na potęgach nadal obowiązują? Tak - to główny powód, dla którego rozszerza się definicję potęgi. Wzory $a^x \cdot a^y = a^{x+y}$ i $(a^x)^y = a^{xy}$ działają dla dowolnych wykładników rzeczywistych, o ile podstawa jest dodatnia.

Przećwicz

• Potęga o wykładniku rzeczywistym - zadania z rozwiązaniami → - działania na potęgach o wykładnikach niewymiernych, porównywanie, szacowanie (np. $4 < 3^{\sqrt{2}} < 6$), równania i przybliżenia.